Aufgaben zur Berechnung des Volumens zusammengesetzter Körper

In Nîmes in Frankreich steht einer der am besten erhaltenen römischen Tempel, die Maison Carrée. Berechne das Volumen des Tempels mit den zehn $0{,}8\, \mathrm{m}$ breiten Säulen mithilfe des Modells.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung bei zusammengesetzten Körpern

Der Tempel besteht aus einem dreiseitigen Prisma (Dach), drei Quadern und zehn Zylindern.

Volumen des Daches

Das Dach ist ein liegendes Prisma.

Die Grundfläche davon ist ein Dreieck und die Prismahöhe ist $22 \, \mathrm{m}$

Berechne das Volumen mit der Volumenformel für Prismen.

$V_\text{Dach} = G_\text{Prisma} \cdot h_\text{Prisma}$

Die Grundfläche ist ein Dreieck mit der Grundlinie der Länge $13{,}5\, \mathrm{m}$ und der Dreieckshöhe $2\, \mathrm{m}$

$= \left(\dfrac12 \cdot 13{,}5\, \mathrm{m} \cdot 2 \, \mathrm{m}\right) \cdot h_\text{Prisma}$

Die Höhe des Prismas ist $22\, \mathrm{m}$

$= \left(\dfrac12 \cdot 13{,}5 \, \mathrm{m} \cdot 2\, \mathrm{m}\right) \cdot 22\, \mathrm{m} = 13{,}5 \, \mathrm{m^2} \cdot 22 \, \mathrm{m} = 297 \, \mathrm{m^3}$

Volumen des Quaders unter dem Dach

Das Dach liegt auf einem Quader.

Er ist $13{,}5 \, \mathrm{m}$ breit, $22 \, \mathrm{m}$ lang und $2 \, \mathrm{m}$ hoch.

Berechne das Volumen mit der Volumenformel für Quader.

$V_\text{Quader unter Dach} = l \cdot b \cdot h = 22 \, \mathrm{m} \cdot 13{,}5 \, \mathrm{m} \cdot 2 \, \mathrm{m} = 594 \, \mathrm{m^3}$

Volumen des Tempelraumes

Der Tempelraum ist ein Quader.

Er ist $13{,}5 \, \mathrm{m}$ breit, $15 \, \mathrm{m}$ lang und $10 \, \mathrm{m}$ hoch.

Berechne das Volumen mit der Volumenformel für Quader.

$V_\text{Tempelraum} = l\cdot b \cdot h = 15 \, \mathrm{m} \cdot 13{,}5 \, \mathrm{m} \cdot 10 \, \mathrm{m} = 2025 \, \mathrm{m^3}$

Volumen des Sockels

Der Sockel des Tempels ist ein Quader.

Er ist $13{,}5\, \mathrm{m}$ breit, $26{,}5 \, \mathrm{m}$ lang und $3\, \mathrm{m}$ hoch.

Berechne das Volumen mit der Volumenformel für Quader.

$V_\text{Sockel} = l \cdot b \cdot h = 26{,}5 \, \mathrm{m} \cdot 13{,}5 \, \mathrm{m} \cdot 3 \, \mathrm{m} = 1073{,}25 \, \mathrm{m^3}$

Volumen der Säulen

Die Säulen sind Zylinder.

Der Durchmesser ist $0{,}8 \, \mathrm{m}$ und sie sind $10 \, \mathrm{m}$ hoch.

Berechne das Volumen einer Säule mit der Volumenformel für Zylinder.

$V_\text{eine Säule} = G \cdot h = r^2 \cdot \pi \cdot h$

Der Durchmesser ist $0{,}8 \, \mathrm{m}$ , also ist der Radius $\dfrac12 \cdot 0{,}8\, \mathrm{m} = 0{,}4 \, \mathrm{m}$

$= (0{,}4 \, \mathrm{m})^2 \cdot \pi \cdot 10 \, \mathrm{m} = 1{,}6 \, \mathrm{m^3} \cdot \pi \approx 5{,}03 \, \mathrm{m^3}$

Berechne nun das Volumen für alle zehn Säulen.

$V_\text{Säulen} = 10 \cdot V_\text{eine Säule} = 10 \cdot 5{,}03 \, \mathrm{m^3} = 50{,}3 \mathrm{m^3}$

Gesamtvolumen des Tempels

Um das gesamte Volumen des Tempels auszurechnen, addiert man nun noch die einzelnen Teile

$V_\text{Tempel} = V_\text{Dach} + V_\text{Quader unter Dach} + V_\text{Tempelraum} + V_\text{Sockel} + V_\text{Säulen}\\= 297 \, \mathrm{m^3} + 594 \, \mathrm{m^3}+ 2025\, \mathrm{m^3}+ 1073{,}25 \, \mathrm{m^3}+ 50{,}3\, \mathrm{m^3} = 4039{,}55 \, \mathrm{m^3}$

Lösung: Der Tempel hat ein Volumen von $4039{,}55 \, \mathrm{m^3}$

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