In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße %%X%% mit der Wertemenge %%\{0;1;2;3;4\}%% und dem Erwartungswert %%2%% dargestellt. Weisen Sie nach, dass es sich dabei nicht um eine Binomialverteilung handeln kann. (3 BE)

Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung

Der Erwartungswert einer Binomialverteilung ist %%\mu=n\cdot p%%.

Du weißt aus der Aufgabenstellung,

  • dass %%n=4%% ist (weil die Wertemenge %%\{ 0;1;2;3;4\}%% ist),
  • und dass der Erwartungswert %%\mu=2%% ist.

Daher muss, wenn es sich hier um eine Binomialverteilung handeln sollte, für die Trefferwahrscheinlichkeit %%p%% gelten:

%%2=4\cdot p%%,
das heißt, es muss %%p=0,5%% sein.

Dann hätte z.B. die Wahrscheinlichkeit für %%X=3%% den Wert %%P(X=3)=B(4,\;0,5,\;3)=\binom 43\cdot 0,5^3\cdot 0,5=0,25%%.

Aus der hier gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man allerdings ablesen, dass dies nicht der Fall ist (%%P(X=3)%% ist kleiner als %%0,25%%). Der Erwartungswert lässt sich folglich nicht mit der Formel %%\mu=n\cdot p%% berechnen. Deshalb kann die gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung keine Binomialverteilung sein.

Achtung! Das ist nur ein Beispiel für eine korrekte Lösung.