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Urnenmodell

Das Urnenmodell ist eine Denkhilfe in der Kombinatorik um (mehrstufige) Zufallsexperimente zu modellieren. Es heißt so, weil man sich diese Experimente wie das ziehen von Kugeln aus einer Urne vorstellt.

Das Modell

In einer Urne befinden sich n Kugeln.

Per Zufall (also ohne dabei zu sehen oder aussuchen) werden k davon herausgezogen.

Urne mit n = 6 Kugeln. Quelle: Wikipedia

Bemerkung: Bei manchen Experimenten macht es Sinn alle Kugeln voneinander unterscheiden zu können. Bei anderen Experimenten ist es nicht so wichtig. Dafür stellt man sich entweder vor,

  • dass jede Kugel eine eindeutige Nummer bekommt oder,

  • dass jede Kugel eine Farbe hat (die sich aber wiederholen kann).

Verschiedene Experimente mit dem Urnenmodell

Ziehen mit Zurücklegen bzw. ohne Zurücklegen

Wenn man mehr als einmal zieht, so kann das Ziehen auf zwei Arten erfolgen:

Entweder wird die Kugel nach dem Zug wieder in die Urne zurückgelegt (sodass sie beim nächsten Zug wieder ausgewählt werden kann),

Quelle: Wikipedia

oder die Kugel wird nach dem Zug nicht wieder zurückgelegt (sodass sie bei den nächsten Zügen nicht mehr ausgewählt werden kann).

Quelle: Wikipedia

Wichtige Unterschiede

  • Beim Ziehen mit Zurücklegen gibt es immer gleich viele Kugeln in der Urne, bevor man eine zieht.

  • Beim Ziehen ohne Zurücklegen gibt es nach jedem Ziehen immer eine Kugel weniger, Hier kann also die Urne leer werden, wenn man oft genug zieht.

Ziehen mit Beachtung der Reihenfolge bzw. ohne Beachtung der Reihenfolge

Wird mehr als ein Mal gezogen so kann man sich manchmal dafür interessieren in welcher Reihenfolge die Kugeln gezogen werden.

Genau so gut kann man sich auch nur für das Endergebnis interessieren. Zum Beispiel nach fünf Mal ziehen, will man wissen welche fünf Kugeln draußen sind, und es ist egal welche Kugel zuerst gezogen wurde.

Wichtige Unterschiede

Wenn man die Reihenfolge beachtet, zählt man die gezogenen Kugeln

und

als zwei verschiedene Ergebnisse.

Ist die Reihenfolge egal, dann werden beide Möglichkeiten als dieselbe gezählt.

Merke: Ohne Beachtung der Reihenfolge gibt es immer weniger Kombinationsmöglichkeiten!

Beispiele für verschiedene Anwendungen des Urnenmodells

Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge

Beispiele:

Problemstellung:

Modellierung mit dem Urnenmodell

  • Aus den Ziffern von 0,1,2,…,9 soll eine vierstellige Zahlenkombination für ein Zahlenschloss gebildet werden.(Dabei darf natürlich eine Ziffer auch mehrfach vorkommen.) Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?

In der Urne befinden sich 10 Kugeln, auf denen jeweils eine Ziffer aus den Ziffern von 0 bis 9 steht. Es wird 4 mal nacheinander mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge je eine Kugel gezogen und die Nummer der gezogenen Kugel notiert.

  • Ein Würfel wird 10 mal geworfen und jeweils die Augenzahl notiert. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die entstehende Folge an Zahlen?

In der Urne befinden sich 6 Kugeln, auf denen jeweils eine Ziffer aus den Ziffern von 1 bis 6 steht. Es wird 10 mal nacheinander mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge je eine Kugel gezogen und die Nummer der gezogenen Kugel notiert.

Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge

Beispiel:

Problemstellung:

Modellierung im Urnenmodell

  • Bei einem Wettkampf treten 50 Sportler gegeneinander an. Vergeben werden eine Gold-, eine Silber- und eine Bronzemedaille. Auf wie vielen Arten ist das möglich? (Das heißt: Wie viele "Siegerkonstellationen" sind möglich?)

In der Urne befinden sich 50 Kugeln, auf denen die Namen der Wettkämpfer stehen. Es wird 3 mal nacheinander ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge je eine Kugel gezogen und der Name auf der gezogenen Kugel notiert.

Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge

Beispiele:

Problemstellung:

Modellierung im Urnenmodell

  • Aus 10 Farbstiften darf sich Max 3 Farben aussuchen. Wie viele Möglichkeiten hat er dafür?

In der Urne befinden sich 10 Kugeln, auf denen jeweils eine der Farben steht. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge je eine Kugel gezogen und die Farbe auf der gezogenen Kugel notiert.

  • Aus 49 Zahlen werden beim Lotto "6 aus 49" sechs Zahlen ausgewählt. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt?

In der Urne befinden sich 49 Kugeln, auf denen jeweils eine Zahl aus den Zahlen von 1 bis 49 steht. Es wird 6 mal ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge je eine Kugel gezogen und die Nummer der gezogenen Kugel notiert.

Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge

Beispiel:

  • Für ein Amt bewerben sich 3 Kandidaten; gewählt werden sie von 100 Personen. Wie viele Möglichkeiten der Stimmenverteilung gibt es?

In der Urne befinden sich 3 Kugeln, auf denen die Namen der drei Kandidaten stehen. Es wird 100 mal nacheinander mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge je eine Kugel gezogen und der Name auf der gezogenen Kugel notiert.


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