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Linearkombination

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Eine Linearkombination von Vektoren ist eine Summe von Vektoren (Vektoraddition), wobei jeder Vektor noch mit einer reellen Zahl (dem sogenannten Linearfaktor) multipliziert werden kann. Das Ergebnis davon ist wieder ein Vektor.

Hierbei sind aa, bb und cR.c\in\mathbb{R}.

Darstellung eines Vektors als Linearkombination von anderen Vektoren

Im obigen Beispiel ist der Vektor u\overrightarrow u eine Linearkombination aus den Vektoren v1\overrightarrow{v_1}, v2\overrightarrow{v_2} und v3\overrightarrow{v_3}.

Beispiel

Der Vektor (345)\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix} soll als Linearkombination der Vektoren (100)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, (010)\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} und (001)\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} geschrieben werden. Eine Möglichkeit dafür ist:

.

Beispiele für Linearkombinationen

  1. Der Vektor (345)\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix} soll als Linearkombination der Vektoren (111)\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, (211)\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} und (121)\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} dargestellt werden. Dazu muss folgendes lineares Gleichungssystem gelöst werden:

    In diesem Fall ist a=8,  b=2a=8,\;b=-2 und c=1c=-1, also:

  2. Der Vektor (100)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} soll als Linearkombination der Vektoren (112),(111)\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} und (335)\begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix} dargestellt werden. Dazu muss folgendes lineares Gleichungssystem gelöst werden:

    Man wird feststellen, dass dies nicht möglich ist. Der Vektor  (100)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} ist also keine Linearkombination der Vektoren (112),(111)\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} und (335)\begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix}.

Spann

Kann ein Vektor u\overrightarrow u als Linearkombination der Vektoren v1,  v2,  v3,  ,    vn\overrightarrow{v_1},\;\overrightarrow{v_2},\;\overrightarrow{v_3},\;…,\;\;\overrightarrow{v_n}   dargestellt werden, so liegt u\overrightarrow u im Spann der Menge {v1,  v2,  v3,  ,    vn}=A\left\{\overrightarrow{v_1},\;\overrightarrow{v_2},\;\overrightarrow{v_3},\;…,\;\;\overrightarrow{v_n}\right\}=A. Diese bezeichnet also all jene Vektoren, die durch Linearkombinationen erzeugt werden können.

Man schreibt:    uspan({v1,  v2,  v3,  ,    vn})\overrightarrow u\in span(\left\{\overrightarrow{v_1},\;\overrightarrow{v_2},\;\overrightarrow{v_3},\;…,\;\;\overrightarrow{v_n}\right\})     oder    uspan(A)\overrightarrow u\in span(A)

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