Aufgaben mit drei Unbekannten

Tipp: Setze die gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein.

Lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten

Der Funktionsgraph hat die Gleichung $y=a{x}^2+bx+c$.

Wenn ein Punkt auf einem Funktionsgraph liegt, bedeutet das, dass die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.

Aus den gegebenen drei Punkten, kannst du drei Gleichungen aufstellen, die alle erfüllt sein müssen.

Punkt $\mathrm{R}$ einsetzen

$y=a{x}^2+bx+c$

Setze den Punkt $\mathrm{R}(1|2)$ in die Gleichung ein.

$2=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$

Du erhältst deine erste Gleichung.

$\mathrm{I}2=a+b+c$

Punkt $\mathrm{Q}$ einsetzen

$y=a{x}^2+bx+c$

Setze den Punkt $\mathrm{Q}(-1|3)$ in die Gleichung ein.

$3=a\cdot (-1{)}^2+b\cdot (-1)+c$

Du erhältst deine zweite Gleichung.

$\mathrm{II}3=a-b+c$

Punkt $\mathrm{S}$ einsetzen

$y=a{x}^2+bx+c$

Setze den Punkt $\mathrm{S}(0|1)$ in die Gleichung ein.

$1=a\cdot (0{)}^2+b\cdot 0+c$

Du erhältst deine dritte Gleichung.

$\mathrm{III}1=c$

Das Gleichungssystem lautet also:

$\begin{array}{rrlllllll}\mathrm{I}& 2& =& a& +& b& +& c& \\ \mathrm{II}& 3& =& a& -& b& +& c& \\ \mathrm{III}& 1& =& & & & & c& \end{array}$

Tipp: Setze die Gleichung $\mathrm{III}$ in Gleichung $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ ein. Du erhältst dann ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.

Löse das Lineare Gleichungssystem

Du hast folgendes Gleichungssystem gegeben:

$\begin{array}{rrlllllll}\mathrm{I}& 2& =& a& +& b& +& c& \\ \mathrm{II}& 3& =& a& -& b& +& c& \\ \mathrm{III}& 1& =& & & & & c& \end{array}$

Aus der dritten Gleichung folgt direkt:

$c=1$

Setze $c=1$ in die anderen beiden Gleichungen ein:

$\begin{array}{rrlllllll}{\mathrm{I}}^{\prime }& 2& =& a& +& b& +& 1& \\ \mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }& 3& =& a& -& b& +& 1& \end{array}$

Beachte: Die Information der dritten Gleichung steckt nun in den Gleichungen ${\mathrm{I}}^{\prime }$ und $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }$.

Löse nun das neue Lineare Gleichungssystem. Da die Koeffizienten vor der Variable $b$ mit unterschiedlichem Vorzeichen und gleichem Betrag sind, bietet sich hierfür das Additionsverfahren an.

Addiere die Gleichung ${\mathrm{I}}^{\prime }$ zu $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }$. Du erhältst eine neue Gleichung ${\mathrm{I}}^{\prime \prime }$.

$\begin{array}{rlrllll}{\mathrm{I}}^{\prime }+\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }\to {\mathrm{I}}^{\prime \prime }& |& 5& =& 2a& +& 2\end{array}$

Löse nach der Unbekannten $a$ auf.

$a=\frac{3}{2}$

Setze $a=\frac{3}{2}$ in Gleichung ${\mathrm{I}}^{\prime }$ ein, um den Parameter $b$ zu bestimmen.

$\begin{array}{rrlllllll}{\mathrm{I}}^{\prime }& 2& =& \frac{3}{2}& +& b& +& 1& \end{array}$

Löse nach $b$ auf.

$b=-\frac{1}{2}$

Gib die Lösungsmenge an:

Die Funktionsvorschrift lautet $f(x)=\frac{3}{2}\cdot x^2-\frac{1}{2}\cdot x+1$.

Man kann das Gleichungssystem mit Hilfe des Additionsverfahrens lösen.

$\begin{array}{rrcl}u=-1\text{ und }v=2\text{ in }{\mathrm{I}}^{\prime }\to {\mathrm{I}}^{\prime \prime }& 20\cdot (-1)+15\cdot 2-5w& =& 10\\ & 10-5w& =& 10& |-10\\ & -5w& =& 0& |:(-5)\\ & w& =& 0\end{array}$

Insgesamt erhältst du die Lösungsmenge

Das gegebene Gleichungssystem lässt sich mit dem Additionsverfahren lösen.

Die Werte $x=2$ und $z=3$ kann man dann in ${\mathrm{I}}^{\prime }$ einsetzen, um $y$ zu bestimmen: