Aufgaben zur Berechnung des Volumens zusammengesetzter Körper

Sina mag ihre Apfelschorle schön kalt und möchte daher so viele Eiswürfel wie möglich in ihrem Glas. Im Glas passen $0{,}5\:\text{l}$ . Die Eiswürfel sind alle Würfel der Kantenlänge $a = 3\text{cm}$ . In dem Glas befinden sich genau $0{,}3\:\text{l}$ Apfelschorle.

Wie viele Eiswürfel passen höchstens in das Glas, ohne dass die Apfelschorle überläuft?

Nimm dafür an, dass das gesamte Volumen der eingeschenkten Eiswürfel "Unterwasser" liegt.

Eiswürfel

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung

Tipp: Rechne erst die $\text{l}$ in $\text{cm}^3$ um. Was passiert denn mit dem Volumen wenn du einen Eiswürfel in das Glas einschenkst?

Volumen zusammengesetzter Quader

Das Volumen der Mischung "Apfelschorle $+$ Eiswürfel" erhöht sich bei jedem Eiswürfel der dazugeschenkt wird. Du sollst bei dieser Aufgabe herausfinden wie viele Eiswürfel ins Glas passen, ohne dass die Apfelschorle überläuft. Die Apfelschorle überläuft wenn das Volumen der Mischung "Apfelschorle $+$ Eiswürfel" größer ist als das Gesamtvolumen des Glas $(0{,}5\:\text{l})$ .

Einschenken eines Eiswürfel

Die Eiswürfel sind jeweils Würfel der Kantenlänge $a = 3\text{cm}$ . Das Volumen eines Eiswürfel kannst du mit Hilfe der Formel für das Volumen eines Würfels berechnen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}V_{Eiswürfel} & = & a\cdot a\cdot a \\& = & 3\text{cm} \cdot 3\text{cm} \cdot 3\text{cm} \\& = & 27\text{cm}^3 \end{array}$

Um das Volumen "Apfelschorle $+$ $1$ Eiswürfel" auszurechnen, ist es Hilfreich das Volumen der Apfelschorle von $\text{l}$ in $\text{cm}^3$ umzurechnen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}V_{Apfelschorle} & = & 0{,}3\:\text{l} \\& = & 300\text{cm}^3 \end{array}$

Nun kannst du das Volumen "Apfelschorle $+ 1$ Eiswürfel" berechnen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lclcl}V_1 & = & V_{Apfelschorle} & + & V_{Eiswürfel} \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 27\text{cm}^3 \\& = & 327\text{cm}^3 \end{array}$

Maximale Anzahl der Eiswürfel

Wenn Sina zum Beispiel $5$ Eiswürfel einschenkt, kannst du das Volumen "Apfelschorle $+ 5$ Eiswürfel" wie folgt berechnen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lclcl}V_5 & = & V_{Apfelschorle} & + & 5\cdot V_{Eiswürfel} \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 5\cdot 27\text{cm}^3 \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 140\text{cm}^3 \\& = & 440\text{cm}^3 \end{array}$

Wie kannst du nun wissen wie viele Eiswürfel Sina höchstens einschenken kann? Dafür musst du das berechnete Volumen mit dem Gesamtvolumen des Glas vergleichen. Es ist also wieder Hilfreich das Volumen des Glas in $\text{cm}^3$ umzurechnen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}V_{Glas} & = & 0{,}5\:\text{l} \\& = & 500\text{cm}^3 \end{array}$

Ist das berechnete Volumen "Apfelschorle $+$ Eiswürfel" größer als $V_{Glas}$ , läuft die Apfelschorle über.
Ist das das berechnete Volumen "Apfelschorle $+$ Eiswürfel" kleiner als $V_{Glas}$ , läuft die Apfelschorle nicht über.

Da $440\text{cm}^3 < 500\text{cm}^3$ ist $V_5 < V_{Glas}$ . Die Apfelschorle laüft also bei $5$ Eiswürfel noch nicht über.

Wenn Sina $7$ Eiswürfel einschenkt ist das Volumen "Apfelschorle $+ 7$ Eiswürfel":

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lclcl}V_7 & = & V_{Apfelschorle} & + & 7\cdot V_{Eiswürfel} \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 7\cdot 27\text{cm}^3 \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 189\text{cm}^3 \\& = & 489\text{cm}^3 \end{array}$

Da $489\text{cm}^3 < 500\text{cm}^3$ ist $V_7 < V_{Glas}$ . Die Apfelschorle läuft bei $7$ Eiswürfel nicht über.

Wenn Sina $8$ Eiswürfel einschenkt ist das Volumen "Apfelschorle $+ 8$ Eiswürfel":

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lclcl}V_8 & = & V_{Apfelschorle} & + & 8\cdot V_{Eiswürfel} \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 8\cdot 27\text{cm}^3 \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 216\text{cm}^3 \\& = & 516\text{cm}^3 \end{array}$

Da $516\text{cm}^3>500\text{cm}^3$ ist $V_8 > V_{Glas}$ . Bei $8$ Eiswürfel läuft die Apfelschorle über.

Sina kann somit höchstens $7$ Eiswürfel in ihr Glas einschenken, ohne dass die Apfelschorle überläuft.

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