Zwei nicht parallele Geraden $ff$ und $gg$ haben einen Schnittpunkt. (Bild oben links)

$N_2=1N\_2=1$

Eine weitere Gerade $hh$ kann (sofern sie nicht parallel zu $ff$ oder $gg$ ist) $ff$ und $gg$ schneiden. Zu dem einen Schnittpunkt $S1S1$ kommen $22$ Schnittpunkte dazu $S2S2$ und $S3S3$.

$33$ Geraden können $33$ Schnittpunkte haben. (Bild oben rechts)

$N_3=1+2=3N\_3=1+2=3$

Eine weitere Gerade $ii$ kann (sofern sie nicht parallel zu einer der vorherigen Geraden ist) $ff$, $gg$ und $hh$ schneiden. Zu den $33$ Schnittpunkten kommen $33$ Schnittpunkte hinzu $S4S4$, $S5S5$ und $S6S6$.

$44$ Geraden können $66$ Schnittpunkte haben. (Bild unten links)

$N_4=1+2+3=6N\_4=1+2+3=6$

Eine weitere Gerade $jj$ kann (sofern sie nicht parallel zu einer der vorherigen Geraden ist) $ff$, $gg$, $hh$ und $ii$ schneiden. Zu den $66$ Schnittpunkten kommen $44$ Schnittpunkte hinzu $S7S7$, $S8S8$, $S9S9$ und $S10S10$.

$55$ Geraden können $1010$ Schnittpunkte haben. (Bild unten rechts)

$N_5=1+2+3+4=10N\_5=1+2+3+4=10$

.

.

.

$N_n=1+2+3+4+5+6+7+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+(n-1)N\_n=1+2+3+4+5+6+7+.....+(n-1)$

Für diese Summe gibt es eine Formel, die Gaußsche Summenformel:

Bei den Geradenschnittpunkten beginnt die Summe bei $n=1n=1$ und geht bis $(n-1)(n-1)$. Für insgesamt $nn$ Geraden kann die maximale Anzahl der Schnittpunkte dann nach folgender Formel berechnet werden:

Probe:

$n=4\Rightarrow N={\sum }_{n=1}^{3}k={\displaystyle \frac{(4-1)\cdot 4}{2}}={\displaystyle \frac{3\cdot 4}{2}}=6n=4\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;N=\backslash sum\_\{n=1\}^\{3\}k=\backslash dfrac\{(4-1)\backslash cdot\; 4\}\{2\}=\backslash dfrac\{3\backslash cdot\; 4\}\{2\}=6$

$n=5\Rightarrow N={\sum }_{n=1}^{4}k={\displaystyle \frac{(5-1)\cdot 5}{2}}={\displaystyle \frac{4\cdot 5}{2}}=10n=5\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;N=\backslash sum\_\{n=1\}^\{4\}k=\backslash dfrac\{(5-1)\backslash cdot\; 5\}\{2\}=\backslash dfrac\{4\backslash cdot\; 5\}\{2\}=10$