Es soll die Beliebtheit einer Fernsehsendung überprüft werden. Eine Blitzumfrage hatte folgendes Ergebnis:

30% der Zuschauer, die die Sendung gesehen hatten, waren 25 Jahre und jünger. Von diesen hatten 50% und von den übrigen Zuschauern (über 25 Jahre) hatten 80% eine positive Meinung.

Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer 4-Feldtafel da. Verwenden Sie die Ereignisse (mit ihren Gegenereignissen):

A: Der Zuschauer ist 25 Jahre alt und jünger.

B: Der Zuschauer hat eine positive Meinung über die Sendung.

Definiere Ereignisse

Definiere die Ereignisse, die in der Aufgaben genannt wurden.

  • %%A%%: Der Zuschauer oder die Zuschauerin ist 25 Jahre alt und jünger.

  • %%\overline A%%: Der Zuschauer oder die Zuschauerin ist älter als 25 Jahre.

  • %%B%%: Der Zuschauer oder die Zuschauerin hat eine positive Meinung über die Sendung.

  • %%B%%: Der Zuschauer oder die Zuschauerin hat eine negative Meinung über die Sendung.

Berechne relative Häufigkeiten

Entnehme aus der Aufgabenstellung die bereits angegebenen Wahrscheinlichkeiten.

Informationen aus Aufgabenstellung

30% der Zuschauer, die die Sendung gesehen hatten, waren 25 Jahre und jünger. Von diesen hatten 50% und von den übrigen Zuschauern (über 25 Jahre) hatten 80% eine positive Meinung.

Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass ein zufällig gezogener Zuschauer 25 Jahre alt und jünger ist.

%%P(A) = 0.3%%

Verwende das Gegenereignis um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass ein zufällig gezogener Zuschauer älter als 25 Jahre alt ist.

%%P(\overline A) = 1- 0.3 = 0.7%%

Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass ein zufällig gezogener Zuschauer 25 Jahre alt oder jünger ist und eine positive Meinung hat.

%%P(A \cap B) = 0.3 \cdot 0.5 = 0,15%%

Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass ein zufällig gezogener Zuschauer 25 Jahre alt oder jünger ist und eine negative Meinung hat.

%%P(A \cap \overline B) = 0.3 \cdot 0.5 = 0,15%%

Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass ein zufällig gezogener Zuschauer älter als 25 Jahre alt ist und eine positive Meinung hat.

%%P(\overline A \cap B) = 0.8 \cdot 0.7 = 0,56%%

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ &\quad \mathrm{A}\quad & \quad \mathrm{\overline A}\quad & \ \\ \hline \mathrm{B} & & & \\ \hline \mathrm{\overline B} & & & \\ \hline \ & & & 1 \\ \end{array}$$

Trage die zuvor ermittelten Wahrscheinlichkeiten in die Tafel ein.

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ &\quad \mathrm{B}\quad & \quad \mathrm{\overline B}\quad & \ \\ \hline \mathrm{A} & 0,15 & 0,15 & \\ \hline \mathrm{\overline A} & 0,56 & & \\ \hline \ & & & 1 \\ \end{array}$$

Fülle weitere Felder der Tafel.

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ &\quad \mathrm{B}\quad & \quad \mathrm{\overline B}\quad & \ \\ \hline \mathrm{A} & 0,15 & 0,15 & 0,3\\ \hline \mathrm{\overline A} & 0,56 & & \\ \hline \ & 0,71 & & 1 \\ \end{array}$$

Fülle die nächsten Felder der Tafel.

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ &\quad \mathrm{B}\quad & \quad \mathrm{\overline B}\quad & \ \\ \hline \mathrm{A} & 0,15 & 0,15 & 0,3\\ \hline \mathrm{\overline A} & 0,56 & & \\ \hline \ & 0,71 & 0,29& 1 \\ \end{array}$$

Fülle die letzten Felder der Tafel.

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ &\quad \mathrm{B}\quad & \quad \mathrm{\overline B}\quad & \ \\ \hline \mathrm{A} & 0,15 & 0,15 & 0,3\\ \hline \mathrm{\overline A} & 0,56 & 0,14 & 0,7\\ \hline \ & 0,71 & 0,29& 1 \\ \end{array}$$

Auflistung der Wahrscheinlichkeiten in der Tabelle

%%P\left(A\right)=30\% %% , da 30% der Zuschauer jünger als 25 Jahre sind (siehe Text).

%%P\left(\overline A\right)=1-P\left(A\right)=100\%-30\%=70\% %% , da Gegenereignis .

%%P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=0,3\cdot0,5=0,15=15\% %%

%%P\left(A\cap\overline B\right)=P\left(A\right)-P\left(A\cap B\right)=30\%-15\%=15\% %%

%%P\left(\overline A\cap B\right)=P\left(\overline A\right)\cdot P\left(B\right)=0,8\cdot0,7=0,56=56\% %%

%%P\left(\overline A\cap\overline B\right)=P\left(\overline A\right)-P\left(\overline A\cap B\right)=70\%-56\%=14\% %%

%%P\left(A\cap B\right)+P\left(\overline A\cap B\right)=P\left(B\right)=15\%+56\%=71\% %%

%%P\left(A\cap\overline B\right)+P\left(\overline A\cap\overline B\right)=P\left(\overline B\right)=15\%+14\%=29\% %%

Ergebnis

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ &\quad \mathrm{B}\quad & \quad \mathrm{\overline B}\quad & \ \\ \hline \mathrm{A} & 0,15 & 0,15 & 0,3\\ \hline \mathrm{\overline A} & 0,56 & 0,14 & 0,7\\ \hline \ & 0,71 & 0,29& 1 \\ \end{array}$$

Zeichnen Sie das Baumdiagramm und den inversen Baum.

Bestimmen Sie alle Pfadwahrscheinlichkeiten.

Zeichne das Baumdiagramm

Berechne alle Pfadwahrscheinlichkeiten

Verwende die Vierfeldtafel, um alle Pfadwahrscheinlichkeiten anzugeben oder gegebenenfalls zu berechnen.

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ &\quad \mathrm{B}\quad & \quad \mathrm{\overline B}\quad & \ \\ \hline \mathrm{A} & 0,15 & 0,15 & 0,3\\ \hline \mathrm{\overline A} & 0,56 & 0,14 & 0,7\\ \hline \ & 0,71 & 0,29& 1 \\ \end{array}$$

Lese alle benötigten Wahrscheinlichkeiten aus der Vierfeldtafel ab.

  • %%P(A) = 0,3%%

  • %%P(\overline A) = 0,7%%

  • %%P(B) = 0,71%%

  • %%P(\overline B) = 0,29%%

  • %%P(A \cap B) = 0,15%%

  • %%P(A \cap \overline B) = 0,15%%

  • %%P(\overline A \cap B) = 0,56%%

  • %%P(\overline A \cap \overline B) = 0,14%%

Berechne nun die bedingten Wahrscheinlichkeiten, die du für das Baumdiagramm benötigst.

  • %%P_A (B) = \frac{P(A \cap B )}{P(A)} = \frac{0,15}{0,3} = 0,5%%

  • %%P_A (\overline B) = \frac{P(A \cap \overline B )}{P(A)} = \frac{0,15}{0,3} =0,5%%

  • %%P_{\overline A} (B) = \frac{P(\overline A \cap B )}{P(\overline A)} = \frac{0,56}{0,7} = 0,8%%

  • %%P_{\overline A} (\overline B) = \frac{P(\overline A \cap \overline B )}{P(\overline A)} = \frac{0,14}{0,7} = 0,2%%

  • %%P_B (A) = \frac{P(A \cap B )}{P(B)} = \frac{0,15}{0,71} = 0,21%%

  • %%P_B (\overline A) = \frac{P(\overline A \cap B )}{P(B)} = \frac{0,56}{0,71} = 0,79%%

  • %%P_{\overline B} (A) = \frac{P(A \cap \overline B )}{P(\overline B)} =\frac{0,15}{0,29} = 0,52%%

  • %%P_{\overline B} (\overline A) = \frac{P(\overline A \cap \overline B )}{P(\overline B)} = \frac{0,14}{0,29} = 0,48%%

Zeichne das Baumdiagramm

Zeichne nun mit den ermittelten Pfadwahrscheinlichkeiten das Baumdiagramm.
Ordne dabei die Ereignisse in der Reihenfolge %%A%% und dann %%B%% an.

Zeichne das inverse Baumdiagramm

Zeichne nun mit den ermittelten Pfadwahrscheinlichkeiten das inverse Baumdiagramm.
Ordne dabei die Ereignisse in der Reihenfolge %%B%% und dann %%A%% an.

Wie viel % der Zuschauer, von denen man weiß, dass sie eine positive Meinung über die Sendung hatten, waren älter als 25 Jahre?

Bedingung: positive Meinung

Ereignis     : älter als 25 Jahre

%%{\mathrm P}_\mathrm B\left(\overline{\mathrm A}\right)=\frac{\mathrm P\left(\overline{\mathrm A}\cap\mathrm B\right)}{\mathrm P\left(\mathrm B\right)}%%

    

Berechne die

Schnittmenge der

beiden Ereignisse .

%%\mathrm P\left(\overline{\mathrm A}\cap\mathrm B\right)\rightarrow\mathrm P(\mathrm{positive}\;\mathrm{Meinung}\;\mathrm{und}\;\mathrm{älter}\;\mathrm{als}\;25\;\mathrm{Jahre})=0,7\cdot0,8%%

  

Berechne die Summe der

günstigen

Wahrscheinlichkeiten .

%%\mathrm P\left(\mathrm B\right)\rightarrow\mathrm P(\mathrm{postive}\;\mathrm{Meinung})=0,3\cdot0,5+0,7\cdot0,8%%

%%\begin{array}{l}=\mathrm P\left(\mathrm{jünger}\;\mathrm{als}\;25\;\mathrm{Jahre}\;\mathrm{und}\;\mathrm{positive}\;\mathrm{Meinung}\right)\\\;\;\;+\mathrm P\left(\mathrm{älter}\;\mathrm{als}\;25\;\mathrm{Jahre}\;\mathrm{und}\;\mathrm{positive}\;\mathrm{Meinung}\right)\end{array}%%

Setze in die obige Formel ein.

    

%%{\mathrm P}_{\mathrm{positive}\;\mathrm{Meiniung}}\left(\mathrm{älter}\;\mathrm{als}\;25\;\mathrm{Jahre}\right)=\frac{\mathrm P(\mathrm{positive}\;\mathrm{Meinug}\;\mathrm{und}\;\mathrm{älter}\;\mathrm{als}\;25\;\mathrm{Jahre})}{\mathrm P(\mathrm{positive}\;\mathrm{Meinung})\;}=%%

   

%%{\mathrm P}_{\mathrm{positive}\;\mathrm{Meiniung}}\left(\mathrm{älter}\;\mathrm{als}\;25\;\mathrm{Jahre}\right)=\frac{0,7\cdot0,8}{0,3\cdot0,5+0,7\cdot0,8}=%%

    

%%{\mathrm P}_{\mathrm{positive}\;\mathrm{Meiniung}}\left(\mathrm{älter}\;\mathrm{als}\;25\;\mathrm{Jahre}\right)\approx0,789%%

Rechne in Prozent um.

   

%%\approx78,9\% %%

Wie viel % der Zuschauer, von denen man weiß, dass sie älter als 25 Jahre sind, hatten keine positive Meinung über die Sendung?

Gegeben sind die Ereignisse

  • %%A%%: Der Zuschauer ist 25 Jahre alt oder jünger.
  • %%B%%: Der Zuschauer hat eine positive Meinung über die Sendung.

Gesucht ist dann die bedingte Wahrscheinlichkeit %%P_{\overline A}(\overline B)%%.

Für die Lösung gibt es zwei verschiedene Möglickkeiten.

Gegenwahrscheinlichkeit

Nach Aufgabenstellung haben 80% der über 25-Jährigen eine positive Meinung, d. h.

$$P_{\overline A}(B) = 80\%.$$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich also als Gegenwahrscheinlichkeit:

$$P_{\overline A}(\overline B) = 1 - P_{\overline A}(B) = 20\%j$$

Vierfeldertafel

Das Ergebnis lässt sich auch aus der Vierfeldertafel ablesen:

$$P_{\overline A}(\overline B) = \frac{P(\overline A \cap \overline B)}{P(\overline A)} = \frac{14\%}{70\%} = 20\%.$$

Überprüfen Sie durch Rechnung ob das Ereignis B unabhängig von Ereignis A ist.

Unabhängigkeit von Ereignissen

Überprüfe durch Rechnung die Unabhängigkeit der Ereignisse.
Zwei Ereignisse %%A%% und %%B%% sind unabhängig, falls gilt %%P_B(A) = P(A)%%.

Lese die Wahrscheinlichkeiten am Baumdiagramm oder an der Vierfeld-Tafel ab. Dabei ist %%P_B(A) = 0,21%% und %%P(A) = 0,3%%. Die Wahrscheinlichkeiten sind also ungleich und somit die Ereignisse abhängig voneinander.

Ergebnis

Das Ereignis %%B%% ist abhängig vom Ereignis %%A%%. Das bedeutet, die positive Meinung über die Fernsehsendung ist vom Alter der Zuschauer abhängig.