Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 1

Lösung zur Teilaufgabe a)

$1-p$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim einmaligen Drehen nicht der blaue, also entweder der rote oder der gelbe Sektor getroffen wird. Also ist $(1-p)^7$ die Wahrscheinlichkeit, dass bei siebenmaligen Drehen immer rot oder gelb getroffen wird.

Lösung zur Teilaufgabe b)

Das mehrmalige Drehen des Glücksrads ist eine Bernoulli-Kette der Länge 10, da es genau zwei Ergebnisse, blau und nicht-blau, gibt und das Drehen 10-mal in voneinander unabhängigen Durchgängen wiederholt wird. Somit kannst du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "genau zweimal blau" mit der Bernoulli-Formel berechnen. $n=10$, da es zehn Wiederholungen gibt, $k=2$, da genau zweimal der blaue Sektor getroffen werden soll, und $p$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, den blauen Sektor zu treffen:

Lösung zur Teilaufgabe c)

Die einzelnen Drehungen des Glücksrads sind voneinander unabhängig, das heißt die Wahrscheinlichkeit, den gelben Sektor zu treffen, ist nicht von vorherigen Ergebnissen beeinflusst. Deshalb ist Felix' Aussage falsch.

Lösung zur Teilaufgabe d)

Die Situation entspricht dem viermaligen Ziehen aus einer Urne mit 2 Kugeln, mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge. Die Anzahl der Möglichkeiten wird durch den Term $n^k$ beschrieben, wobei $n$ die Zahl der Kugeln in der Urne und $k$ die Zahl der Ziehungen ist. Es soll die Anzahl der Möglichkeiten ohne die Farbe "blau" ermittelt werden, also ist die Zahl der Kugeln die Gesamtzahl der Sektoren ($3$) ohne blau (minus $1$) und es wird viermal gedreht, deswegen ist die Zahl der Ziehungen $4$. Die Anzahl der Möglichkeiten ist also $2^4=16$.

Der Erwartungswert einer Binomialverteilung ist $\mu=n\cdot p$.

Du weißt aus der Aufgabenstellung,

• dass $n=4$ ist (weil die Wertemenge $\{ 0;1;2;3;4\}$ ist),

• und dass der Erwartungswert $\mu=2$ ist.

Daher muss, wenn es sich hier um eine Binomialverteilung handeln sollte, für die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ gelten:

$2=4\cdot p$, das heißt, es muss $p=0{,}5$ sein.

Dann hätte z.B. die Wahrscheinlichkeit für $X=3$ den Wert $P(X=3)=B(4,\;0{,}5,\;3)=\binom 43\cdot 0{,}5^3\cdot 0{,}5=0{,}25$.

Aus der hier gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man allerdings ablesen, dass dies nicht der Fall ist ($P(X=3)$ ist kleiner als $0{,}25$). Der Erwartungswert lässt sich folglich nicht mit der Formel $\mu=n\cdot p$ berechnen. Deshalb kann die gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung keine Binomialverteilung sein.

Achtung! Das ist nur ein Beispiel für eine korrekte Lösung.