Beispiel für eine nichtlineare Abbildung

Als nächstes untersuchen wir, ob es auch nicht lineare Abbildungen gibt. Hierzu betrachten wir die Normabbildung auf der Ebene, die jedem Vektor seine Länge zuordnet:
2 ⁣:R2R;(xy)x2+y2\displaystyle \|\cdot\|_2 \,\colon\, \R^2 \to \R ;\quad \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} \mapsto \sqrt{x^2 + y^2}
Diese Abbildung ist keine lineare Abbildung, denn sie erhält weder die Vektoraddition noch die Skalarmultiplikation.
Dies zeigen wir mit Hilfe eines Gegenbeispiels:
Wir betrachten die Vektoren (1,0)T(1,0)^T und (0,1)TR2(0,1)T\in\mathbb{R}^2. Wenn wir die beiden Vektoren zuerst addieren und danach abbilden, so erhalten wir

(10)+(01)2=(11)2=12+12=2.\displaystyle \left\|\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}\right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\right\|_2 = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
Nun bilden wir die Vektoren zuerst ab und addieren dann die Ergebnisse:
(10)2+(01)2=12+02+02+12=1+1=2</math>\displaystyle \left\|\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix}\right\|_2 + \left\|\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}\right\|_2 = \sqrt{1^2 + 0^2} + \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 2</math>
Also gilt
(10)+(01)2(10)2+(01)2\displaystyle \left\|\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}\right\|_2 \neq \left\|\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix}\right\|_2 + \left\|\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}\right\|_2
Damit ist gezeigt, dass die Normabbildung ist nicht additiv ist. Dies reicht schon aus um zu zeigen, dass die Normalabbildung nicht linear ist.
Alternativ hätten wir auch zeigen können, dass die Normalabbildung nicht homogen ist. Es gilt nämlich
(1)(10)2=(10)2=(1)2+02=11=(1)(10)2.\displaystyle \left\|(-1) \cdot \begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix}\right\|_2 = \left\|\begin{pmatrix}-1\\0 \end{pmatrix}\right\|_2 = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = 1 \neq -1 = (-1) \cdot \left\|\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix}\right\|_2 .
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