Das Zählprinzip sagt etwas über die Anzahl der Möglichkeiten aus, wie ein Zufallsexperiment ausgehen kann.

Definition

Ein Zufallsexperiment hat %%N%% Stufen, wobei jede Stufe %%n_i%% Möglichkeiten hat mit %%i= 1, \dots N%%.

Dann ist die Anzahl der Möglichkeiten %%n%%, das gesamte Zufallsexperiment anzuordnen, gegeben als das Produkt der Möglichkeiten, die Stufen anzuordnen.

%%\displaystyle n = n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_N%%

Beispiel: Mehrstufige Möglichkeiten

In einem beliebten Restaurant kann man sein Menü selbst zusammenstellen. Man hat die Wahl aus 2 Vorspeisen (Suppe, Salat), 3 Hauptspeisen (Pasta, Schnitzel, Fisch) und 2 Nachspeisen (Eis, Tiramisu).
Auf wie viele verschiedene Arten kann man sein Menü zusammenstellen?

gedeckter Tisch

Diese Aufgabe kann man lösen, indem man alle Möglichkeiten in einem Baumdiagramm darstellt.

Nun kann die Anzahl der Möglichkeiten am Baumdiagramm abgezählt werden. Es gibt insgesamt 12 Möglichkeiten, sein Menü zusammenzustellen.

Einfacher, als ein Baumdiagramm zeichnen zu müssen, ist der Weg über das Zählprinzip. Es gibt 2 Möglichkeiten für die erste Stelle, 3 Möglichkeiten für die zweite Stelle und zwei Möglichkeiten für die dritte Stelle. Nach dem Zählprinzip ist die Anzahl der Möglichkeiten das Produkt der Möglichkeiten der einzelnen Stellen.

Insgesamt gibt es also %%2 \cdot 3 \cdot 2 = 12%% Möglichkeiten.

Beispiel: Anordnung von Elementen

Wie viele Sitzordnungen sind bei einer Gruppe von 4 Schülern möglich?

Der erste Schüler hat vier verschiedene Möglichkeiten, sich hinzusetzen, da noch kein Stuhl besetzt ist.

4 Stühle

Nachdem sich der erste Schüler hingesetzt hat, sind von den vier Stühlen nur noch drei frei. Daher gibt es für den zweiten Schüler nur noch drei Möglichkeiten, auf welchen Stuhl er sich setzen möchte.

4 Stühle und ein Mann

Für den dritten Schüler gibt es dann nur noch 2 Möglichkeiten, auf welchen der beiden verbliebenen Stühle er sich setzen möchte.
Der vierte Schüler muss sich auf den letzten verbliebenen Stuhl setzen, hat also genau 1 Möglichkeit.

Nach dem Zählprinzip ist die Anzahl der Möglichkeiten, eine Sitzordnung mit 4 Schülern aufzustellen das Produkt aus den Möglichkeiten für die einzelnen Stellen.

Somit gibt es %%4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24%% verschiedene Sitzordnungen.

Hierfür kann man auch %%4!%% mit der Schreibweise für die Fakultät schreiben.

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