Lösung zu A2.1

Der Winkel $\delta$ lässt sich zerlegen in zwei Teilwinkel, ${\delta }_1$ und ${\delta }_2$.

${\delta }_2$ ist ein rechter Winkel, denn die Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{DC}$ im Trapez $ABCD$ sind parallel und $\overline{DL}$ ist als Höhe des Trapez senkrecht auf diese beide Seiten.

${\delta }_2={90}^{\circ }$

${\delta }_1$ lässt sich mit den Trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck berechnen.

Die Seite $\overline{AL}$ ist die Gegenkathete zum Winkel ${\delta }_1$, die Seite $\overline{DL}$ die Ankathete.

Du verwendest deshalb den Tangens:

$\tan ({\delta }_1)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{3}{4}$

${\delta }_1={\tan }^{-1}(\frac{3}{4})$

${\delta }_1=\mathrm{36,87}{}^{\circ }$

Setze nun die beiden Winkel zusammen.

$\delta ={\delta }_1+{\delta }_2=\mathrm{36,87}{}^{\circ }+90{}^{\circ }=\mathrm{126,87}{}^{\circ }$

Lösung zu A2.2

Verschiebe den Punkt B um 2 cm nach außen, von A weg und den Punkt C und D jeweils 2 cm nach unten.

Lösung zu A2.3

Das gleichschenklige Trapez ist achsensymmetrisch.

Die Strecke $\overline{AL}$ bleibt immer 3 cm , Die Strecke $\overline{DC}=\overline{LE}$ bleibt immer 4,5 cm. Damit das Trapez symmetrisch wird, muss $\overline{E{B}_2}$ ebenfalls 3 cm lang sein.

Lösung zu A2.4

Zunächst brauchst du die allgemeine Formel für die Fläche des Trapez:

$A_{\text{Trapez}}=\frac{a+c}{2}\cdot h$

Die Strecke $a=\overline{DC}$ bleibt fest, die anderen beiden verändern sich!

$a=\overline{DC}=\mathrm{4,5}$

Die Strecken $c=\overline{A{B}_n}$ und $h=\overline{D_{n}L}$ verändern sich in Abhängigkeit von x.

c wird um x cm verängert, h um x cm verkürzt.

$c=\overline{AB}+x=9+x$ $h=\overline{DL}-x=4-x$

Setze alle Strecken in die Formel ein.

$\begin{array}{lcl}{A}_{\text{Trapez}}(x)& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{4,5}+9+x}{2}}\cdot (4-x)\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{13,5}+x}{2}}\cdot (4-x)\\ & & \\ & =& (\mathrm{6,75}+\mathrm{0,5}x)(4-x)\\ & =& 27-\mathrm{6,75}x+2x-\mathrm{0,5}{x}^2\\ & =& -\mathrm{0,5}{x}^2-\mathrm{4,75}x+27\end{array}$

Lösung zu A2.5

Die Fläche des Trapez soll $28{\mathrm{cm}}^2$ sein, das ist der Wert der Funktion $A_{\text{Trapez}}(x)$. Setze das Ergebnis aus A2.4 mit 28 gleich.

$\begin{array}{rcll}28& =& -\mathrm{0,5}{x}^2-\mathrm{4,75}x+27& |-28\\ 0& =& -\mathrm{0,5}{x}^2-\mathrm{4,75}x-1& \end{array}$

Bringe die Gleichung auf die Form $a{x}^2+bx+c=0$ um die Mitternachtsformel anzuwenden.

$x_{1/2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Setze die Werte ein.

$x_{1/2}=\frac{\mathrm{4,75}\pm \sqrt{(-\mathrm{4,75}{)}^2-4\cdot (-\mathrm{0,5})\cdot (-1)}}{2\cdot (-\mathrm{0,5})}$ $x_1=-\mathrm{9,28}$ $x_2=-\mathrm{0,22}$

Beide Werte liegen nicht im Bereich $]0;4[$. Deshalb gibt es kein Trapez, das diese Vorgaben erfüllt