Linearkombination

Darstellung eines Vektors als Linearkombination von anderen Vektoren

Im obigen Beispiel ist der Vektor $\overrightarrow u$ eine Linearkombination aus den Vektoren $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$ und $\overrightarrow{v_3}$.

Beispiel

Der Vektor $\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}$ soll als Linearkombination der Vektoren $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ geschrieben werden. Eine Möglichkeit dafür ist:

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Beispiele für Linearkombinationen

1. Der Vektor $\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}$ soll als Linearkombination der Vektoren $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ dargestellt werden. Dazu muss folgendes lineares Gleichungssystem gelöst werden:

   In diesem Fall ist $a=8,\;b=-2$ und $c=-1$, also:

2. Der Vektor $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ soll als Linearkombination der Vektoren $\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix}$ dargestellt werden. Dazu muss folgendes lineares Gleichungssystem gelöst werden:

   Man wird feststellen, dass dies nicht möglich ist. Der Vektor  $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ ist also keine Linearkombination der Vektoren $\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix}$.

Spann

Kann ein Vektor $\overrightarrow u$ als Linearkombination der Vektoren $\overrightarrow{v_1},\;\overrightarrow{v_2},\;\overrightarrow{v_3},\;…,\;\;\overrightarrow{v_n}$   dargestellt werden, so liegt $\overrightarrow u$ im Spann der Menge $\left\{\overrightarrow{v_1},\;\overrightarrow{v_2},\;\overrightarrow{v_3},\;…,\;\;\overrightarrow{v_n}\right\}=A$. Diese bezeichnet also all jene Vektoren, die durch Linearkombinationen erzeugt werden können.

Man schreibt:    $\overrightarrow u\in span(\left\{\overrightarrow{v_1},\;\overrightarrow{v_2},\;\overrightarrow{v_3},\;…,\;\;\overrightarrow{v_n}\right\})$     oder    $\overrightarrow u\in span(A)$