Das Gesetz der großen Zahlen sagt aus, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses auf die theoretische Wahrscheinlichkeit eines Zufallsergebnisses einpendelt, wenn man das Zufallsexperiment nur oft genug wiederholt.

Wichtig ist zu bemerken, dass das Gesetz der großen Zahlen nichts über die absolute Verteilung der Wahrscheinlichkeiten aussagt.

Empirisches Gesetz der großen Zahlen

Erstmalig formulierte der Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli im 18. Jahrhundert die empirische Beobachtung (also die auf Erfahrungswissen beruhende), dass die relative Häufigkeit bei hinreichend großer Anzahl von Durchführungen des Experiments immer besser der theoretischen Wahrscheinlichkeit entspricht.

Ist A ein Ereignis eines Zufallsexperiments, so stabilisieren sich bei einer hinreichend großen Anzahl %%n%% von Durchführungen dieses Experiments die relativen Häufigkeiten.

Beispiel

In einer Kiste sind über 100 Würfel. Falls man aus dieser Kiste 10 Würfel nimmt und diese zehn wirft, wie oft wird eine 6 fallen? Wie oft wird die 6 fallen, wenn man 20 Würfel wirft? Wie oft wird die 6 fallen, wenn man 50 oder gar 100 Würfel wirft?

Natürlich wird die absolute Anzahl von Sechsen meistens umso höher sein, je mehr Würfel insgesamt geworfen werden.

In der Tabelle unten sind die Ergebnisse eines Experiments.

Anzahl Würfel

10

20

50

100 

Anzahl Sechsen

4

6

 6

10

Würfelwurf von 10 Würfeln
Würfelwurf von 10 Würfeln

Um die Häufigkeit der Sechsen unter den verschiedenen Durchgängen vergleichen zu können, ist es sinnvoll die relativen Häufigkeiten anzugeben.

Anzahl Würfel

10

20

50

100 

Absolute Häufigkeit von Sechsen

4

6

 6

10

Relative Häufigkeit von Sechsen

0,4

0,3

 0,12

0,15

Bei wenigen Würfen, wie bei dem mit 10 Würfeln, weicht die relative Häufigkeit von verschiedenen Durchgängen, wo jeweils 10 Würfel geworfen werden, noch mitunter stark voneinander ab.

Bei den Durchgängen mit 100 Würfeln stellt sich öfter ein ähnlicher Wert der relativen Häufigkeit ein, der um 0,16 liegt. Je öfter in einem Durchgang gewürfelt wird, desto besser pendelt sich die relative Wahrscheinlichkeit um den Wert 0,16 ein.

Warum stellt sich der Wert 0,16 ein?

Ein Würfel hat sechs Seiten. Von diesen Seiten trägt genau eine die Ziffer 6. Man sollte also erwarten, dass - vorrausgesetzt keine Seite wird bevorzugt geworfen - jeder sechste Wurf eine Sechs zeigen sollte.
Daher definiert man die Wahrscheinlichkeit um eine Sechs zu würfeln bei diesem Laplace-Experiment als %%P(6) = \frac{1}{6} = 0,167%%.

Dieser Wert entspricht dem Wert, den man erwarten würde, wenn keine der 6 Seiten bevorzugt fällt.

Was besagt das Gesetz der großen Zahlen nicht?

Das Gesetz der großen Zahlen besagt nicht, dass ein Ereignis, welches bisher nicht so häufig wie erwartet eintrat wie erwartet, seinen Rückstand irgendwie aufholen muss und somit in Zukunft häufiger auftreten müsste. Es gibt kein derartiges Gesetz des Ausgleichs. Das ist insbesondere bei Kniffelspielern, die hoffen, dass ihre Zahlen nun endlich einmal fallen müssten, ein verbreiteter Irrtum.

Beispiel

Wird beispielsweise eine Münze 4 mal geworfen und ist 3 mal auf Kopf und 1 mal auf Zahl gelandet, so wurde Kopf 2 mal öfter als Zahl geworfen. Die relative Häufigkeit von Kopf ist also %%\frac{3}{4}%% = 0,75, während die relative Häufigkeit von Zahl %%\frac{1}{4}%% = 0,25 beträgt.

Nach 36 weiteren Würfen stellt sich das Verhältnis 25 mal Kopf zu 15 mal Zahl ein. Der absolute Abstand von Kopf zu Zahl ist nun größer mit 10 mal öfter Kopf als Zahl, aber die relativen Häufigkeiten sind nun näher am Wert der theoretischen Wahrscheinlichkeit von 0,5. Die relative Häufigkeit von Kopf beträgt nun %%\frac{25}{40}%% = 0,625, während die relative Häufigkeit von Zahl %%\frac{15}{40}%% = 0,375 beträgt.

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