Aufgaben
Multipliziere den Vektor mit dem Skalar.
5(35)5\cdot\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalare Multiplikation

5(35)5\cdot\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}
Multipliziere komponentenweise.
=(5355)=(1525)=\begin{pmatrix}5\cdot3\\5\cdot5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\\25\end{pmatrix}
u=(35)u=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}
Gemetrische Anschauung: Skalare Multiplikation eines Vektors
1(31)-1\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalare Multiplikation

1(31)-1\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
Multipliziere komponentenweise.
=(1311)=(31)=\begin{pmatrix}-1\cdot3\\-1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-1\end{pmatrix}
u=(31)u=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
Geometrische Anschauung: Skalare Multiplikation eines Vektors
79(2722,5)\displaystyle\frac{7}9\cdot\begin{pmatrix}27\\22,5\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalare Multiplikation

79(2722,5)\displaystyle\frac79\cdot\begin{pmatrix}27\\22,5\end{pmatrix}
Multipliziere komponentenweise.
=(79277922,5)=(2117,5)=\displaystyle\begin{pmatrix}\frac79\cdot27\\\frac79\cdot22,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}21\\17,5\end{pmatrix}
u=(2722,5),v=79uu=\begin{pmatrix}27\\22,5\end{pmatrix},\displaystyle v=\frac79 \cdot u
Geometrische Anschauung: Skalare Multiplikation eines Vektors
Berechne den Lösungsvektor.
(11)+2(12)+(06)\displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren, Skalare Multiplikation
(11)+2(12)+(06)\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}
Multipliziere zuerst den Vektor komponentenweise mit dem Skalar.
=(11)+(212(2))+(06)=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\cdot1\\2\cdot(-2)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}
Addiere die Vektoren komponentenweise.
=(1+21+01+2(2)+6)=(33)=\begin{pmatrix}1+2\cdot1+0\\1+2\cdot(-2)+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}
  • Schritt 0: Vektor (11)\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} einzeichnen.
  • Schritt 1: Vektor (12)\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} einzeichnen.
  • Schritt 2: Vektor (12)\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} um den Faktor 2 strecken.
  • Schritt 3: Vektoren (11)\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} und 2(12)2\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} addieren
  • Schritt 4: Vektor (06)\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix} addieren.
  • Schritt 5: Lösungsvektor (33)\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix} einzeichnen.
Bewege den Schieberegler im Applet um die Schritte anzeigen zu lassen.
GeoGebra
4(02)+(60)(03)4\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren, Skalare Multiplikation
4(02)+(60)(03)4\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\\
Multipliziere zuerst den ersten Vektor mit dem Skalar.
=(08)+(60)(03)=\begin{pmatrix}0\\-8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\\
Addiere und subtrahiere die Vektoren komponentenweise.
=(0+608+03)=(611)=\begin{pmatrix}0+6-0\\-8+0-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-11\end{pmatrix}
  • Schritt 1: Strecke den ersten Vektor (rot) mit einem Skalar.
  • Schritt 2: Addiere den zweiten Vektor(orange).
  • Schritt 3: Subtrahiere den dritten Vektor(grün) und erhalte den Lösungsvektor (türkis).
Bewege den Schieberegler im Applet um die Schritte anzeigen zu lassen.
GeoGebra
5(33)3(92)+4(32,25)5\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}-3\\-2,25\end{pmatrix}
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren, Skalare Multiplikation
5(33)3(92)+4(32,25)5\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}-3\\-2,25\end{pmatrix}
Multipliziere die Vektoren komponentenweise mit den Skalaren.
=(5(3)53)(3(9)32)+(4(3)4(2,25))=\begin{pmatrix}5\cdot(-3)\\5\cdot3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\cdot(-9)\\3\cdot2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\cdot(-3)\\4\cdot(-2,25)\end{pmatrix}
Addiere bzw. subtrahiere komponentenweise.
=(5(3)3(9)+4(3)5332+4(2,25))=(00)=\begin{pmatrix}5\cdot(-3)-3\cdot(-9)+4\cdot(-3)\\5\cdot3-3\cdot2+4\cdot(-2,25)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}
  • Schritt 0: Vektor (33)\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix} einzeichnen.
  • Schritt 1: Vektor (33)\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix} um den Faktor 5 strecken.
  • Schritt 2: Vektor (92)\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix} einzeichnen.
  • Schritt 3: Vektor (92)\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix} u den Faktor 3 strecken.
  • Schritt 4: Vektor 3(92)3\cdot\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix} von 5(33)5\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix} subtrahieren.
  • Schritt 5: Vektor (32,25)\begin{pmatrix}-3\\-2,25\end{pmatrix} einzeichnen.
  • Schritt 6: Vektor (32,25)\begin{pmatrix}-3\\-2,25\end{pmatrix} um den Faktor 4 strecken.
  • Schritt 7: Die beiden übrigen Vektoren werden addiert.
  • Schritt 8: Übrig bleibt der 0-Vektor.
Bewege den Schieberegler im Applet um die Schritte anzeigen zu lassen.
GeoGebra

Berechne den Lösungsvektor.

%%\displaystyle 3\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}%%

Für diese Aufgabe musst du wissen, wie man Vektoren addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert.

%%\displaystyle 3\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}%%

Multipliziere zuerst den Vektor komponentenweise mit dem Skalar.

%%=\displaystyle \begin{pmatrix}3\cdot1\\3\cdot(-1)\\3\cdot0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}%%

Addiere und subtrahiere die Vektoren komponentenweise.

%%=\displaystyle \begin{pmatrix}3\cdot1+1+0\\3\cdot(-1)-2-6\\3\cdot0+3-2\end{pmatrix}%%

Rechne jede Komponente aus.

%%=\displaystyle \begin{pmatrix}3+1\\-3-2-6\\3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-11\\1\end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix}-3\\1\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}0\\-9\\2\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\-1,5\end{pmatrix}%%

Für diese Aufgabe musst du wissen, wie man Vektoren addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert.

%%\begin{pmatrix}-3\\1\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}0\\-9\\2\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\-1,5\end{pmatrix}%%

Multipliziere zuerst die Vektoren komponentenweise mit dem jeweiligen Skalar.

%%=\begin{pmatrix}-3\\1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\cdot0\\3\cdot(-9)\\3\cdot2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\cdot1\\2\cdot(-3)\\2\cdot(-1,5)\end{pmatrix}%%

Berechne die Produkte.

%%=\begin{pmatrix}-3\\1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-27\\6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\-6\\-3\end{pmatrix}%%

Addiere und subtrahiere die Vektoren komponentenweise.

%%=\begin{pmatrix}-3-0+2\\1-(-27)+(-6)\\3-6+(-3)\end{pmatrix}%%

Rechne jede Komponente aus.

%%=\begin{pmatrix}-1\\22\\-6\end{pmatrix}%%

Gegeben seien die Punkte A(40)A(-4|0), B(21)B(2|-1) und C(52)C(5|2). Vervollständige zu einem Parallelogramm und berechne die Lage des Schnittpunktes seiner Diagonalen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt

Bestimme zuerst a=AB\vec a = \overrightarrow{AB} und b=BC\vec b = \overrightarrow{BC}.
a=(2(4)10)=(61)\vec a = \begin{pmatrix}2- & (-4)\\-1 & -0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\ -1 \end{pmatrix}
b=(522(1))=(33)\vec b = \begin{pmatrix} 5 & -2\\2- & (-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}
Da ABCDABCD ein Parallelogramm ist, gilt außerdem AB=DC\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} und BC=AD\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.
Gegeben sind die Vektoren a=(12)\vec a=\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix} , b=(34,5)\vec b=\begin{pmatrix}3\\4{,}5 \end{pmatrix} und c=(50)\vec c=\begin{pmatrix}5\\0 \end{pmatrix}. Berechne jeweils den Vektor, der sich durch die angegebene Vektorkette ergibt!
d=7a+2b25c\displaystyle \vec d=7\vec a+2\vec b-\frac{2}{5}\vec c

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren

d=7a+2b25c=7(12)+2(34,5)25(50)=\displaystyle \vec d=7\vec a+2\vec b-\frac{2}{5}\vec c=7\cdot\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix} +2\cdot\begin{pmatrix} 3\\4{,}5\end{pmatrix} -\frac{2}{5}\cdot\begin{pmatrix} 5\\0\end{pmatrix}=
=(7(1)72)+(2324,5)(255250)=(7+6214+90)=(323)\displaystyle =\begin{pmatrix}7\cdot(-1)\\7\cdot2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2\cdot3\\2\cdot4{,}5 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} \dfrac{2}{5}\cdot5\\\dfrac{2}{5}\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -7+6-2\\14+9-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\23 \end{pmatrix}
e=23b4a\displaystyle \vec e=\frac{2}{3}\vec b-4\vec a

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren

e=23b4a=23(34,5)4(12)=\displaystyle \vec e=\frac{2}{3}\vec b-4\vec a=\frac{2}{3}\cdot\begin{pmatrix} 3\\4,5\end{pmatrix}-4\cdot\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}=
=(233234,5)(4(1)42)=(2(4)38)=(65)\displaystyle =\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}\cdot3\\\dfrac{2}{3}\cdot4,5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4\cdot(-1)\\4\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2-(-4)\\3-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-5 \end{pmatrix}
Sind die folgenden Vektoren parallel zueinander? Begründe.
%%\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \vec{w}=\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}%%
Ja, sie sind parallel.
Nein, sie sind nicht parallel.
%%\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}%%
Nein, sie sind nicht parallel.
Ja, sie sind parallel.
%%\vec{q=}\begin{pmatrix}0,5\\7\end{pmatrix}, \vec{p}= \begin{pmatrix}3,5\\49\end{pmatrix}%%
Ja, sie sind parallel.
Nein, sie sind nicht parallel.
%%\vec{x} =\begin{pmatrix}2.1\\0\\1,5\end{pmatrix}, \vec{y}=\begin{pmatrix}2.1\\0\\1,5\end{pmatrix}%%
Ja, sie sind parallel.
Nein, sie sind nicht parallel.
%%\vec{f} = \begin{pmatrix}-1/6\\r\\2\end{pmatrix},\vec{g}=\begin{pmatrix}1/3\\4\\-4\end{pmatrix}%%
Vorsicht: Bei dieser Aufgabe können mehrere Antworten richtig sein.
Für manche Werte von rr sind die Vektoren nicht parallel.
Für manche Werte von rr sind die Vektoren parallel.
Nein, die Vektoren können nicht parallel sein.
Tipp: Vergiss erstmal die zweite Koordinate, wo der Parameter rr vorkommt und vergleiche die anderen Koordinaten der Vektoren f\vec{f} und g\vec{g}.

Schritt 1: Mögliche Kandidaten für kk finden

Dazu kannst du zum Beispiel die ersten Koordinaten vergleichen.
f=(1/6r2),g=(1/344)\vec{f} = \begin{pmatrix}\mathbf{-1/6}\\r\\2 \end{pmatrix}, \vec{g} = \begin{pmatrix} \mathbf{1/3}\\4\\-4\end{pmatrix}
Teile die linke Koordinate durch die rechte um ein Kandidat für kk zu finden.
Wir wollen, dass die Beziehung f=kg\vec{f} = k\cdot \vec{g} gilt.
Das bedeutet, dass für jede einzelne Koordinate (bzw. Komponente) diese Beziehung gelten muss. Also zum Beispiel für die erste Koordinate (Komponente): 16=k13-\frac{1}{6} = k \cdot \frac13.Um kk zu erhalten musst du nur noch danach auflösen.
16:13=12\displaystyle -\frac{1}{6} : \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}

k=12k= -\frac{1}{2} ist also der einzige Kandidat, der in Frage kommt um f=kg\vec{f} = k\cdot \vec{g} zu schreiben.
Beachte: Bis jetzt gilt dieses k=12k=-\frac12 nur für die erste Koordinate (Komponente).

Schritt 2: Überprüfen ob das berechnete kk die Gleichung f=kg\vec{f} = k\cdot\vec{g} löst

Multipliziere dafür k=12k= -\frac{1}{2} mit g\vec{g} um nachzuprüfen, ob tatsächlich f\vec{f} rauskommt.
%%\begin{array}{lcr}k\cdot \vec{g} &=& -\dfrac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 1/3\\4\\-4\end{pmatrix} & = &\begin{pmatrix}-1/6\\-2\\2 \end{pmatrix}\\\end{array}%%
%%\begin{array}{lcr}\vec{f} &= &\begin{pmatrix}-1/6\\r\\2 \end{pmatrix}\end{array}%%
Die Vektoren kgk\cdot\vec{g} und f\vec{f} sehen bereits sehr ähnlich aus. Deren ersten Koordinaten stimmen überein. Auch die dritten Koordinaten sind identisch. Wenn du jetzt die zweiten Koordinaten vergleichst, kannst du die Werte von rr finden, für die f\vec{f} und g\vec{g} parallel sind.
%%\begin{align} &\begin{pmatrix}-1/6\\\mathbf{r}\\2 \end{pmatrix}& &\stackrel{!}{=}& &\begin{pmatrix} -1/6\\\mathbf{-2}\\2\end{pmatrix}\end{align}%%

Diese Gleichheit ist nur für r=2r = -2 erfüllt. Nur dann gilt also f=kg.\vec{f} = k\cdot \vec{g}.
\Rightarrow Für r=2r = -2 sind f\vec{f} und g\vec{g} parallel.

Bemerkung zum Parameter rr

Für alle anderen Werte von rr können die Vektoren f\vec{f} und g\vec{g} nicht parallel sein.
Beispiel: Wenn du für rr Null einsetzt erhältst du die Vektoren
f=(1/602),g=(1/344)\vec{f} = \begin{pmatrix}-1/6\\0\\2 \end{pmatrix}, \vec{g} = \begin{pmatrix} 1/3\\4\\-4\end{pmatrix}

Wenn du jetzt die zweiten Koordinaten beider Vektoren vergleichst stellst du folgendes fest:
f=(1/602),g=(1/344)\vec{f} = \begin{pmatrix}-1/6\\\mathbf{0}\\2 \end{pmatrix}, \vec{g} = \begin{pmatrix} 1/3\\ \mathbf{4}\\-4\end{pmatrix}
Es gilt 0=040 = 0\cdot 4.
Damit also f=kg\vec{f} = k\cdot \vec{g} überhaupt gelten kann müsste also k=0k=0 sein. Dann wäre aber $$k\cdot \vec{g} = 0\cdot \begin{pmatrix} 1/3\\ 4\\-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\0\end{pmatrix}$$ und dieser Vektor ist offensichtlich nicht gleich f\vec{f}.
\Rightarrow Für manche Werte von rr sind f\vec{f} und g\vec{g} nicht parallel.
Die richtigen Lösungen sind dann: Für manche Werte von rr sind die Vektoren parallel und für manche (andere) Werte von rr sind sie nicht parallel.
In einem Koordinatensystem hat der Punkt A die Koordinaten (2,3,0)\left(2,3,0\right). Den Punkt B erhält man, in dem man vom Punkt A aus dem Vektor u=(374)\vec u=\begin{pmatrix}3\\7\\-4\end{pmatrix}folgt. Bestimme die Koordinaten des Punktes B rechnerisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorketten

Du bestimmst Koordinaten immer vom Ursprung aus. Laufe zunächst zum Punkt A und dann weiter in Richtung des Vektors u\vec u.
Bilde also eine Vektorkette beginnend mit dem Ortsvektor von A.
B=A+u=(230)+(374)=(5104)\vec B= \vec A + \vec u = \begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\7\\-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\\10\\-4\end{pmatrix}
Der Punkt B hat also die Koordinaten B(5|10|-4).
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