Linearkombination

Eine Linearkombination von Vektoren ist eine Summe von Vektoren (Vektoraddition), wobei jeder Vektor noch mit einer reellen Zahl (dem sogenannten Linearfaktor) multipliziert wird. Das Ergebnis davon ist wieder ein Vektor.

u=av1+bv2+cv3\overrightarrow u=a\cdot\overrightarrow{v_1}+b\cdot\overrightarrow{v_2}+c\cdot\overrightarrow{v_3} mit aa, bb und cRc\in\mathbb{R}

Darstellung eines Vektors als Linearkombination von anderen Vektoren

Im obigen Beispiel ist der Vektor u\overrightarrow u eine Linearkombination aus den Vektoren v1\overrightarrow{v_1}, v2\overrightarrow{v_2} und v3\overrightarrow{v_3}.

Beispiel

Der Vektor (345)\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix} soll als Linearkombination der Vektoren (100)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, (010)\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} und (001)\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} geschrieben werden. Eine Möglichkeit dafür ist (345)=3(100)+4(010)+5(001)\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}=3\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+5\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}.

Spann

Kann ein Vektor u\overrightarrow u als Linearkombination der Vektoren v1,  v2,  v3,  ,    vn\overrightarrow{v_1},\;\overrightarrow{v_2},\;\overrightarrow{v_3},\;…,\;\;\overrightarrow{v_n}   dargestellt werden so liegt u\overrightarrow u im Spann der Menge {v1,  v2,  v3,  ,    vn}=A\left\{\overrightarrow{v_1},\;\overrightarrow{v_2},\;\overrightarrow{v_3},\;…,\;\;\overrightarrow{v_n}\right\}=A .

Man schreibt:    uspan({v1,  v2,  v3,  ,    vn})\overrightarrow u\in span(\left\{\overrightarrow{v_1},\;\overrightarrow{v_2},\;\overrightarrow{v_3},\;…,\;\;\overrightarrow{v_n}\right\})     oder    uspan(A)\overrightarrow u\in span(A)


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