Sina mag ihre Apfelschorle schön kalt und möchte daher so viele Eiswürfel wie möglich in ihrem Glas.
Im Glas passen %%0,5\:\text{l}%%. Die Eiswürfel sind alle Würfel der Kantenlänge %%a = 3\text{cm}%%. In das Glas befinden sich genau %%0,3\:\text{l}%% Apfelschorle.

Wie viele Eiswürfel passen höchstens in das Glas, ohne dass die Apfelschorle überläuft?

Nimm dafür an, dass das gesamte Volumen der eingeschenkten Eiswürfel "Unterwasser" liegt.

Apfelschorle

Volumen zusammengesetzter Quader

Das Volumen der Mischung "Apfelschorle %%+%% Eiswürfel" erhöht sich bei jedem Eiswürfel der dazugeschenkt wird. Du sollst bei dieser Aufgabe herausfinden wie viele Eiswürfel ins Glas passen, ohne dass die Apfelschorle überläuft.
Die Apfelschorle überläuft wenn das Volumen der Mischung "Apfelschorle %%+%% Eiswürfel" größer ist als das Gesamtvolumen des Glas %%(0,5\:\text{l})%%.

Einschenken eines Eiswürfel

Die Eiswürfel sind jeweils Würfel der Kantenlänge %%a = 3\text{cm}%%. Das Volumen eines Eiswürfel kannst du mit Hilfe der Formel für das Volumen eines Würfels berechnen:

%%\begin{array}{lcl} V_{Eiswürfel} & = & a\cdot a\cdot a \\ & = & 3\text{cm} \cdot 3\text{cm} \cdot 3\text{cm} \\ & = & 27\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Um das Volumen "Apfelschorle %%+%% %%1%% Eiswürfel" auszurechnen, ist es Hilfreich das Volumen der Apfelschorle von %%\text{l}%% in %%\text{cm}^3%% umzurechnen:

%%\begin{array}{lcl} V_{Apfelschorle} & = & 0,3\:\text{l} \\ & = & 300\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Nun kannst du das Volumen "Apfelschorle %%+\:1%% Eiswürfel" berechnen:

%%\begin{array}{lclcl} V_1 & = & V_{Apfelschorle} & + & V_{Eiswürfel} \\ & = & 300\text{cm}^3 & + & 27\text{cm}^3 \\ & = & 327\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Maximale Anzahl der Eiswürfel

Wenn Sina zum Beispiel %%5%% Eiswürfel einschenkt, kannst du das Volumen "Apfelschorle %%+\:5%% Eiswürfel" wie folgt berechnen:

%%\begin{array}{lclcl} V_5 & = & V_{Apfelschorle} & + & 5\cdot V_{Eiswürfel} \\ & = & 300\text{cm}^3 & + & 5\cdot 27\text{cm}^3 \\ & = & 300\text{cm}^3 & + & 140\text{cm}^3 \\ & = & 440\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Wie kannst du nun wissen wie viele Eiswürfel Sina höchstens einschenken kann?
Dafür musst du das berechnete Volumen mit dem Gesamtvolumen des Glas vergleichen. Es ist also wieder Hilfreich das Volumen des Glas in %%\text{cm}^3%% umzurechnen:

%%\begin{array}{lcl} V_{Glas} & = & 0,5\:\text{l} \\ & = & 500\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

  • Ist das berechnete Volumen "Apfelschorle %%+%% Eiswürfel" größer als %%V_{Glas}%%, läuft die Apfelschorle über.
  • Ist das das berechnete Volumen "Apfelschorle %%+%% Eiswürfel" kleiner als %%V_{Glas}%%, läuft die Apfelschorle nicht über.

Da %%440\text{cm}^3 < 500\text{cm}^3%% ist %%V_5 < V_{Glas}%%. Die Apfelschorle laüft also bei %%5%% Eiswürfel noch nicht über.

Wenn Sina %%7%% Eiswürfel einschenkt ist das Volumen "Apfelschorle %%+\:7%% Eiswürfel":

%%\begin{array}{lclcl} V_7 & = & V_{Apfelschorle} & + & 7\cdot V_{Eiswürfel} \\ & = & 300\text{cm}^3 & + & 7\cdot 27\text{cm}^3 \\ & = & 300\text{cm}^3 & + & 189\text{cm}^3 \\ & = & 489\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Da %%489\text{cm}^3 < 500\text{cm}^3%% ist %%V_7 < V_{Glas}%%. Die Apfelschorle läuft bei %%7%% Eiswürfel nicht über.

Wenn Sina %%8%% Eiswürfel einschenkt ist das Volumen "Apfelschorle %%+\:8%% Eiswürfel":

%%\begin{array}{lclcl} V_8 & = & V_{Apfelschorle} & + & 8\cdot V_{Eiswürfel} \\ & = & 300\text{cm}^3 & + & 8\cdot 27\text{cm}^3 \\ & = & 300\text{cm}^3 & + & 216\text{cm}^3 \\ & = & 516\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Da %%516\text{cm}^3 > 500\text{cm}^3%% ist %%V_8 > V_{Glas}%%. Bei %%8%% Eiswürfel läuft die Apfelschorle über.

Sina kann somit höchstens %%7%% Eiswürfel in ihr Glas einschenken, ohne dass die Apfelschorle überläuft.

Wie sieht es aus wenn du nicht annimmst, dass das Gesamtvolumen der Eiswürfel "unterwasser" liegt?

Es ist dir bestimmt schon aufgefallen, dass ähnlich wie bei einem Eisberg, ein Teil der Eiswürfel über der Oberfläche "schwimmt".

Dieser Anteil ist immer etwa gleich %%8%% % des Gesamtvolumen des Eiswürfels.
Es sind dann nur %%92%% % %%= 0,92%% des Volumen tatsächlich "unterwasser", also:

%%\begin{array}{lcl} V_{Eiswürfel,unterwasser} & = & 0,92 \cdot V_{Eiswürfel} \\ & = & 0,92 \cdot 27\text{cm}^3 \\ & = & 24,82 \text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Da nur das Volumen "unterwasser" dafür Verantwortlich ist, dass der Pegel steigt, muss mit %%24,82\text{cm}^3%% an Stelle der %%27\text{cm}^3%% weiter gerechnet werden.

In diesem Fall ist:

%%\begin{array}{lclcl} V_8 & = & V_{Apfelschorle} & + & 8\cdot V_{Eiswürfel,unterwasser} \\ & = & 300\text{cm}^3 & + & 8\cdot 24,82\text{cm}^3 \\ & = & 300\text{cm}^3 & + & 198,56\text{cm}^3 \\ & = & 498,56\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Wenn also kein Eiswürfel von den anderen Eiswürfel "unterwasser" gedrückt wird und Sina sehr präzise die Eiswürfel in die Apfelschorle legt, passen sogar %%8%% Eiswürfel in ihr Glas.