Aufgaben mit drei Unbekannten

Tipp: Setze die gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein.

Lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten

Der Funktionsgraph hat die Gleichung $y=a{x}^2+bx+cy\; =\; ax^2\; +\; bx\; +\; c$.

Wenn ein Punkt auf einem Funktionsgraph liegt, bedeutet das, dass die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.

Aus den gegebenen drei Punkten, kannst du drei Gleichungen aufstellen, die alle erfüllt sein müssen.

Punkt $\mathrm{R}\backslash mathrm\{R\}$ einsetzen

$y=a{x}^2+bx+cy\; =\; ax^2\; +\; bx\; +\; c$

Setze den Punkt $\mathrm{R}(1\mathrm{\mid }2)\backslash mathrm\{R\}(1|2)$ in die Gleichung ein.

$2=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c2\; =\; a\backslash cdot\; 1^2\; +\; b\backslash cdot\; 1\; +\; c$

Du erhältst deine erste Gleichung.

$\mathrm{I}2=a+b+c\backslash mathrm\{I\}\backslash quad\; 2\; =\; a\; +\; b\; +\; c$

Punkt $\mathrm{Q}\backslash mathrm\{Q\}$ einsetzen

$y=a{x}^2+bx+cy\; =\; ax^2\; +\; bx\; +\; c$

Setze den Punkt $\mathrm{Q}(-1\mathrm{\mid }3)\backslash mathrm\{Q\}(-1|3)$ in die Gleichung ein.

$3=a\cdot (-1{)}^2+b\cdot (-1)+c3\; =\; a\backslash cdot\; (-1)^2\; +\; b\backslash cdot\; (-1)\; +\; c$

Du erhältst deine zweite Gleichung.

$\mathrm{I}\mathrm{I}3=a-b+c\backslash mathrm\{II\}\backslash quad\; 3\; =\; a\; -\; b\; +\; c$

Punkt $\mathrm{S}\backslash mathrm\{S\}$ einsetzen

$y=a{x}^2+bx+cy\; =\; ax^2\; +\; bx\; +\; c$

Setze den Punkt $\mathrm{S}(0\mathrm{\mid }1)\backslash mathrm\{S\}(0|1)$ in die Gleichung ein.

$1=a\cdot (0{)}^2+b\cdot 0+c1\; =\; a\backslash cdot\; (0)^2\; +\; b\backslash cdot\; 0\; +\; c$

Du erhältst deine dritte Gleichung.

$\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}1=c\backslash mathrm\{III\}\backslash quad\; 1\; =\; c$

Das Gleichungssystem lautet also:

Tipp: Setze die Gleichung $\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{III\}$ in Gleichung $\mathrm{I}\backslash mathrm\{I\}$ und $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ ein. Du erhältst dann ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.

Löse das Lineare Gleichungssystem

Du hast folgendes Gleichungssystem gegeben:

Aus der dritten Gleichung folgt direkt:

$c=1c\; =\; 1$

Setze $c=1c\; =\; 1$ in die anderen beiden Gleichungen ein:

Beachte: Die Information der dritten Gleichung steckt nun in den Gleichungen ${\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{I\text{'}\}$ und $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{II\text{'}\}$.

$\backslash ;$

Löse nun das neue Lineare Gleichungssystem. Da die Koeffizienten vor der Variable $bb$ mit unterschiedlichem Vorzeichen und gleichem Betrag sind, bietet sich hierfür das Additionsverfahren an.

Addiere die Gleichung ${\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{I\text{'}\}$ zu $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{II\text{'}\}$. Du erhältst eine neue Gleichung ${\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{I\text{'}\text{'}\}$.

Löse nach der Unbekannten $aa$ auf.

$a=\frac{3}{2}a\; =\; \backslash frac\{3\}\{2\}$

$\backslash ;$

Setze $a=\frac{3}{2}a\; =\; \backslash frac\{3\}\{2\}$ in Gleichung ${\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{I\text{'}\}$ ein, um den Parameter $bb$ zu bestimmen.

Löse nach $bb$ auf.

$b=-\frac{1}{2}b\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}$

$\backslash ;$

Gib die Lösungsmenge an:

Die Funktionsvorschrift lautet $f(x)=\frac{3}{2}\cdot x^2-\frac{1}{2}\cdot x+1f(x)\; =\; \backslash frac\{3\}\{2\}\backslash cdot\; x^2\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; x\; +\; 1$.

Man kann das Gleichungssystem mit Hilfe des Additionsverfahrens lösen.

Insgesamt erhältst du die Lösungsmenge

Das gegebene Gleichungssystem lässt sich mit dem Additionsverfahren lösen.

Die Werte $x=2x=2$ und $z=3z=3$ kann man dann in ${\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{I\text{'}\}$ einsetzen, um $yy$ zu bestimmen: