II. Spurpunkte - eine Ebene skizzieren

Spurpunkte - eine Ebene skizzieren:

Um die zu einer Koordinatengleichung einer Ebene zugehörige Ebene einfach zu visualisieren, nutzt man, genauso wie bei Geraden, ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Diese Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen heißen Spurpunkte. So wie du eine Gerade im KoSy-zeichnen kannst, wenn du ihre beiden Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen kennst, so ist es auch bei Ebenen. Der einzige Unterschied ist: hier brauchst du drei Schnittpunkte!

Wenn du schon ahnst, wie es geht, berechne die Spurpunkte der folgenden Ebene: $$E: 1\cdot x_1+2\cdot x_2+4\cdot x_3=4$$ Die Lösung findest du weiter unten unter Lösung. Wenn du keine Ahnung hast, wie diese Spurpunkte berechnet werden können, lies weiter.

Betrachten wir weiter unsere Ebene aus obigem Beispiel:

$$E: 1\cdot x_1+2\cdot x_2+4\cdot x_3=4$$ Hier stehen die drei Einträge %%x_1, x_2 und x_3%% für die drei Koordinatenachsen. Oft werden die drei Achsen statt mit %%x_1, x_2 und x_3%% mit %%x, y und z%% bezeichnet. Dann wird die Ebene aus dem Beispiel so geschrieben: $$E: 1\cdot x+2\cdot y+4\cdot z=4$$

Welche Schreibweise du vorfindest, hängt also davon ab, wie die Koordinatenachsen beschriftet werden!

Die drei Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen haben offensichtlich folgende Gestalt:

$$Schnittpunkt\;mit\;x-Achse:S_x=(a\vert0\vert0)$$ $$Schnittpunkt\;mit \;y-Achse:S_y=(0|b|0).$$ $$Schnittpunkt \;mit \;z-Achse:S_z=(0|0|c).$$

Setzen wir den ersten Punkt in die Ebenengleichung ein, so ergibt sich:

%%S_X\;in\;E: 1\cdot a+2\cdot 0+4\cdot 0=4%% $$1a=4$$ $$a=4$$

Der Schnittpunkt mit der X-Achse ist also %%S_x(4|0|0)%%

Die Schnittpunkte mit den anderen beiden Achsen ermitelt man analog. Berechne die Schnittpunkte mit der %%y-%% und %%z-Achse%%!

**Lösung**

Der Schnittpunkt mit der X-Achse also %%S_x(4|0|0)%% Der Schnittpunkt mit der Y-Achse also %%S_y(0|2|0)%%. Der Schnittpunkt mit der Z-Achse also %%S_z(0|0|1)%%.

Spurpunkte zum skizzieren der Ebene nutzen

Anschließend zeichnet man diese drei Punkte nun in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem ein und verbindet sie:

Du siehst an dem Bild, dass z.B. der Punkt %%P(5|0|0)%% nicht in der Ebene liegt. Dies bestätigt sich auch durch Einsetzen des Punktes in die Koordinatenform:

$$E: 1\cdot 5+2\cdot 0+4\cdot 0 =5 \neq 4$$ (unwahre Aussage)

Dagegen kannst du im Bild sehen, dass der Punkt %%Q(2|1|0)%% wahrscheinlich in der Ebene liegt. Auch dies bestätigt sich durch Einsetzen des Punktes in die Koordinatenform:

$$E: 1\cdot 2+2\cdot 1+4\cdot 0=4$$ (wahre Aussage)

Die Ebene ensteht durch unendliche viele Punkte und jeder Punkt ist eine Lösung der Gleichung.

Der folgende Link führt dich zu einer LearningApp, bei der du das Gerlernte üben kannst:

https://learningapps.org/watch?v=psjeb9bk518

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