Du erhältst den Ortsvektor $\vec C$ von C, indem du den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$ zum Ortsvektor $\overrightarrow{B}$ addierst:

$\vec C=\vec B+\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 0\\4\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0-(-2)\\4-1\\3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\7\\5\end{pmatrix}$

und somit $C(2|7|5)$.

Entweder kennst du die Formel $\overrightarrow{P}=\frac 1 2 (\overrightarrow A +\overrightarrow B)$ für den Mittelpunkt der Strecke oder du verwendest eine Vektorkette $\overrightarrow P=\overrightarrow A +\frac 1 2 \overrightarrow{AB}$ zur Bestimmung des Ortsvektors.

Möglichkeit 1

$\overrightarrow P=\frac 1 2(\overrightarrow A+\overrightarrow B)=\frac 1 2 \left(\begin{pmatrix} 2\\1\\-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}\right)=\frac 1 2 \cdot \begin{pmatrix}5\\2\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2{,}5\\1\\-1{,}5\end{pmatrix}$

Möglichkeit 2

$\overrightarrow P=\overrightarrow A+\frac 1 2 \overrightarrow {AB}= \begin{pmatrix}2\\1\\-4\end{pmatrix}+\frac 1 2\cdot\begin{pmatrix}3-2\\1-1\\1-(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-4\end{pmatrix}+\frac 1 2\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2{,}5\\1\\-1{,}5\end{pmatrix}$

Die Mitte der Strecke ist also P(2,5|1|-1,5).

Verwende die Formel $\vec S=\frac 1 3(\vec A+\vec B+\vec C)=\frac 1 3\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\-4\end{pmatrix}\right)=\frac 1 3\cdot \begin{pmatrix} 1\\3\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac 1 3\\1\\-\frac 4 3\end{pmatrix}$

Der Schwerpunkt liegt also bei $S(\frac 1 3|1|-\frac 4 3)$

In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Somit ist $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}$.

$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}=\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}$

Somit kann man den Ortsvektor von A bestimmen, indem man $\overrightarrow{DA}$ zu $\overrightarrow D$ addiert:

$\overrightarrow A=\overrightarrow D+\overrightarrow{DA}=\begin{pmatrix}-2\\-3\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-3\\-2\end{pmatrix}$

Da die beiden Seiten parallel aber nicht gleich lang sind, gilt:

$\overrightarrow{DC}=0{,}4\cdot\overrightarrow{AB}$

Eine Skizze hilft, den Term zu verstehen:

• Damit die Vektoren die gleiche Richtung haben, muss man zum Beispiel $\overrightarrow{AB}$ mit $\overrightarrow{DC}$ vergleichen (und nicht $\overrightarrow{CD}$)

• Die Strecke $\overline{DC}$ ist die kürzere, also muss $\overrightarrow{AB}$ verkürzt werden.

• Eine Verkürzung um 60% bedeutet, dass noch $100\%-60\%=40\%$ übrig sind.

Setze in die Gleichung ein:

Für den Ortsvektor $\overrightarrow{B}$ kannst du nun verwenden, dass

$\overrightarrow B=\overrightarrow A+\overrightarrow{AB}$

Da A(0|0|0) der Ursprung des Koordinatensystems ist, ist $\overrightarrow B = \overrightarrow{AB}$ und somit

B(5|7,5|0)