Verträglichkeit der Addition

Beginnen wir mit der Addition von Vektoren: Wann verträgt sich eine Funktion f:VWf:V\to W mit den Additionen +V+_{_{V}} und +W+_{_{W}} auf den jeweiligen Vektorräumen VV und WW? Hier kann man folgende Hypothese aufstellen:
Eine Abbildung ist verträglich mit der Addition, wenn eine Summe durch die Abbildung erhalten bleibt. Wenn also v3=v1+Vv2 v_{3}=v_{1}+_{_{V}}v_{2} im Vektorraum VV eine Summe ist, so bilden auch die Bilder von v1v_{1} , v2 v_{2} und v3v_{3} im Vektorraum WW eine entsprechende Summe: f(v3)=f(v1)+Wf(v2)f(v_{3})=f(v_{1})+_{_{W}}f(v_{2})
Eine mit der Addition verträgliche Abbildung erfüllt somit für alle v1,v2,v3Vv_{1},v_{2},v_{3}\in V die Implikation:
v3=v1+Vv2    f(v3)=f(v1)+Wf(v2)v_{3}=v_{1}+_{_{V}}v_{2}\implies f(v_{3})=f(v_{1})+_{_{W}}f(v_{2})
Diese Implikation kann in einer Gleichung zusammengefasst werden, indem die Prämisse v3=v1+Vv2v_{3}=v_{1}+_{_{V}}v_{2} in die zweite Gleichung eingsetzt wird. Es soll also für alle v1,v2Vv_{1},v_{2}\in V gelten:
f(v1+Vv2)=f(v1)+Wf(v2)f(v_{1}+_{_{V}}v_{2})=f(v_{1})+_{_{W}}f(v_{2})
Diese Gleichung beschreibt die charakteristische Eigenschaft der linearen Abbildung, verträglich zur Vektoraddition zu sein. Wir können sie auch gut für Abbildungen R2R2 \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2} visualisieren. Eine Abbildung verträgt sich genau dann mit der Addition, wenn das durch die Vektoren v1v_{1}, v2v_{2} und v3=v1+Vv2 v_{3}=v_{1}+_{_{V}}v_{2} gegebene Dreieck im Definitionsbereich durch die Abbildung erhalten bleibt. Sprich: Auch die drei Vektoren f(v1)f(v_{1}), f(v2) f(v_{2}) und f(v3)=f(v1+Vv2)f(v_{3})=f(v_{1}+_{_{V}}v_{2}) bilden ein (Additions-)Dreieck:
Wenn ff sich nicht mit der Addition verträgt, gibt es Vektoren v1v_{1} und v2v_{2} mit f(v1+Vv2)f(v1)+Wf(v2)f(v_{1}+_{_{V}}v_{2})\neq f(v_{1})+_{_{W}}f(v_{2}). Das durch v1v_{1}, v2v_{2} und v3=v1+Vv2 v_{3}=v_{1}+_{_{V}}v_{2} erzeugte Dreieck bleibt dann nicht erhalten, weil die Dreiecksseite v1+Vv2v_{1}+_{_{V}}v_{2} des Ausgangsdreiecks nicht auf die Dreiecksseite f(v1)+Wf(v2)f(v_{1})+_{_{W}}f(v_{2}) des Zieldreiecks abgebildet wird:
Kommentieren Kommentare