Eine Basis eines Vektorraumes ist ein "minimales Erzeugendensystem" des Vektorraumes.
Die Vektoren einer Basis nennt man Basisvektoren.

Bedeutung

  • minimales: Lässt man einen Vektor des Erzeugendensystem weg, wäre es kein Erzeugendensystem mehr.
  • Erzeugendensystem: Artikel zum Thema\boldsymbol\rightarrow Eine Basis des Rn\mathbb{R}^n besteht also aus nn linear unabhängigen Vektoren!

Überprüfung, ob eine Menge von Vektoren eine Basis ist

Die folgenden beiden Eigenschaften müssen erfüllt sein, damit eine Menge von Vektoren eine Basis eines Vektorraumes ist.
  1. Die Anzahl der Vektoren stimmt überein mit der Dimension des Vektorraumes.
  2. Die Vektoren sind linear unabhängig.
    \boldsymbol\rightarrow Eine Basis des Rn\mathbb{R}^n besteht also aus nn linear unabhängigen Vektoren!
 

Allgemeines

  • Ein Vektorraum hat normalerweise viele verschiedene Basen. Zwischen ihnen kann man mit einer Koordinatentransformation wechseln.
  • Gewöhnlich verwendet man die (kanonische) Einheitsbasis. Sie besteht aus den Einheitsvektoren e1=(100),  e2=(010),  e3=(001)\overrightarrow{e_1}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\;\overrightarrow{e_2}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\;\overrightarrow{e_3}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
  • Die Koordinaten eines Vektors sind die Linearfaktoren der zugehörigen Basis. Zum Beispiel: (753)=7e1+5e2+3e3\begin{pmatrix}7\\5\\3\end{pmatrix}=\mathbf7\cdot\overrightarrow{e_1}+\mathbf5\cdot\overrightarrow{e_2}+\mathbf3\cdot\overrightarrow{e_3} . Für andere Basen sind dann natürlich auch die Vektorkoordinaten unterschiedlich, um den selben Vektor zu beschreiben.
  • Es ist also notwendig an den Vektor zu schreiben auf welche Basis man sich bezieht, um Verwechslungen auszuschließen. Zum Beispiel  (abc)B{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}_B falls BB eine Basis des Vektorraumes ist. Steht am Vektor keine Vermerkung zur Basis, so kann man davon ausgehen, dass es sich um die Einheitsbasis handelt.
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Influunt 2020-05-28 18:12:37+0200
Toller Beitrag, wie immer. Ein kleiner Schreibfehler unter "Allgemeines" im ersten Satz bei "viele verschiedenen(e) Basen" ist mir aufgefallen.
Nish 2020-05-28 21:46:54+0200
Vielen Dank für dein positives Feedback und deinen Hinweis auf den Schreibfehler! :)
Ich habe es eben ausgebessert.

LG,
Nish
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