Sind die folgenden Vektoren parallel zueinander? Begründe.

%%\vec{v} = \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}, \vec{w}=\begin{pmatrix} -1\\ -2 \end{pmatrix}%%

Gibt es wirklich kein %%k\in \mathbb{R}%% mit %%\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} = k \cdot\begin{pmatrix} -1\\ -2 \end{pmatrix}%% ?

Es gilt: $$\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} = -1\cdot\begin{pmatrix} -1\\ -2 \end{pmatrix}$$ Diese Vektoren sind parallel, gleich lang und zeigen in entgegengesetzte Richtung.

%%\vec{a}=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}%%

Die Vektoren hier sind ein bisschen anders als die in der ersten Teilaufgabe. Schaue dir vielleicht nochmal die Vorzeichen ihrer Koordinaten an.

Diese Vektoren sind nicht parallel. Es kann kein %%k\in\mathbb{R}%% geben mit %%\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} = k\cdot\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}%%, denn damit diese Gleichung stimmt müssen gleichzeitig beide Koordinaten der Vektoren übereinstimmen. In formeln muss also

%%\begin{align}1 &= -k \\ 2 &= 2k\end{align}%%

(für die ersten Koordinaten) und
(für die zweiten Koordinaten) gelten.

Wenn du diese Gleichungen jeweils nach %%k%% auflöst, steht da

$$\begin{align}k &= -1 \text{ und }\\k&=1 \end{align}$$

und offensichtlich kann nicht beides gleichzeitig stimmen.

%%\vec{q=}\begin{pmatrix} 0,5\\ 7 \end{pmatrix}, \vec{p}= \begin{pmatrix} 3,5\\ 49 \end{pmatrix}%%

Gibt es wirklich kein %%k\in \mathbb{R}%% mit %%\begin{pmatrix} 0,5\\7 \end{pmatrix} = k\cdot \begin{pmatrix} 3,5\\49 \end{pmatrix}%% ?

Um ein %%k%% zu finden mit %%\vec{q} = k \cdot\vec{p}%%, musst du das Verhältnis der Koordinaten beider Vektoren vergleichen.

An diesem Beispiel tust du dir ein bisschen leichter, wenn du dir zuerst die zweiten Koordinaten anschaust.

%%\begin{pmatrix} 0,5\\ \mathbf{7}\end{pmatrix} = k \cdot\begin{pmatrix} 3,5\\ \mathbf{49} \end{pmatrix}%%

Hier siehst du das Verhältnis %%1:7%%, denn

%%\begin{array}{lcr} &7\cdot7 &= &49 \\ &7 &= &\displaystyle \frac{1}{7}\cdot49\end{array}%%

oder andersrum

Die einzig mögliche Wahl für ein %%k%% mit %%\vec{q} = k\cdot \vec{p}%% ist also %%k = 1/7%%.
Nun musst du nur überprüfen, ob für die beiden ersten Kooridnaten auch dieses Verhältnis stimmt.

%%0,5 = \displaystyle\frac{1}{7}\cdot 3,5%%

stimmt tatsächlich!

Insgesamt gilt also

%%\begin{pmatrix} 0,5\\ 7\end{pmatrix} = \displaystyle\frac{1}{7}\cdot\begin{pmatrix} 3,5\\49 \end{pmatrix}%%

und damit sind %%\vec{q}%% und %%\vec{p}%% parallel. Sie zeigen beide in dieselbe Richtung und %%\vec{p}%% ist sieben Mal so lang wie %%\vec{q}%%.

%%\vec{x} =\begin{pmatrix} 2.1\\ 0\\ 1,5 \end{pmatrix}, \vec{y}=\begin{pmatrix} 2.1\\ 0\\ 1,5 \end{pmatrix}%%

Die beiden Vektoren sind gleich. Sind sie dann nicht parallel?

Es gilt $$\begin{pmatrix} 2.1\\ 0\\ 1,5 \end{pmatrix} =1\cdot \begin{pmatrix} 2.1\\ 0\\ 1,5 \end{pmatrix}$$

Du kannst dir also merken, dass jeder Vektor parallel zu sich selbst ist.

%%\vec{f} = \begin{pmatrix} -1/6\\ r\\ 2 \end{pmatrix},\vec{g}=\begin{pmatrix} 1/3\\ 4\\ -4 \end{pmatrix}%%

Vorsicht: Bei dieser Aufgabe können mehrere Antworten richtig sein.

Hast du dir überlegt was für verschiedene Werte von %%r%% passiert?

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Schritt 1: Mögliche Kandidaten für %%k%% finden

Dazu kannst du zum Beispiel die ersten Koordinaten vergleichen.

%%\vec{f} = \begin{pmatrix}\mathbf{-1/6}\\r\\2 \end{pmatrix}, \vec{g} = \begin{pmatrix} \mathbf{1/3}\\4\\-4\end{pmatrix}%%

Teile die linke Koordinate durch die rechte um ein Kandidat für %%k%% zu finden.

Warum macht man das so?

Wir wollen, dass die Beziehung %%\vec{f} = k\cdot \vec{g}%% gilt.

Das bedeutet, dass für jede einzelne Koordinate (bzw. Komponente) diese Beziehung gelten muss. Also zum Beispiel für die erste Koordinate (Komponente): %%-\frac{1}{6} = k \cdot \frac13%%. Um %%k%% zu erhalten musst du nur noch danach auflösen.

%%\displaystyle -\frac{1}{6} : \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}%%

%%k= -\frac{1}{2}%% ist also der einzige Kandidat, der in Frage kommt um %%\vec{f} = k\cdot \vec{g}%% zu schreiben.

Beachte: Bis jetzt gilt dieses %%k=-\frac12%% nur für die erste Koordinate (Komponente).

Schritt 2: Überprüfen ob das berechnete %%k%% die Gleichung %%\vec{f} = k\cdot\vec{g}%% löst

Multipliziere dafür %%k= -\frac{1}{2}%% mit %%\vec{g}%% um nachzuprüfen, ob tatsächlich %%\vec{f}%% rauskommt.

%%\begin{array}{lcr}k\cdot \vec{g} &=& -\dfrac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 1/3\\4\\-4\end{pmatrix} & = &\begin{pmatrix}-1/6\\-2\\2 \end{pmatrix}\\ \end{array} %%

%%\begin{array}{lcr} \vec{f} &= &\begin{pmatrix}-1/6\\r\\2 \end{pmatrix} \end{array} %%

Die Vektoren %%k\cdot\vec{g}%% und %%\vec{f}%% sehen bereits sehr ähnlich aus. Deren ersten Koordinaten stimmen überein. Auch die dritten Koordinaten sind identisch.
Wenn du jetzt die zweiten Koordinaten vergleichst, kannst du die Werte von %%r%% finden, für die %%\vec{f}%% und %%\vec{g}%% parallel sind.

%%\begin{align} &\begin{pmatrix}-1/6\\\mathbf{r}\\2 \end{pmatrix}& &\stackrel{!}{=}& &\begin{pmatrix} -1/6\\\mathbf{- 2}\\2\end{pmatrix}\end{align}%%

Diese Gleichheit ist nur für %%r = -2%% erfüllt. Nur dann gilt also %%\vec{f} = k\cdot \vec{g}.%%

%%\Rightarrow%% Für %%r = -2%% sind %%\vec{f}%% und %%\vec{g}%% parallel.


Bemerkung zum Parameter %%r%%

Für alle anderen Werte von %%r%% können die Vektoren %%\vec{f}%% und %%\vec{g}%% nicht parallel sein.

Beispiel: Wenn du für %%r%% Null einsetzt erhältst du die Vektoren

%%\vec{f} = \begin{pmatrix}-1/6\\0\\2 \end{pmatrix}, \vec{g} = \begin{pmatrix} 1/3\\4\\-4\end{pmatrix}%%

Wenn du jetzt die zweiten Koordinaten beider Vektoren vergleichst stellst du folgendes fest:

%%\vec{f} = \begin{pmatrix}-1/6\\\mathbf{0}\\2 \end{pmatrix}, \vec{g} = \begin{pmatrix} 1/3\\ \mathbf{4}\\-4\end{pmatrix}%%

Es gilt %%0 = 0\cdot 4%%.

Damit also %%\vec{f} = k\cdot \vec{g}%% überhaupt gelten kann müsste also %%k=0%% sein. Dann wäre aber $$k\cdot \vec{g} = 0\cdot \begin{pmatrix} 1/3\\ 4\\-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\0\end{pmatrix}$$ und dieser Vektor ist offensichtlich nicht gleich %%\vec{f}%%.

%%\Rightarrow%% Für manche Werte von %%r%% sind %%\vec{f}%% und %%\vec{g}%% nicht parallel.

Die richtigen Lösungen sind dann: Für manche Werte von %%r%% sind die Vektoren parallel und für manche (andere) Werte von %%r%% sind sie nicht parallel.