Erzeugendensystem

Eine Menge von Vektoren heißt Erzeugendensystem, wenn man mit ihnen alle Vektoren eines Vektorraumes durch Linearkombination erzeugen kann.

Allgemeine Darstellung

Die Menge $E = {\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v_{3}}, \dots, \vec{v_{n}}}$ heißt Erzeugendensystem eines Vektorraums $V$ , wenn für alle Vektoren $\vec{u}$ aus dem Vektorraum $V$ gilt:

$\vec{u} = a_{1} \cdot \vec{v_{1}} + a_{2} \cdot \vec{v_{2}} + a_{3} \cdot \vec{v_{3}} + \dots + a_{n} \cdot \vec{v_{n}} mit a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n} \in ℝ$

Beispiele

Die Vektoren $\vec{e_{1}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}), \vec{e_{2}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) und \vec{e_{3}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ bilden ein Erzeugendensystem vom $ℝ^{3}$ da jeder Vektor des $ℝ^{3}$ als Linearkombination geschrieben werden kann: $(\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}) = a \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + b \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + c \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) mit a, b, c \in ℝ$
Die Vektoren $\vec{e_{1}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}), \vec{e_{2}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}), \vec{e_{3}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) und \vec{e_{4}} = (\begin{array}{c} 8 \\ 3,3 \\ - 7 \end{array})$ bilden auch ein Erzeugendensystem vom $ℝ^{3}$ , da jeder Vektor des $ℝ^{3}$ als Linearkombination geschrieben werden kann: $\vec{a} = (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}) = a_{1} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + a_{2} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + a_{3} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + 0 \cdot (\begin{array}{c} 8 \\ 3,3 \\ - 7 \end{array}) mit a_{1}, a_{2}, a_{3} \in ℝ$
Die Vektoren $\vec{k_{1}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}), \vec{k_{2}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}), \vec{k_{3}} = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 5 \end{array})$ bilden kein Erzeugendensystem vom $ℝ^{3}$ , da nicht jeder Vektor des $ℝ^{3}$ als Linearkombination geschrieben werden kann: Zum Beispiel $(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \neq a \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + b \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + c \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 5 \end{array}) mit a, b, c \in ℝ$

Menge von Vektoren systematisch auf Erzeugendeneigenschaft überprüfen

Eine Menge von Vektoren, bspw.

A = {(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}), (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 0 \end{array}), (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})}

soll darauf überprüft werden, ob sie den $ℝ^{3}$ erzeugen/aufspannen können. Allgemein kann das mithilfe des linearen Gleichungssystems

(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = a (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + b (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + c (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})

bzw.

\begin{matrix} x_{1} & = & 1 a & + & 4 b & + & 1 c \\ x_{2} & = & 2 b & + & 1 c \\ x_{3} & = & 1 a & + & 1 c \end{matrix}

überprüft werden. Untersucht wird, ob das Lösungsverhalten des Gleichungssystems eindeutig ist, denn nur dann können die Vektoren einen beliebigen Vektor erzeugen. Falls keine Lösung besteht, können die Vektoren auch kein Erzeugendensystem sein.

Sonderfall: Mehr Vektoren als nötig

Für das Erzeugen eines Vektorraums wie den $ℝ^{3}$ braucht es mindestens $3$ Vektoren. Sind mehr als $3$ Vektoren auf die Erzeugendeneigenschaft zu überprüfen, könnten zwar schon $3$ ausreichen, aber ein Erzeugendensystem besitzt keine Obergrenze in seiner Größe.

Bei der Überprüfung wie im vorangegangenen Abschnitt würde man ein unterbestimmtes Gleichungssystem erhalten, da es zu viele Möglichkeiten gibt, wie nun mehr Vektoren einen beliebigen Vektor erzeugen. Nun gibt es mehrere Möglichkeiten:

Wähle drei Vektoren aus, sind diese bereits ein Erzeugendensystem, dann auch die ganze Menge.
Berechne die mehrdeutige Lösung des LGS und erhalte eine Lösung in Abhängigkeit eines oder mehrerer Parameter.

Möglichkeit $1$ ist im Allgemeinen weniger aufwändig, gerade wenn durch geschicktes Auswählen drei passende Vektoren gefunden werden.

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