Aufgaben zur skalaren Multiplikation und zu Vektorketten

Aufgaben
Multipliziere den Vektor mit dem Skalar.
Kommentieren
5⋅(35)5\cdot\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalare Multiplikation

5⋅(35)5\cdot\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}
Multipliziere komponentenweise.
=(5⋅35⋅5)=(1525)=\begin{pmatrix}5\cdot3\\5\cdot5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\\25\end{pmatrix}
Geometrische Anschauung
u=(35)u=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}
Gemetrische Anschauung: Skalare Multiplikation eines Vektors
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information
−1⋅(31)-1\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalare Multiplikation

−1⋅(31)-1\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
Multipliziere komponentenweise.
=(−1⋅3−1⋅1)=(−3−1)=\begin{pmatrix}-1\cdot3\\-1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-1\end{pmatrix}
Geometrische Anschauung
u=(31)u=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
Geometrische Anschauung: Skalare Multiplikation eines Vektors
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information
79⋅(2722,5)\displaystyle\frac{7}9\cdot\begin{pmatrix}27\\22,5\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalare Multiplikation

79⋅(2722,5)\displaystyle\frac79\cdot\begin{pmatrix}27\\22,5\end{pmatrix}
Multipliziere komponentenweise.
=(79⋅2779⋅22,5)=(2117,5)=\displaystyle\begin{pmatrix}\frac79\cdot27\\\frac79\cdot22,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}21\\17,5\end{pmatrix}
Geometrische Anschauung
u=(2722,5),v=79⋅uu=\begin{pmatrix}27\\22,5\end{pmatrix},\displaystyle v=\frac79 \cdot u
Geometrische Anschauung: Skalare Multiplikation eines Vektors
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information
Berechne den Lösungsvektor.
Kommentieren
(11)+2⋅(1−2)+(06)\displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren, Skalare Multiplikation
(11)+2⋅(1−2)+(06)\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}
Multipliziere zuerst den Vektor komponentenweise mit dem Skalar.
=(11)+(2⋅12⋅(−2))+(06)=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\cdot1\\2\cdot(-2)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}
Addiere die Vektoren komponentenweise.
=(1+2⋅1+01+2⋅(−2)+6)=(33)=\begin{pmatrix}1+2\cdot1+0\\1+2\cdot(-2)+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}
Geometrische Anschauung
  • Schritt 0: Vektor (11)\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} einzeichnen.
  • Schritt 1: Vektor (1−2)\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} einzeichnen.
  • Schritt 2: Vektor (1−2)\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} um den Faktor 2 strecken.
  • Schritt 3: Vektoren (11)\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} und 2⋅(1−2)2\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} addieren
  • Schritt 4: Vektor (06)\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix} addieren.
  • Schritt 5: Lösungsvektor (33)\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix} einzeichnen.
Bewege den Schieberegler im Applet um die Schritte anzeigen zu lassen.
GeoGebra
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information
4⋅(0−2)+(60)−(03)4\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren, Skalare Multiplikation
4⋅(0−2)+(60)−(03)4\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\\
Multipliziere zuerst den ersten Vektor mit dem Skalar.
=(0−8)+(60)−(03)=\begin{pmatrix}0\\-8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\\
Addiere und subtrahiere die Vektoren komponentenweise.
=(0+6−0−8+0−3)=(6−11)=\begin{pmatrix}0+6-0\\-8+0-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-11\end{pmatrix}
Geometrische Anschauung
  • Schritt 1: Strecke den ersten Vektor (rot) mit einem Skalar.
  • Schritt 2: Addiere den zweiten Vektor(orange).
  • Schritt 3: Subtrahiere den dritten Vektor(grün) und erhalte den Lösungsvektor (türkis).
Bewege den Schieberegler im Applet um die Schritte anzeigen zu lassen.
GeoGebra
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information
5⋅(−33)−3⋅(−92)+4⋅(−3−2,25)5\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}-3\\-2,25\end{pmatrix}
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren, Skalare Multiplikation
5⋅(−33)−3⋅(−92)+4⋅(−3−2,25)5\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}-3\\-2,25\end{pmatrix}
Multipliziere die Vektoren komponentenweise mit den Skalaren.
=(5⋅(−3)5⋅3)−(3⋅(−9)3⋅2)+(4⋅(−3)4⋅(−2,25))=\begin{pmatrix}5\cdot(-3)\\5\cdot3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\cdot(-9)\\3\cdot2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\cdot(-3)\\4\cdot(-2,25)\end{pmatrix}
Addiere bzw. subtrahiere komponentenweise.
=(5⋅(−3)−3⋅(−9)+4⋅(−3)5⋅3−3⋅2+4⋅(−2,25))=(00)=\begin{pmatrix}5\cdot(-3)-3\cdot(-9)+4\cdot(-3)\\5\cdot3-3\cdot2+4\cdot(-2,25)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}
Geometrische Anschauung
  • Schritt 0: Vektor (−33)\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix} einzeichnen.
  • Schritt 1: Vektor (−33)\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix} um den Faktor 5 strecken.
  • Schritt 2: Vektor (−92)\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix} einzeichnen.
  • Schritt 3: Vektor (−92)\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix} u den Faktor 3 strecken.
  • Schritt 4: Vektor 3⋅(−92)3\cdot\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix} von 5⋅(−33)5\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix} subtrahieren.
  • Schritt 5: Vektor (−3−2,25)\begin{pmatrix}-3\\-2,25\end{pmatrix} einzeichnen.
  • Schritt 6: Vektor (−3−2,25)\begin{pmatrix}-3\\-2,25\end{pmatrix} um den Faktor 4 strecken.
  • Schritt 7: Die beiden übrigen Vektoren werden addiert.
  • Schritt 8: Übrig bleibt der 0-Vektor.
Bewege den Schieberegler im Applet um die Schritte anzeigen zu lassen.
GeoGebra
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information

Berechne den Lösungsvektor.

Kommentieren

%%\displaystyle 3\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}%%

Für diese Aufgabe musst du wissen, wie man Vektoren addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert.

%%\displaystyle 3\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}%%

Multipliziere zuerst den Vektor komponentenweise mit dem Skalar.

%%=\displaystyle \begin{pmatrix}3\cdot1\\3\cdot(-1)\\3\cdot0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}%%

Addiere und subtrahiere die Vektoren komponentenweise.

%%=\displaystyle \begin{pmatrix}3\cdot1+1+0\\3\cdot(-1)-2-6\\3\cdot0+3-2\end{pmatrix}%%

Rechne jede Komponente aus.

%%=\displaystyle \begin{pmatrix}3+1\\-3-2-6\\3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-11\\1\end{pmatrix}%%

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information

%%\begin{pmatrix}-3\\1\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}0\\-9\\2\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\-1,5\end{pmatrix}%%

Für diese Aufgabe musst du wissen, wie man Vektoren addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert.

%%\begin{pmatrix}-3\\1\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}0\\-9\\2\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\-1,5\end{pmatrix}%%

Multipliziere zuerst die Vektoren komponentenweise mit dem jeweiligen Skalar.

%%=\begin{pmatrix}-3\\1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\cdot0\\3\cdot(-9)\\3\cdot2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\cdot1\\2\cdot(-3)\\2\cdot(-1,5)\end{pmatrix}%%

Berechne die Produkte.

%%=\begin{pmatrix}-3\\1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-27\\6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\-6\\-3\end{pmatrix}%%

Addiere und subtrahiere die Vektoren komponentenweise.

%%=\begin{pmatrix}-3-0+2\\1-(-27)+(-6)\\3-6+(-3)\end{pmatrix}%%

Rechne jede Komponente aus.

%%=\begin{pmatrix}-1\\22\\-6\end{pmatrix}%%

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information
Gegeben seien die Punkte A(−4∣0)A(-4|0), B(2∣−1)B(2|-1) und C(5∣2)C(5|2). Vervollständige zu einem Parallelogramm und berechne die Lage des Schnittpunktes seiner Diagonalen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt

Bestimme zuerst a⃗=AB→\vec a = \overrightarrow{AB} und b⃗=BC→\vec b = \overrightarrow{BC}.
a⃗=(2−(−4)−1−0)=(6−1)\vec a = \begin{pmatrix}2- & (-4)\\-1 & -0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\ -1 \end{pmatrix}
b⃗=(5−22−(−1))=(33)\vec b = \begin{pmatrix} 5 & -2\\2- & (-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}
Da ABCDABCD ein Parallelogramm ist, gilt außerdem AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} und BC→=AD→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information
Gegeben sind die Vektoren a⃗=(−12)\vec a=\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix} , b⃗=(34,5)\vec b=\begin{pmatrix}3\\4{,}5 \end{pmatrix} und c⃗=(50)\vec c=\begin{pmatrix}5\\0 \end{pmatrix}. Berechne jeweils den Vektor, der sich durch die angegebene Vektorkette ergibt!
Kommentieren
d⃗=7a⃗+2b⃗−25c⃗\displaystyle \vec d=7\vec a+2\vec b-\frac{2}{5}\vec c

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren

d⃗=7a⃗+2b⃗−25c⃗=7⋅(−12)+2⋅(34,5)−25⋅(50)=\displaystyle \vec d=7\vec a+2\vec b-\frac{2}{5}\vec c=7\cdot\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix} +2\cdot\begin{pmatrix} 3\\4{,}5\end{pmatrix} -\frac{2}{5}\cdot\begin{pmatrix} 5\\0\end{pmatrix}=
=(7⋅(−1)7⋅2)+(2⋅32⋅4,5)−(25⋅525⋅0)=(−7+6−214+9−0)=(−323)\displaystyle =\begin{pmatrix}7\cdot(-1)\\7\cdot2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2\cdot3\\2\cdot4{,}5 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} \dfrac{2}{5}\cdot5\\\dfrac{2}{5}\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -7+6-2\\14+9-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\23 \end{pmatrix}
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information
e⃗=23b⃗−4a⃗\displaystyle \vec e=\frac{2}{3}\vec b-4\vec a

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren

e⃗=23b⃗−4a⃗=23⋅(34,5)−4⋅(−12)=\displaystyle \vec e=\frac{2}{3}\vec b-4\vec a=\frac{2}{3}\cdot\begin{pmatrix} 3\\4,5\end{pmatrix}-4\cdot\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}=
=(23⋅323⋅4,5)−(4⋅(−1)4⋅2)=(2−(−4)3−8)=(6−5)\displaystyle =\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}\cdot3\\\dfrac{2}{3}\cdot4,5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4\cdot(-1)\\4\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2-(-4)\\3-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-5 \end{pmatrix}
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information
Sind die folgenden Vektoren parallel zueinander? Begründe.
Kommentieren
%%\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \vec{w}=\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}%%
Ja, sie sind parallel.
Nein, sie sind nicht parallel.
%%\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}%%
Nein, sie sind nicht parallel.
Ja, sie sind parallel.
%%\vec{q=}\begin{pmatrix}0,5\\7\end{pmatrix}, \vec{p}= \begin{pmatrix}3,5\\49\end{pmatrix}%%
Ja, sie sind parallel.
Nein, sie sind nicht parallel.
%%\vec{x} =\begin{pmatrix}2.1\\0\\1,5\end{pmatrix}, \vec{y}=\begin{pmatrix}2.1\\0\\1,5\end{pmatrix}%%
Ja, sie sind parallel.
Nein, sie sind nicht parallel.
%%\vec{f} = \begin{pmatrix}-1/6\\r\\2\end{pmatrix},\vec{g}=\begin{pmatrix}1/3\\4\\-4\end{pmatrix}%%
Vorsicht: Bei dieser Aufgabe können mehrere Antworten richtig sein.
Für manche Werte von rr sind die Vektoren nicht parallel.
Für manche Werte von rr sind die Vektoren parallel.
Nein, die Vektoren können nicht parallel sein.
Tipp: Vergiss erstmal die zweite Koordinate, wo der Parameter rr vorkommt und vergleiche die anderen Koordinaten der Vektoren f⃗\vec{f} und g⃗\vec{g}.

Schritt 1: Mögliche Kandidaten für kk finden

Dazu kannst du zum Beispiel die ersten Koordinaten vergleichen.
f⃗=(−1/6r2),g⃗=(1/34−4)\vec{f} = \begin{pmatrix}\mathbf{-1/6}\\r\\2 \end{pmatrix}, \vec{g} = \begin{pmatrix} \mathbf{1/3}\\4\\-4\end{pmatrix}
Teile die linke Koordinate durch die rechte um ein Kandidat für kk zu finden.
Warum macht man das so?
Wir wollen, dass die Beziehung f⃗=k⋅g⃗\vec{f} = k\cdot \vec{g} gilt.
Das bedeutet, dass für jede einzelne Koordinate (bzw. Komponente) diese Beziehung gelten muss. Also zum Beispiel für die erste Koordinate (Komponente): −16=k⋅13-\frac{1}{6} = k \cdot \frac13.Um kk zu erhalten musst du nur noch danach auflösen.
−16:13=−12\displaystyle -\frac{1}{6} : \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}

k=−12k= -\frac{1}{2} ist also der einzige Kandidat, der in Frage kommt um f⃗=k⋅g⃗\vec{f} = k\cdot \vec{g} zu schreiben.
Beachte: Bis jetzt gilt dieses k=−12k=-\frac12 nur für die erste Koordinate (Komponente).

Schritt 2: Überprüfen ob das berechnete kk die Gleichung f⃗=k⋅g⃗\vec{f} = k\cdot\vec{g} löst

Multipliziere dafür k=−12k= -\frac{1}{2} mit g⃗\vec{g} um nachzuprüfen, ob tatsächlich f⃗\vec{f} rauskommt.
%%\begin{array}{lcr}k\cdot \vec{g} &=& -\dfrac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 1/3\\4\\-4\end{pmatrix} & = &\begin{pmatrix}-1/6\\-2\\2 \end{pmatrix}\\\end{array}%%
%%\begin{array}{lcr}\vec{f} &= &\begin{pmatrix}-1/6\\r\\2 \end{pmatrix}\end{array}%%
Die Vektoren k⋅g⃗k\cdot\vec{g} und f⃗\vec{f} sehen bereits sehr ähnlich aus. Deren ersten Koordinaten stimmen überein. Auch die dritten Koordinaten sind identisch. Wenn du jetzt die zweiten Koordinaten vergleichst, kannst du die Werte von rr finden, für die f⃗\vec{f} und g⃗\vec{g} parallel sind.
%%\begin{align} &\begin{pmatrix}-1/6\\\mathbf{r}\\2 \end{pmatrix}& &\stackrel{!}{=}& &\begin{pmatrix} -1/6\\\mathbf{-2}\\2\end{pmatrix}\end{align}%%

Diese Gleichheit ist nur für r=−2r = -2 erfüllt. Nur dann gilt also f⃗=k⋅g⃗.\vec{f} = k\cdot \vec{g}.
⇒\Rightarrow Für r=−2r = -2 sind f⃗\vec{f} und g⃗\vec{g} parallel.

Bemerkung zum Parameter rr

Für alle anderen Werte von rr können die Vektoren f⃗\vec{f} und g⃗\vec{g} nicht parallel sein.
Beispiel: Wenn du für rr Null einsetzt erhältst du die Vektoren
f⃗=(−1/602),g⃗=(1/34−4)\vec{f} = \begin{pmatrix}-1/6\\0\\2 \end{pmatrix}, \vec{g} = \begin{pmatrix} 1/3\\4\\-4\end{pmatrix}

Wenn du jetzt die zweiten Koordinaten beider Vektoren vergleichst stellst du folgendes fest:
f⃗=(−1/602),g⃗=(1/34−4)\vec{f} = \begin{pmatrix}-1/6\\\mathbf{0}\\2 \end{pmatrix}, \vec{g} = \begin{pmatrix} 1/3\\ \mathbf{4}\\-4\end{pmatrix}
Es gilt 0=0⋅40 = 0\cdot 4.
Damit also f⃗=k⋅g⃗\vec{f} = k\cdot \vec{g} überhaupt gelten kann müsste also k=0k=0 sein. Dann wäre aber $$k\cdot \vec{g} = 0\cdot \begin{pmatrix} 1/3\\ 4\\-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\0\end{pmatrix}$$ und dieser Vektor ist offensichtlich nicht gleich f⃗\vec{f}.
⇒\Rightarrow Für manche Werte von rr sind f⃗\vec{f} und g⃗\vec{g} nicht parallel.
Die richtigen Lösungen sind dann: Für manche Werte von rr sind die Vektoren parallel und für manche (andere) Werte von rr sind sie nicht parallel.
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information
In einem Koordinatensystem hat der Punkt A die Koordinaten (2,3,0)\left(2,3,0\right). Den Punkt B erhält man, in dem man vom Punkt A aus dem Vektor u⃗=(37−4)\vec u=\begin{pmatrix}3\\7\\-4\end{pmatrix}folgt. Bestimme die Koordinaten des Punktes B rechnerisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorketten

Du bestimmst Koordinaten immer vom Ursprung aus. Laufe zunächst zum Punkt A und dann weiter in Richtung des Vektors u⃗\vec u.
Bilde also eine Vektorkette beginnend mit dem Ortsvektor von A.
B⃗=A⃗+u⃗=(230)+(37−4)=(510−4)\vec B= \vec A + \vec u = \begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\7\\-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\\10\\-4\end{pmatrix}
Der Punkt B hat also die Koordinaten B(5|10|-4).
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information
Kommentieren Kommentare