In einer Urne sind 9 schwarze, 5 blaue und 3 rote Kugeln. Viermal wird mit Zurücklegen gezogen. Beweise, dass die Ereignisse A: "Blau beim ersten Zug" und B:"Kein Schwarz bei 4. Zug" unabhängig sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Unabhängigkeit von Ereignissen beweisen

Für diese Aufgabe gibt es verschiedene Herangehensweisen.

Möglichkeit 1: Möglichkeiten aufzählen

Zu zeigen ist:
P(AB)  =  P(A)    P(B)\displaystyle \mathrm P\left(\mathrm A\cap\mathrm B\right)\;=\;\mathrm P\left(\mathrm A\right)\;\cdot\;\mathrm P\left(\mathrm B\right)
Berechne P(A). Zähle dafür die günstigen Möglichkeiten auf und teile durch alle Möglichkeiten.
P(A)=517P(A)=\frac5{17}
Berechne P(B). Teile wieder die günstigen Möglichkeiten durch alle Möglichkeiten.
P(B)=3+517=817P\left(B\right)=\frac{3+5}{17}=\frac8{17}
Berechne nun P(AB)  P\left(A\cap B\right)\;. Beachte, dass uns der 2. und 3. Zug egal sind.
P(AB)  =  5171.Zug  blau171717178174.Zug  nicht  schwarzP\left(A\cap B\right)\;=\;\underbrace{\frac5{17}}_{1.Zug\;blau}\cdot\frac{17}{17}\cdot\frac{17}{17}\cdot\underbrace{\frac8{17}}_{4.Zug\;nicht\;schwarz}
P(AB)  =51711817=P(A)P(B)P\left(A\cap B\right)\;=\frac5{17}\cdot1\cdot1\cdot\frac8{17}=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)
Es gilt also:
P(AB)  =  P(A)    P(B)\displaystyle P\left(A\cap B\right)\;=\;P\left(A\right)\;\cdot\;P\left(B\right)

Möglichkeit 2: Über bedingte Wahrscheinlichkeit

Diese Herangehensweie ist immer dann sinnvoll, falls P(AB)  P\left(A\cap B\right)\;zu viele Möglichkeiten enthält, um sie von Hand zu berechnen. Hier war es noch einfach möglich, in anderen Aufgaben ist diese Lösung einfacher.
Zu zeigen ist:
PA(B)=P(B)\displaystyle P_A(B)=P\left(B\right)
Eingesetzt in die Definition von bedingter Wahrscheinlichkeit folgt damit sofort die Unabhängigkeit. Genausogut kann man natürlich auch PB(A)P_B(A) berechnen.
Bestimme zunächst P(B)="Kein Schwarz bei 4. Zug".
(Teile die günstigen Möglichkeiten durch alle Möglichkeiten)
P(B)=3+517=817P\left(B\right)=\frac{3+5}{17}=\frac8{17}
Betrachte die bedingte Wahrscheinlichkeit PA(B)P_A(B): "Nicht schwarz im vierten Zug, unter der Bedingung, dass der erste Zug blau war"
PA(B)=111.  Zug  ist  blau  wegen  der  Bedingung  17172.  Zug  egal17173.Zug  egal817=P(B)P_A(B)=\underbrace{\frac11}_{1.\;Zug\;ist\;blau\;wegen\;der\;Bedingung\;}\cdot\underbrace{\frac{17}{17}}_{2.\;Zug\;egal}\cdot\underbrace{\frac{17}{17}}_{3.Zug\;egal}\cdot\frac8{17}=P\left(B\right)

Daraus folgt die Unabhängigkeit.