Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung

Tipp: Rechne erst die l\text{l} in cm3\text{cm}^3 um. Was passiert denn mit dem Volumen wenn du einen Eiswürfel in das Glas einschenkst?

Volumen zusammengesetzter Quader

Das Volumen der Mischung "Apfelschorle ++ Eiswürfel" erhöht sich bei jedem Eiswürfel der dazugeschenkt wird. Du sollst bei dieser Aufgabe herausfinden wie viele Eiswürfel ins Glas passen, ohne dass die Apfelschorle überläuft. Die Apfelschorle überläuft wenn das Volumen der Mischung "Apfelschorle ++ Eiswürfel" größer ist als das Gesamtvolumen des Glas (0,5l)(0,5\:\text{l}).

Einschenken eines Eiswürfel

Die Eiswürfel sind jeweils Würfel der Kantenlänge a=3cma = 3\text{cm}. Das Volumen eines Eiswürfel kannst du mit Hilfe der Formel für das Volumen eines Würfels berechnen:
%%\begin{array}{lcl}V_{Eiswürfel} & = & a\cdot a\cdot a \\& = & 3\text{cm} \cdot 3\text{cm} \cdot 3\text{cm} \\& = & 27\text{cm}^3 \\\end{array}%%
Um das Volumen "Apfelschorle ++ 11 Eiswürfel" auszurechnen, ist es Hilfreich das Volumen der Apfelschorle von l\text{l} in cm3\text{cm}^3 umzurechnen:
%%\begin{array}{lcl}V_{Apfelschorle} & = & 0,3\:\text{l} \\& = & 300\text{cm}^3 \\\end{array}%%
Nun kannst du das Volumen "Apfelschorle +1+\:1 Eiswürfel" berechnen:
%%\begin{array}{lclcl}V_1 & = & V_{Apfelschorle} & + & V_{Eiswürfel} \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 27\text{cm}^3 \\& = & 327\text{cm}^3 \\\end{array}%%

Maximale Anzahl der Eiswürfel

Wenn Sina zum Beispiel 55 Eiswürfel einschenkt, kannst du das Volumen "Apfelschorle +5+\:5 Eiswürfel" wie folgt berechnen:
%%\begin{array}{lclcl}V_5 & = & V_{Apfelschorle} & + & 5\cdot V_{Eiswürfel} \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 5\cdot 27\text{cm}^3 \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 140\text{cm}^3 \\& = & 440\text{cm}^3 \\\end{array}%%
Wie kannst du nun wissen wie viele Eiswürfel Sina höchstens einschenken kann? Dafür musst du das berechnete Volumen mit dem Gesamtvolumen des Glas vergleichen. Es ist also wieder Hilfreich das Volumen des Glas in cm3\text{cm}^3 umzurechnen:
%%\begin{array}{lcl}V_{Glas} & = & 0,5\:\text{l} \\& = & 500\text{cm}^3 \\\end{array}%%
  • Ist das berechnete Volumen "Apfelschorle ++ Eiswürfel" größer als VGlasV_{Glas}, läuft die Apfelschorle über.
  • Ist das das berechnete Volumen "Apfelschorle ++ Eiswürfel" kleiner als VGlasV_{Glas}, läuft die Apfelschorle nicht über.
Da 440cm3<500cm3440\text{cm}^3 < 500\text{cm}^3 ist V5<VGlasV_5 < V_{Glas}. Die Apfelschorle laüft also bei 55 Eiswürfel noch nicht über.
Wenn Sina 77 Eiswürfel einschenkt ist das Volumen "Apfelschorle +7+\:7 Eiswürfel":
%%\begin{array}{lclcl}V_7 & = & V_{Apfelschorle} & + & 7\cdot V_{Eiswürfel} \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 7\cdot 27\text{cm}^3 \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 189\text{cm}^3 \\& = & 489\text{cm}^3 \\\end{array}%%
Da 489cm3<500cm3489\text{cm}^3 < 500\text{cm}^3 ist V7<VGlasV_7 < V_{Glas}. Die Apfelschorle läuft bei 77 Eiswürfel nicht über.
Wenn Sina 88 Eiswürfel einschenkt ist das Volumen "Apfelschorle +8+\:8 Eiswürfel":
%%\begin{array}{lclcl}V_8 & = & V_{Apfelschorle} & + & 8\cdot V_{Eiswürfel} \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 8\cdot 27\text{cm}^3 \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 216\text{cm}^3 \\& = & 516\text{cm}^3 \\\end{array}%%
Da 516cm3>500cm3516\text{cm}^3 > 500\text{cm}^3 ist V8>VGlasV_8 > V_{Glas}. Bei 88 Eiswürfel läuft die Apfelschorle über.
Sina kann somit höchstens 77 Eiswürfel in ihr Glas einschenken, ohne dass die Apfelschorle überläuft.
Es ist dir bestimmt schon aufgefallen, dass ähnlich wie bei einem Eisberg, ein Teil der Eiswürfel über der Oberfläche "schwimmt".
Dieser Anteil ist immer etwa gleich 88 % des Gesamtvolumen des Eiswürfels. Es sind dann nur 9292 % =0,92= 0,92 des Volumen tatsächlich "unterwasser", also:
%%\begin{array}{lcl}V_{Eiswürfel,unterwasser} & = & 0,92 \cdot V_{Eiswürfel} \\& = & 0,92 \cdot 27\text{cm}^3 \\& = & 24,82 \text{cm}^3 \\\end{array}%%
Da nur das Volumen "unterwasser" dafür Verantwortlich ist, dass der Pegel steigt, muss mit 24,82cm324,82\text{cm}^3 an Stelle der 27cm327\text{cm}^3 weiter gerechnet werden.
In diesem Fall ist:
%%\begin{array}{lclcl}V_8 & = & V_{Apfelschorle} & + & 8\cdot V_{Eiswürfel,unterwasser} \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 8\cdot 24,82\text{cm}^3 \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 198,56\text{cm}^3 \\& = & 498,56\text{cm}^3 \\\end{array}%%
Wenn also kein Eiswürfel von den anderen Eiswürfel "unterwasser" gedrückt wird und Sina sehr präzise die Eiswürfel in die Apfelschorle legt, passen sogar 88 Eiswürfel in ihr Glas.