Teil A - lernen mit Serlo!

Eine Schreinerei stellt Spielzeugkreisel aus Holz her. Die nebenstehende Zeichnung des Axialschnitts eines Rotationskörpers mit der Rotationsachse $BM$ dient als Vorlage für solche Spielzeugkreisel.

Es gilt: $\overline{AC}=5\;\text{cm};~\overline{BM}=4{,}5\;\text{cm};~\overline{AN}=\overline{BN};~\sphericalangle BFE=77°$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Berechnen Sie die Länge der Strecke $[FM]$ und die Länge der Strecke $[GN]$ .

$[$ Ergebnisse: $\overline{FM}=1{,}04\;\text{cm};~\overline{GN}=0{,}58\;\text{cm}$ $]$

Lösung zu a

Berechne die Streckenlänge $\overline{FM}$

Verwende, dass das Dreieck BFM rechtwinklig ist.

Die Streckenlänge $\overline{BM}=4{,}5\; \mathrm{cm}$ im Dreieck ist gegeben.

Ebenso der Winkel $\sphericalangle BFM= 77°$ .

Verwende den Tangens im rechtwinkligen Dreieck, um die Seitenlänge $\overline{FM}$ zu berechnen.

Die Gegenkathete liegt dem Winkel gegenüber, die Ankathete direkt am Winkel.

Also ist $\overline{FM}$ die Ankathete und $\overline{BM}$ die Gegenkathete.

$\displaystyle tan(\sphericalangle BFM)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{BM}}{\overline{FM}}$	$\displaystyle \cdot \overline{FM}$
$\displaystyle tan(\sphericalangle BFM)\cdot \overline{FM}$	$=$	$\displaystyle \overline{BM}$	$\displaystyle :tan(\sphericalangle BFM)$
$\displaystyle \overline{FM}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{BM}}{tan(\sphericalangle BFM)}$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{4{,}5}{\tan (77^{\circ })}$
	$=$	$\displaystyle 1{,}04\; \mathrm{cm}$

Berechne die Streckenlänge $\overline{GN}$

Verwende den Vierstreckensatz für die Strecken $\overline{FM}$ , $\overline{GN}$ , $\overline{BM}$ und $\overline{BN}$

Gegeben ist: $\overline{BM}= 4{,}5\;\mathrm{cm}$

Außerdem ist bekannt: $\overline{AN}=\overline{BN}$ wobei aufgrund der Achsensymmetrie des Axialschnitts gilt:

\displaystyle \overline{AN} =\overline{AC}:2 = 5\, \mathrm{cm}:2 = 2{,}5 \;\mathrm{cm}

Du hast gerade berechnet: $\overline{FM}= 1{,}04\;\mathrm{cm}$

Forme den Vierstreckensatz nach $\overline{GN}$ um:

$\displaystyle \frac{\overline{GN}}{\overline{FM}}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{BN}}{\overline{BM}}$	$\displaystyle \cdot \overline{FM}$
$\displaystyle \overline{GN}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{BN}}{\overline{BM}}\cdot \overline{FM}$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{2{,}5\; }{4{,}5\;}\cdot 1{,}04$
	↓	Berechne.
	$=$	$\displaystyle 0{,}58\ \mathrm{cm}$

$\overline{GN} = 0{,}58 \ \mathrm{cm}$

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Berechnen Sie das Volumen $V$ eines solchen Spielzeugkreisels.

Lösung zu b

Das Volumen setzt sich zusammen aus:

einer halben Kugel
einem abgeschnittenen Kegel

Berechne das Volumen der Halbkugel

Wir benötigen die Hälfte des Kugelvolumens:

$\displaystyle V_{\text{Halbkugel}}$	$=$	$\displaystyle V_{\text{Kugel}}:2$
	↓	Setze die Formel für das Kugelvolumen ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}r^3\pi :2$
	↓	Fasse zusammen
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}r^3\pi$
	↓	Der Radius r ist die Strecke $\overline{AN}= 2{,}5 \ \mathrm{cm}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\cdot (2{,}5\;\text{cm})^3\pi$
	↓	Berechne.
	$≈$	$\displaystyle 32{,}72\ \mathrm{cm}^3$

Berechne das Volumen des Kegelstumpfes

Das Volumen eines Kegelstumpfes erhält man, wenn man vom Volumen des großen Kegels das Volumen der abgeschnittenen Spitze, also das des kleinen Kegels abzieht.

Berechne zuerst das Volumen des großen Kegels:

Der Radius $r$ ist die Strecke $\overline{FM}= 1{,}04 \ \mathrm{cm}$ . Die Höhe $h$ ist die Strecke $\overline{BM}= 4{,}5\ \mathrm{cm}$ .

$\displaystyle V_{\text{Kegel1}}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\ r^2\pi h$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot (1{,}04\;\text{cm} )^2\cdot \pi \cdot 4{,}5\$
	↓	Berechne
	$≈$	$\displaystyle 5{,}10\ \mathrm{cm}^3$

Berechne anschließend das Volumen des kleinen Kegels, der in der Halbkugel steckt:

Der Radius $r$ ist die Strecke $\overline{GN}=0{,}58 \ \mathrm{cm}$ . Die Höhe $h$ ist die Strecke $\overline{BN}= \overline{AN}=2{,}5 \ \mathrm{cm}$ .

$\displaystyle V_{\text{Kegel2}}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\ r^2\pi h$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot (0{,}58\;\text{cm} )^2\cdot \pi \cdot 2{,}5$
	↓	Berechne
	$≈$	$\displaystyle 0{,}88\ \mathrm{cm}^3$

Ziehe das Volumen des kleinen Kegels vom großen Kegel ab:

$V_{Stumpf}=V_{Kegel1}-V_{Kegel2}= 5{,}10\ \mathrm{cm}^3 - 0{,}88 \ \mathrm{cm}^3= 4{,}22 \ \mathrm{cm}^3$

Setze die Volumina zusammen:

$V_{Kreisel} = V_{Halbkugel} + V_{Stumpf} = 32{,}72 \ \mathrm{cm}^3+4{,}22 \ \mathrm{cm}^3= 36{,}94 \ \mathrm{cm}^3$

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Lösung zu a

Berechne die Streckenlänge FM‾\overline{FM}FM

Berechne die Streckenlänge GN‾\overline{GN}GN

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Lösung zu b

Berechne das Volumen der Halbkugel

Berechne das Volumen des Kegelstumpfes

Setze die Volumina zusammen:

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Berechne die Streckenlänge $\overline{FM}$

Berechne die Streckenlänge $\overline{GN}$