Aufgaben mit drei Unbekannten

Hier findest du Übungsaufgaben zu Gleichungen mit drei Unbekannten. Lerne, lineare Gleichungssysteme mit drei Gleichungen und drei Variablen zu lösen!

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Gegeben sei eine allgemeine quadratische Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ . Die Punkte $\mathrm{R}(1|2)$ , $\mathrm{Q}(-1|3)$ und $\mathrm{S}(0|1)$ liegen auf dem Graphen der Funktion $f$ .
Du möchtest nun mithilfe dieser Informationen auf die Parameter $a$ , $b$ und $c$ schließen.
1. Stelle ein lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten $a$ , $b$ und $c$ auf.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
  Tipp: Setze die gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein.
  Lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten
  Der Funktionsgraph hat die Gleichung $y = ax^2 + bx + c$ .
  Wenn ein Punkt auf einem Funktionsgraph liegt, bedeutet das, dass die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.
  Aus den gegebenen drei Punkten, kannst du drei Gleichungen aufstellen, die alle erfüllt sein müssen.
  Punkt $\mathrm{R}$ einsetzen
  $y = ax^2 + bx + c$
  Setze den Punkt $\mathrm{R}(1|2)$ in die Gleichung ein.
  $2 = a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + c$
  Du erhältst deine erste Gleichung.
  $\mathrm{I}\quad 2 = a + b + c$
  Punkt $\mathrm{Q}$ einsetzen
  $y = ax^2 + bx + c$
  Setze den Punkt $\mathrm{Q}(-1|3)$ in die Gleichung ein.
  $3 = a\cdot (-1)^2 + b\cdot (-1) + c$
  Du erhältst deine zweite Gleichung.
  $\mathrm{II}\quad 3 = a - b + c$
  Punkt $\mathrm{S}$ einsetzen
  $y = ax^2 + bx + c$
  Setze den Punkt $\mathrm{S}(0|1)$ in die Gleichung ein.
  $1 = a\cdot (0)^2 + b\cdot 0 + c$
  Du erhältst deine dritte Gleichung.
  $\mathrm{III}\quad 1 = c$
  Das Gleichungssystem lautet also:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2& = &a& + &b& + &c&\\\mathrm{II} &3& = &a& - &b& + &c&\\\mathrm{III} &1& = &&&&&c&\end{array}$
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2. Löse das Gleichungssystem.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungssysteme
  Tipp: Setze die Gleichung $\mathrm{III}$ in Gleichung $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ ein. Du erhältst dann ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.
  Löse das Lineare Gleichungssystem
  Du hast folgendes Gleichungssystem gegeben:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2& = &a& + &b& + &c&\\\mathrm{II} &3& = &a& - &b& + &c&\\\mathrm{III} &1& = &&&&&c&\end{array}$
  Aus der dritten Gleichung folgt direkt:
  $c = 1$
  Setze $c = 1$ in die anderen beiden Gleichungen ein:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &2& = &a& + &b& + &1&\\\mathrm{II'} &3& = &a& - &b& + &1&\end{array}$
  Beachte: Die Information der dritten Gleichung steckt nun in den Gleichungen $\mathrm{I'}$ und $\mathrm{II'}$ .
  $\;$
  Löse nun das neue Lineare Gleichungssystem. Da die Koeffizienten vor der Variable $b$ mit unterschiedlichem Vorzeichen und gleichem Betrag sind, bietet sich hierfür das Additionsverfahren an.
  Addiere die Gleichung $\mathrm{I'}$ zu $\mathrm{II'}$ . Du erhältst eine neue Gleichung $\mathrm{I''}$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rlrl}\mathrm{I'} + \mathrm{II'} \rightarrow \mathrm{I''} &| &5 &= &2a &+ &2 \end{array}$
  Löse nach der Unbekannten $a$ auf.
  $a = \frac{3}{2}$
  $\;$
  Setze $a = \frac{3}{2}$ in Gleichung $\mathrm{I'}$ ein, um den Parameter $b$ zu bestimmen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &2& = &\frac{3}{2}& + &b& + &1&\end{array}$
  Löse nach $b$ auf.
  $b = -\frac{1}{2}$
  $\;$
  Gib die Lösungsmenge an:
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3. Gib die Funktionsgleichung an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterme
  Die Funktionsvorschrift lautet $f(x) = \frac{3}{2}\cdot x^2 - \frac{1}{2}\cdot x + 1$ .
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Bestimme - falls möglich - die Lösungsmenge der folgenden Gleichungssysteme.
1. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccccc}\mathrm{I}&4 u&+&3 v&-& w&=&2\\\mathrm{II}&-3 u&-&4 v&+&5 w&=&-5\\\mathrm{III}&-2 u&+&2 v&+& w&=&6\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungssysteme
  Man kann das Gleichungssystem mit Hilfe des Additionsverfahrens lösen.
  Wähle die Variable $w$ und berechnet das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von $w$ :
  Nun multiplizierst du jede der Gleichungen so, dass jedes $w$ den Koeffizienten 5 hat.
  Dann addierst du $\mathrm{I}'$ zu $\mathrm{II}$ und $\mathrm{I}'$ zu $\mathrm{III}'$ .
  Du löst nun das "kleine" Gleichungssystem, das aus $\mathrm{II'}$ und $\mathrm{III''}$ besteht.
  Dazu wählst du die Variable $v$ und bestimmst das kgV ihrer Koeffizienten:
  Multipliziere nun die Gleichungen entsprechend:
  Subtrahiere $\mathrm{II''}$ von $\mathrm{III^{(4)}}$ , um $v$ zu eliminieren.
  Nun löst du $\mathrm{III^{(5)}}$ nach $u$ auf und setzt seinen Wert in $\mathrm{II}''$ ein.
  Nun setzt du die beiden Werte in $\mathrm{I'}$ ein und löst nach $w$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcll}u=-1\text{ und }v=2\text{ in }\mathrm{I'\to I''}&20\cdot(-1)+15\cdot 2-5w&=&10\\&10-5w&=&10&|-10\\&-5w&=&0&|:(-5)\\&w&=&0\end{array}$
  Insgesamt erhältst du die Lösungsmenge
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2. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccccc}\mathrm{I}&2 x&+&10 y&-&5 z&=&-1\\\mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\\mathrm{III}&-4 x&+&15 y&-&2 z&=&1\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungssysteme
  Das gegebene Gleichungssystem lässt sich mit dem Additionsverfahren lösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm{I}&2 x&+&10 y&-&5 z&=&-1\\\mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\\mathrm{III}&-4 x&+&15 y&-&2 z&=&1\end{array}$
  Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von $y$ (alternativ: von $x$ oder $z$ ).
  Dann multiplizierst du die Gleichungen so, dass alle Koeffizienten von $y$ 30 sind.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm{3\cdot I\to I'}&6 x&+&30 y&-&15 z&=&-3\\\mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\\mathrm{2\cdot III\to III'}&-8 x&+&30 y&-&4z&=&2\end{array}$
  Addiere $\mathrm{I'}$ und $\mathrm{II}$ und subtrahiere $\mathrm{I'}$ von $\mathrm{III'}$ , um die Terme mit $y$ zu eliminieren.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm{I'}&6 x&+&30 y&-&15 z&=&-3\\\mathrm{II+I'\to II'}&16 x&&&-&12 z&=&-4\\\mathrm{III'-I'\to III''}&-14 x&&&+&11z&=&5\end{array}$
  Löse nun zunächst das "kleine" Gleichungssystem, das aus $\mathrm{II'}$ und $\mathrm{III''}$ besteht.
  Dafür bestimmst du zunächst das kgV der Koeffizienten von $z$ und multiplizierst dann die Gleichungen so, dass vor dem $z$ das kgV steht.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccccr}\mathrm{11\cdot II'\to II''}&176x&-&132z&=&-44\\\mathrm{12\cdot III''\to III'''}&-168x&+&132z&=&60\end{array}$
  Dann addierst du $\mathrm{III'''}$ und $\mathrm{II''}$ , um den Term mit $z$ zu eliminieren.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccccr}\mathrm{II''}&176x&-&132z&=&-44\\\mathrm{III'''+II''\to III^{(4)}}&8x&&&=&16\end{array}$
  Nun löst du $\mathrm{III^{(4)}}$ nach $x$ auf und setzt den Wert in $\mathrm{II''}$ ein.
  $\mathrm{III^{(4)}}\quad x=2$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrl}x=2\text{ in }\mathrm{II''\to II'''}&176\cdot 2-132z&=&-44\\&352-132z&=&-44&|-352\\&-132z&=&-396&|:(-132)\\&z&=&3\end{array}$
  Die Werte $x=2$ und $z=3$ kann man dann in $\mathrm{I'}$ einsetzen, um $y$ zu bestimmen:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrl}\mathrm{I'\to I''}&6\cdot2+30y-15\cdot3&=&-3\\&-33+30y&=&-3&|+33\\&30y&=&30&|:30\\&y&=&1\end{array}$
  Nun kannst du die Lösungsmenge aufschreiben:
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Aufgaben mit drei Unbekannten

Punkt R\mathrm{R}R einsetzen

Punkt Q\mathrm{Q}Q einsetzen

Punkt S\mathrm{S}S einsetzen

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Punkt $\mathrm{R}$ einsetzen

Punkt $\mathrm{Q}$ einsetzen

Punkt $\mathrm{S}$ einsetzen