Aufgaben zur Berechnung des Volumens zusammengesetzter Körper

Wie gut kennst du dich mit zusammengesetzten Körpern aus? Lerne mit diesen Aufgaben, das Volumen zu bestimmen mithilfe verschiedener Strategien!

1
Berechne durch geschicktes Aufteilen das Volumen des gegebenen Körpers.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung bei zusammengesetzten Körpern
Zerteile zuerst den Körper in Quader.
Berechne nun jeweils das Volumen der einzelnen Quader.
Oberster Quader: $V_{\text{Quader oben}} = 3\text{ cm}\cdot4\text{ cm}\cdot3\text{ cm}=36\text{ cm}^3$
Mittlerer Quader: $V_{\text{Quader Mitte}} = 11\text{ cm}\cdot 3\text{ cm}\cdot4\text{ cm}=132\text{ cm}^3$
Unterer Quader: $V_\text{Quader unten} = 3\text{ cm}\cdot4\text{ cm}\cdot 2\text{ cm=24} \text{ cm}^3$
Jetzt musst du nur noch alle Volumen miteinander addieren.
$V_\text{gesamt} = 36\text{ cm}^3+132\text{ cm}^3+24\text{ cm}^3=192\text{ cm}^3$
2
Berechne durch geschicktes Aufteilen das Volumen des gegebenen Körpers. Gib das Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma gerundet OHNE Größeneinheit an!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumensberechnung bei zusammengesetzten Körpern
Berechne als Erstes einen der Zylinder.
$(2\text{ cm})^2\cdot\pi\cdot3\text{ cm}\approx37{,}7\text{ cm}^3$
Berechne nun den Quader.
$13\text{ cm}\cdot 4\text{ cm}\cdot3\text{ cm}=156\text{ cm}^3$
Nun musst du nur noch dreimal den Zylinder mit dem Quader addieren.
$3\cdot37{,}7\text{ cm}^3+156\text{cm}^3\approx269.1\text{ cm}^3$
3
Berechne das Volumen des folgenden Körpers durch geschicktes Aufteilen in Quader.

Teile den Körper zuerst in 4 Quader ein.
Rechne nun das Volumen des untersten Quaders aus.
$5\text{ cm}\cdot6\text{ cm}\cdot3\text{ cm}=90\text{ cm}^3$
Rechne jetzt den roten Quader aus.
$15\text{ cm}\cdot 6\text{ cm}\cdot2\text{ cm}=180\text{ cm}^3$
Rechne nun einen der zwei grünen Quader aus.
$6\text{ cm}\cdot 4\text{ cm}\cdot4\text{ cm}=96\text{ cm}^3$
Jetzt musst du nur noch alle Quader zusammenrechnen. Allerdings musst du den grünen Quader zweimal nehmen.
$90~\text{cm}^3+180~\text{cm}^3+2\cdot 96~\text{cm}^3=462~\text{cm}^3$
4
Welches Volumen hat ein $4{,}5\, \mathrm{m}$ hohes Haus mit der Breite $4\, \mathrm{m}$ und der Länge $7\, \mathrm{m}$ , wenn das Dachgeschoss $2 \, \mathrm{m}$ hoch ist?
Quelle: torange.biz, CC-BY-SA-4.0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen zusammengesetzter Körper
Quelle: torange.biz, CC-BY-SA-4.0
Du kannst das Volumen von diesem Haus auf zwei Arten berechnen:
Entweder als ein Prisma mit der ganzen Vorderseite des Hauses als Grundfläche
oder als einen zusammengesetzten Körper aus einem Quader (unterer Teil des Hauses) und einem Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche (das Dach).
In dieser Lösung wird das Volumen für den zusammengesetzten Körper berechnet.
Volumen des Quaders (unterer Hausteil)
Gegeben: Länge des Quaders = $7\, \mathrm{m}$ Breite des Quaders = $4\, \mathrm{m}$
Die Höhe des Quaders musst du erst noch ausrechnen.
Höhe des Quaders = ?
Die Höhe berechnest du, indem du von der Gesamthöhe des Hauses ( $4{,}5 \, \mathrm{m}$ ) die Höhe des Dachs ( $2 \, \mathrm{m}$ ) abziehst.
Höhe des Quaders = $4{,}5 \, \mathrm{m} - 2 \, \mathrm{m} = 2{,}5 \, \mathrm{m}$
Jetzt kannst du das Volumen des Quaders berechnen.
$V_\text{Quader} = \text{Länge} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = 7 \, \mathrm{m} \cdot 4 \, \mathrm{m} \cdot 2{,}5 \, \mathrm{m} = 70 \, \mathrm{m^3}$
Volumen des Prismas (Dach)
Gegeben: Länge des Dachs = $7 \, \mathrm{m}$ Breite des Dachs = $4 \, \mathrm{m}$ Höhe des Dachs = $2 \, \mathrm{m}$
Für das Volumen des Prismas benötigst du zuerst seine Grundfläche. Diese ist hier ein Dreieck. Die Höhe des Dreiecks ist die Dachhöhe und die Grundseite ist die Breite des Dachs.
$G_\text{Prisma} = \frac12 \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = \frac12 \cdot 4 \, \mathrm{m} \cdot 2 \, \mathrm{m} = 4 \, \mathrm{m^2}$
Berechne jetzt das Volumen des Prismas. Beachte, dass die Höhe des Prismas hier die Länge des Dachs ist.
$V_\text{Prisma} = G_\text{Prisma} \cdot \text{Länge} = 4 \, \mathrm{m^2} \cdot 7 \, \mathrm{m} = 28\,\mathrm{m^3}$
Gesamtvolumen des Hauses
$V_\text{Haus} = \ldots ?$
Addiere jetzt die einzelnen Teile, um das Gesamtvolumen zu berechnen.
$V_\text{Haus} = V_\text{Quader} + V_\text{Prisma} = 70 \, \mathrm{m^3} + 28 \, \mathrm{m^3} = 98 \, \mathrm{m^3}$
Antwort: Das Haus hat ein Volumen von $98\, \mathrm{m^3}$ .
5
In Nîmes in Frankreich steht einer der am besten erhaltenen römischen Tempel, die Maison Carrée. Berechne das Volumen des Tempels mit den zehn $0{,}8\, \mathrm{m}$ breiten Säulen mithilfe des Modells.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung bei zusammengesetzten Körpern
Der Tempel besteht aus einem dreiseitigen Prisma (Dach), drei Quadern und zehn Zylindern.
Volumen des Daches
Das Dach ist ein liegendes Prisma.
Die Grundfläche davon ist ein Dreieck und die Prismahöhe ist $22 \, \mathrm{m}$
Berechne das Volumen mit der Volumenformel für Prismen.
$V_\text{Dach} = G_\text{Prisma} \cdot h_\text{Prisma}$
Die Grundfläche ist ein Dreieck mit der Grundlinie der Länge $13{,}5\, \mathrm{m}$ und der Dreieckshöhe $2\, \mathrm{m}$
$= \left(\dfrac12 \cdot 13{,}5\, \mathrm{m} \cdot 2 \, \mathrm{m}\right) \cdot h_\text{Prisma}$
Die Höhe des Prismas ist $22\, \mathrm{m}$
$= \left(\dfrac12 \cdot 13{,}5 \, \mathrm{m} \cdot 2\, \mathrm{m}\right) \cdot 22\, \mathrm{m} = 13{,}5 \, \mathrm{m^2} \cdot 22 \, \mathrm{m} = 297 \, \mathrm{m^3}$
Volumen des Quaders unter dem Dach
Das Dach liegt auf einem Quader.
Er ist $13{,}5 \, \mathrm{m}$ breit, $22 \, \mathrm{m}$ lang und $2 \, \mathrm{m}$ hoch.
Berechne das Volumen mit der Volumenformel für Quader.
$V_\text{Quader unter Dach} = l \cdot b \cdot h = 22 \, \mathrm{m} \cdot 13{,}5 \, \mathrm{m} \cdot 2 \, \mathrm{m} = 594 \, \mathrm{m^3}$
Volumen des Tempelraumes
Der Tempelraum ist ein Quader.
Er ist $13{,}5 \, \mathrm{m}$ breit, $15 \, \mathrm{m}$ lang und $10 \, \mathrm{m}$ hoch.
Berechne das Volumen mit der Volumenformel für Quader.
$V_\text{Tempelraum} = l\cdot b \cdot h = 15 \, \mathrm{m} \cdot 13{,}5 \, \mathrm{m} \cdot 10 \, \mathrm{m} = 2025 \, \mathrm{m^3}$
Volumen des Sockels
Der Sockel des Tempels ist ein Quader.
Er ist $13{,}5\, \mathrm{m}$ breit, $26{,}5 \, \mathrm{m}$ lang und $3\, \mathrm{m}$ hoch.
Berechne das Volumen mit der Volumenformel für Quader.
$V_\text{Sockel} = l \cdot b \cdot h = 26{,}5 \, \mathrm{m} \cdot 13{,}5 \, \mathrm{m} \cdot 3 \, \mathrm{m} = 1073{,}25 \, \mathrm{m^3}$
Volumen der Säulen
Die Säulen sind Zylinder.
Der Durchmesser ist $0{,}8 \, \mathrm{m}$ und sie sind $10 \, \mathrm{m}$ hoch.
Berechne das Volumen einer Säule mit der Volumenformel für Zylinder.
$V_\text{eine Säule} = G \cdot h = r^2 \cdot \pi \cdot h$
Der Durchmesser ist $0{,}8 \, \mathrm{m}$ , also ist der Radius $\dfrac12 \cdot 0{,}8\, \mathrm{m} = 0{,}4 \, \mathrm{m}$
$= (0{,}4 \, \mathrm{m})^2 \cdot \pi \cdot 10 \, \mathrm{m} = 1{,}6 \, \mathrm{m^3} \cdot \pi \approx 5{,}03 \, \mathrm{m^3}$
Berechne nun das Volumen für alle zehn Säulen.
$V_\text{Säulen} = 10 \cdot V_\text{eine Säule} = 10 \cdot 5{,}03 \, \mathrm{m^3} = 50{,}3 \mathrm{m^3}$
Gesamtvolumen des Tempels
Um das gesamte Volumen des Tempels auszurechnen, addiert man nun noch die einzelnen Teile
$V_\text{Tempel} = V_\text{Dach} + V_\text{Quader unter Dach} + V_\text{Tempelraum} + V_\text{Sockel} + V_\text{Säulen}\\= 297 \, \mathrm{m^3} + 594 \, \mathrm{m^3}+ 2025\, \mathrm{m^3}+ 1073{,}25 \, \mathrm{m^3}+ 50{,}3\, \mathrm{m^3} = 4039{,}55 \, \mathrm{m^3}$
Lösung: Der Tempel hat ein Volumen von $4039{,}55 \, \mathrm{m^3}$
6
Berechne das Volumen des E-förmigen Körpers

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung zusammengesetzter Körper
Um das Volumen dieses Körpers zu berechnen, kann man zum Beispiel zuerst das Volumen des kompletten Quader mit Länge $5 \mathrm{cm}$ , Breite $2 \mathrm{cm}$ und Höhe $7 \mathrm{cm}$ berechnen. Davon zieht man dann die Lücken noch ab.
Volumen des Großen Quaders:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}V_\text{Quader groß} & = & 5\ \mathrm{cm} \cdot 2\ \mathrm{cm} \cdot 7\ \mathrm{cm} \\& = & 70\ \mathrm{cm}^3 \end{array}$
Volumen einer Lücke:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}V_\text{Lücke} & = & 3\ \mathrm{cm} \cdot 2\ \mathrm{cm} \cdot 1{,}4\ \mathrm{cm} \\& = & 8{,}4\ \mathrm{cm}^3 \end{array}$
Volumen des Körpers:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lclclcl}V_\text{Körper} & = & V_\text{Quader groß} & - & V_\text{Lücke} & - & V_\text{Lücke} \\& = & 70\ \mathrm{cm}^3 & - & 8{,}4\ \mathrm{cm}^3 & - & 8{,}4\ \mathrm{cm}^3 \\& = & 53{,}2\ \mathrm{cm}^3 \end{array}$
Der Körper hat also ein Volumen von $53{,}2\ \mathrm{cm}^3$ .
7
Sina mag ihre Apfelschorle schön kalt und möchte daher so viele Eiswürfel wie möglich in ihrem Glas. Im Glas passen $0{,}5\:\text{l}$ . Die Eiswürfel sind alle Würfel der Kantenlänge $a = 3\text{cm}$ . In dem Glas befinden sich genau $0{,}3\:\text{l}$ Apfelschorle.
Wie viele Eiswürfel passen höchstens in das Glas, ohne dass die Apfelschorle überläuft?
Nimm dafür an, dass das gesamte Volumen der eingeschenkten Eiswürfel "Unterwasser" liegt.
Eiswürfel
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung
Tipp: Rechne erst die $\text{l}$ in $\text{cm}^3$ um. Was passiert denn mit dem Volumen wenn du einen Eiswürfel in das Glas einschenkst?
Volumen zusammengesetzter Quader
Das Volumen der Mischung "Apfelschorle $+$ Eiswürfel" erhöht sich bei jedem Eiswürfel der dazugeschenkt wird. Du sollst bei dieser Aufgabe herausfinden wie viele Eiswürfel ins Glas passen, ohne dass die Apfelschorle überläuft. Die Apfelschorle überläuft wenn das Volumen der Mischung "Apfelschorle $+$ Eiswürfel" größer ist als das Gesamtvolumen des Glas $(0{,}5\:\text{l})$ .
Einschenken eines Eiswürfel
Die Eiswürfel sind jeweils Würfel der Kantenlänge $a = 3\text{cm}$ . Das Volumen eines Eiswürfel kannst du mit Hilfe der Formel für das Volumen eines Würfels berechnen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}V_{Eiswürfel} & = & a\cdot a\cdot a \\& = & 3\text{cm} \cdot 3\text{cm} \cdot 3\text{cm} \\& = & 27\text{cm}^3 \end{array}$
Um das Volumen "Apfelschorle $+$ $1$ Eiswürfel" auszurechnen, ist es Hilfreich das Volumen der Apfelschorle von $\text{l}$ in $\text{cm}^3$ umzurechnen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}V_{Apfelschorle} & = & 0{,}3\:\text{l} \\& = & 300\text{cm}^3 \end{array}$
Nun kannst du das Volumen "Apfelschorle $+\:1$ Eiswürfel" berechnen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lclcl}V_1 & = & V_{Apfelschorle} & + & V_{Eiswürfel} \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 27\text{cm}^3 \\& = & 327\text{cm}^3 \end{array}$
Maximale Anzahl der Eiswürfel
Wenn Sina zum Beispiel $5$ Eiswürfel einschenkt, kannst du das Volumen "Apfelschorle $+\:5$ Eiswürfel" wie folgt berechnen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lclcl}V_5 & = & V_{Apfelschorle} & + & 5\cdot V_{Eiswürfel} \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 5\cdot 27\text{cm}^3 \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 140\text{cm}^3 \\& = & 440\text{cm}^3 \end{array}$
Wie kannst du nun wissen wie viele Eiswürfel Sina höchstens einschenken kann? Dafür musst du das berechnete Volumen mit dem Gesamtvolumen des Glas vergleichen. Es ist also wieder Hilfreich das Volumen des Glas in $\text{cm}^3$ umzurechnen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}V_{Glas} & = & 0{,}5\:\text{l} \\& = & 500\text{cm}^3 \end{array}$
Ist das berechnete Volumen "Apfelschorle $+$ Eiswürfel" größer als $V_{Glas}$ , läuft die Apfelschorle über.
Ist das das berechnete Volumen "Apfelschorle $+$ Eiswürfel" kleiner als $V_{Glas}$ , läuft die Apfelschorle nicht über.
Da $440\text{cm}^3 < 500\text{cm}^3$ ist $V_5 < V_{Glas}$ . Die Apfelschorle laüft also bei $5$ Eiswürfel noch nicht über.
Wenn Sina $7$ Eiswürfel einschenkt ist das Volumen "Apfelschorle $+\:7$ Eiswürfel":
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lclcl}V_7 & = & V_{Apfelschorle} & + & 7\cdot V_{Eiswürfel} \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 7\cdot 27\text{cm}^3 \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 189\text{cm}^3 \\& = & 489\text{cm}^3 \end{array}$
Da $489\text{cm}^3 < 500\text{cm}^3$ ist $V_7 < V_{Glas}$ . Die Apfelschorle läuft bei $7$ Eiswürfel nicht über.
Wenn Sina $8$ Eiswürfel einschenkt ist das Volumen "Apfelschorle $+\:8$ Eiswürfel":
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lclcl}V_8 & = & V_{Apfelschorle} & + & 8\cdot V_{Eiswürfel} \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 8\cdot 27\text{cm}^3 \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 216\text{cm}^3 \\& = & 516\text{cm}^3 \end{array}$
Da $516\text{cm}^3>500\text{cm}^3$ ist $V_8 > V_{Glas}$ . Bei $8$ Eiswürfel läuft die Apfelschorle über.
Sina kann somit höchstens $7$ Eiswürfel in ihr Glas einschenken, ohne dass die Apfelschorle überläuft.
8
In der nebenstehenden Skizze wurde aus $3$ würfelförmigen Bauklötzen ein Turm gebaut. Berechne das Volumen des Turms.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Würfels
Tipp: Bei dieser Aufgabe ist es ausreichend, nur eine Kantenlänge bei jedem der $3$ Würfel zu wissen, da Höhe, Breite und Länge eines Würfels immer gleich lang sind.
Volumen eines aus Quadern zusammengesetztem Körpers
In dieser Aufgabe wird das Volumen eines aus Quadern zusammengesetztem Körpers berechnet.
Der hier abgebildete Turm besteht aus $3$ Würfel:
ein brauner Würfel mit Kantenlänge $a_1 = 4\text{cm}$
ein blauer Würfel mit Kantenlänge $a_2 = 2\text{cm}$
ein roter Würfel mit Kantenlänge $a_3 = 1\text{cm}$
Die Volumina der $3$ Würfel kannst du mit Hilfe der Formel für das Volumen eines Würfel berechnen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}V_{Würfel,braun} & = & a_1 \cdot a_1 \cdot a_1 \\& = & 4\text{cm} \cdot 4\text{cm} \cdot 4\text{cm} \\& = & 64\text{cm}^3 \end{array}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}V_{Würfel,blau} & = & a_2 \cdot a_2 \cdot a_2 \\& = & 2\text{cm} \cdot 2\text{cm} \cdot 2\text{cm} \\& = & 8\text{cm}^3 \end{array}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}V_{Würfel,rot} & = & a_3 \cdot a_3 \cdot a_3 \\& = & 1\text{cm} \cdot 1\text{cm} \cdot 1\text{cm} \\& = & 1\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen des Turms kannst du ausrechnen, indem du die Volumina der Würfel zusammen addierst.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lclclcl}V_{Turm} & = & V_{Würfel,braun} & + & V_{Würfel,blau} & + & V_{Würfel,rot} \\& = & 64\text{cm}^3 & + & 8\text{cm}^3 & + & 1\text{cm}^3 \\& = & 73\text{cm}^3 \end{array}$
Der Turm hat somit ein Volumen von $73\text{cm}^3$ .