13Parameterform umwandeln in Normalform

Du weißt bereits, wenn du das Kreuzprodukt zweier linearer unabhängigerVektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ bildest, erhälst du einen neuen Vektor $\vec{n}$ der auf beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ senkrecht steht.

Hast du eine Ebene in Parameterform gegegben und möchtest diese in Normalform umwandeln, gehst du in folgenden Schritten vor:

• Ermittle den Aufpunkt der Ebene aus der Normalform

• Nachdem die beiden Richtungsvektoren der Parameterform die Ebenengleichung beschreiben, musst du das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ausrechnen und erhälst den Normalenvektor der Ebene.

• Setze den Aufpunkt und den Normalenektor in die allgemeine Normalenform $E:\vec{n}\;\circ\;(\vec{X}-\vec{A})=0$ ein.

Beispiel:

Gebe die Normalform der Ebene $E:\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}$ an.

• Aufpunkt $\vec{A}$ der Ebene ist: $\vec{A}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$

• Berechne den Normalenvektor $\vec{n}$ mit dem Kreuzprodukt: $\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$

• Setze den Aufpunkt und den Normalenvektor ind die Ebene ein:$E:\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\circ\left(\vec{X}-\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\right)$