Teil A

Lösung zu a

Um die Wertetabelle zu befüllen, setze die $x$-Werte in die Funktion $f: y=3500\cdot 0{,}85^x$ ein.

Übertrage nun die Werte aus der Tabelle in das Koordinatensystem:

Lösung zu b

Die Funktion $f$ liefert laut Angabe den Restwert des Fahrrads. Der Wertverlust ist die Differenz aus dem ursprünglichen Preis und dem Preis nach $3$ Jahren. Nimm die Werte aus der Tabelle:

• Preis im Jahr $0$: $3500\ €$

• Preis im Jahr $3$: $2149\ €$

$\Rightarrow$ Wertverlust: $1351\ €$

Lösung zu c

Das Fahrrad ist noch die Hälfte seines ursprünglichen Preises wert, also:

$3500\ € : 2= 1750\ €$

Dies ist ein $y$-Wert. Suche den zugehörigen $x$-Wert.

Da der $x$-Wert ungefähr in der Mitte zwischen $4$ und $5$ Jahren liegt, halbiert sich der Wert des Fahrrads nach ungefähr $4{,}5$ Jahren.

Lösung zu a

Der Winkel $\delta$ lässt sich zerlegen in zwei Teilwinkel, $\delta_1$ und $\delta_2$.

$\delta_2$ ist ein rechter Winkel, denn die Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{DC}$ im Trapez $ABCD$ sind parallel und $\overline{DL}$ ist als Höhe des Trapezes senkrecht auf diese beide Seiten.

$\delta_2=90^\circ$

$\delta_1$ lässt sich mit den Trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck berechnen.

Die Seite $\overline{AL}$ ist die Gegenkathete zum Winkel $\delta_1$, die Seite $\overline{DL}$ die Ankathete.

Du verwendest deshalb den Tangens:

$\tan(\delta_1)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{3}{4}$

$\delta_1=\tan^{-1}(\frac{3}{4})$

$\delta_1= 36{,}87\ ^\circ$

Setze nun die beiden Winkel zusammen.

$\delta= \delta_1+\delta_2= 36{,}87\ ^\circ+90\ ^\circ= 126{,}87\ ^\circ$

Lösung zu b

Verschiebe den Punkt $B$ um $2\;\text{cm}$ nach außen, von $A$ weg und den Punkt $C$ und $D$ jeweils $2\;\text{cm}$ nach unten.

Lösung zu c

Das gleichschenklige Trapez ist achsensymmetrisch.

Die Strecke $\overline{AL}$ bleibt immer $3\;\text{cm}$, die Strecke $\overline{DC}=\overline{LE}$ bleibt immer $4{,}5\;\text{cm}$. Damit das Trapez symmetrisch wird, muss $\overline{EB_2}$ ebenfalls $3\;\text{cm}$ lang sein.

Lösung zu d

Zunächst brauchst du die allgemeine Formel für die Fläche des Trapezes:

$A_{\text{Trapez}}=\frac{a+c}{2}\cdot h$

Die Strecke $a=\overline{DC}$ bleibt fest, die anderen beiden verändern sich!

$a=\overline{DC}=4{,}5$

Die Strecken $c=\overline{AB_n}$ und $h=\overline{D_nL}$ verändern sich in Abhängigkeit von x.

c wird um x cm verlängert, h um x cm verkürzt.

$c=\overline{AB}+x= 9 +x$ $h= \overline{DL}-x= 4-x$

Setze alle Strecken in die Formel ein.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{lcl}A_{\text{Trapez}}(x) & = & \dfrac{4{,}5+9+x}{2}\cdot(4-x)\\ \\ & =& \dfrac{13{,}5 +x}{2}\cdot(4-x) \\ \\ & = &(6{,}75 +0{,}5x)(4-x)\\ &=& 27-6{,}75x+2x-0{,}5x^2\\ &=&-0{,}5x^2-4{,}75x+27\end{array}$

Es ist also $A(x)=(-0{,}5x^2-4{,}75x+27)\;\text{cm}^2$.

Lösung zu e

Die Fläche des Trapezes soll $28\ \mathrm{cm}^2$ sein, das ist der Wert der Funktion $A_{\text{Trapez}}(x)$. Setze das Ergebnis aus Teilaufgabe d) mit 28 gleich.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}28&=&-0{,}5x^2-4{,}75x+27 &|-28 \\0&=& -0{,}5x^2-4{,}75x-1\end{array}$

Bringe die Gleichung auf die Form $ax^2+bx+c=0$, um die Mitternachtsformel anzuwenden.

$x_{1/2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Setze die Werte ein.

$x_{1/2}=\dfrac{4{,}75\pm \sqrt{(-4{,}75)^2-4\cdot (-0{,}5)\cdot (-1)}}{2\cdot (-0{,}5)}$ $x_{1}=-9{,}28$ $x_2=-0{,}22$

Beide Werte liegen nicht im Bereich $]0;4[$. Deshalb gibt es kein Trapez, das diese Vorgaben erfüllt.

Lösung zu a

Berechne die Streckenlänge $\overline{FM}$

Verwende, dass das Dreieck BFM rechtwinklig ist.

Die Streckenlänge $\overline{BM}=4{,}5\; \mathrm{cm}$ im Dreieck ist gegeben.

Ebenso der Winkel $\sphericalangle BFM= 77°$.

Verwende den Tangens im rechtwinkligen Dreieck, um die Seitenlänge $\overline{FM}$ zu berechnen.

Die Gegenkathete liegt dem Winkel gegenüber, die Ankathete direkt am Winkel.

Also ist $\overline{FM}$ die Ankathete und $\overline{BM}$ die Gegenkathete.

Berechne die Streckenlänge $\overline{GN}$

Verwende den Vierstreckensatz für die Strecken $\overline{FM}$,$\overline{GN}$, $\overline{BM}$ und $\overline{BN}$

Gegeben ist: $\overline{BM}= 4{,}5\;\mathrm{cm}$

Außerdem ist bekannt: $\overline{AN}=\overline{BN}$ wobei aufgrund der Achsensymmetrie des Axialschnitts gilt:

Du hast gerade berechnet: $\overline{FM}= 1{,}04\;\mathrm{cm}$

Forme den Vierstreckensatz nach $\overline{GN}$ um:

$\overline{GN} = 0{,}58 \ \mathrm{cm}$

Lösung zu b

Das Volumen setzt sich zusammen aus:

• einer halben Kugel

• einem abgeschnittenen Kegel

Berechne das Volumen der Halbkugel

Wir benötigen die Hälfte des Kugelvolumens:

Berechne das Volumen des Kegelstumpfes

Das Volumen eines Kegelstumpfes erhält man, wenn man vom Volumen des großen Kegels das Volumen der abgeschnittenen Spitze, also das des kleinen Kegels abzieht.

Berechne zuerst das Volumen des großen Kegels:

Der Radius $r$ ist die Strecke $\overline{FM}= 1{,}04 \ \mathrm{cm}$. Die Höhe $h$ ist die Strecke $\overline{BM}= 4{,}5\ \mathrm{cm}$.

Berechne anschließend das Volumen des kleinen Kegels, der in der Halbkugel steckt:

Der Radius $r$ ist die Strecke $\overline{GN}=0{,}58 \ \mathrm{cm}$. Die Höhe $h$ ist die Strecke $\overline{BN}= \overline{AN}=2{,}5 \ \mathrm{cm}$.

Ziehe das Volumen des kleinen Kegels vom großen Kegel ab:

$V_{Stumpf}=V_{Kegel1}-V_{Kegel2}= 5{,}10\ \mathrm{cm}^3 - 0{,}88 \ \mathrm{cm}^3= 4{,}22 \ \mathrm{cm}^3$

Setze die Volumina zusammen:

$V_{Kreisel} = V_{Halbkugel} + V_{Stumpf} = 32{,}72 \ \mathrm{cm}^3+4{,}22 \ \mathrm{cm}^3= 36{,}94 \ \mathrm{cm}^3$