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Aufgaben zum Thema bedingte Wahrscheinlichkeit

Wie gut kennst du dich aus? Lerne mit diesen gemischten Aufgaben, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen!

  1. 1

    Herr Huber hat eine Alarmanlage in seinem Auto installiert. Es werden die Ereignisse A: ‚ÄěAlarmanlage springt an‚Äú und K: ‚ÄěJemand versucht, das Auto aufzubrechen‚Äú betrachtet. Beschreiben Sie folgende bedingte Wahrscheinlichkeiten mit Worten: PK(A‚Äĺ),‚ÄÖ‚ÄäPK‚Äĺ(A),‚ÄÖ‚ÄäPK(A),‚ÄÖ‚ÄäPA(K)P_K\left(\overline{A}\right),\;P_{\overline K}\left(A\right),\;P_K\left(A\right),\;P_A\left(K\right) .

    Welche dieser bedingten Wahrscheinlichkeiten sollten hoch bzw. niedrig sein?

  2. 2

    Bestimme die Wahrscheinlichkeit, beim zweimaligen Werfen eines W√ľrfels eine Augensumme von mindestens 8 zu erhalten, unter der Bedingung, dass beim ersten Wurf eine 4 gefallen ist.

  3. 3

    Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei W√ľrfeln einen Pasch (11, 22, . . . , 66) zu erhalten, betr√§gt bekanntlich 16\frac16 .

    1. Es wird 4-mal hintereinander jeweils mit 2 W√ľrfeln gew√ľrfelt. Wie gro√ü ist die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt genau 3-mal Pasch f√§llt, wenn bekannt ist, dass mindestens einmal Pasch dabei war?

    2. Angenommen, Pasch f√§llt bei vier W√ľrfen insgesamt genau 3-mal.

      Mit welcher Wahrscheinlichkeit waren dann diese drei Pasch-W√ľrfe hintereinander?

    3. Berechnen Sie, wie oft man w√ľrfeln m√ľsste, damit die Wahrscheinlichkeit f√ľr "mindestens einmal Pasch‚Äú mindestens 99 % betr√§gt.

  4. 4

    In einer Gruppe von 900 Personen haben sich 600 prophylaktisch gegen Grippe impfen lassen. Nach einer bestimmten Zeit wurde jedes Gruppenmitglied danach befragt, wer an einer Grippe erkrankte. Die Ergebnisse werden in einer 4-Feldtafel dargestellt.

    Gruppe

    B(erkrankt)B\text{(erkrankt)}

    B‚Äĺ(gesund)\overline {B}\text{(gesund)}

    Summe

    A(geimpft)A\text{(geimpft)}

    6060

    540540

    600600

    A‚Äĺ(ungeimpft)\overline{A}\text{(ungeimpft)}

    120120

    180180

    300300

    Summe

    180180

    720720

    900900

    Das Ereignis A sei "Person ist geimpft" und das Ereignis B: "Person erkrankt".

    Berechnen Sie:

    P(A)P(A),¬†P(B)P(B), P(A‚ą©B)¬†¬†P(A \cap B)¬†¬†, PA(B)¬†P_A(B)¬†,¬†PB(A)P_B(A) sowie¬†P(A‚ÄĺP( \overline A ‚ą©B)\cap B)¬†und¬†PA‚Äĺ(B)¬†P_{\overline{A}}(B)\ .

    Geben Sie die Bedeutung der einzelnen Ergebnisse in Textform an.

  5. 5

    In einem Großversuch wurde ein Medikament getestet. Die Ergebnisse sind in einer Tabelle festgehalten. Dabei bedeuten:

    • MM: Medikament genommen

    • M‚Äĺ\overline M : Placebo genommen

    • GG: Gesund geworden

    • G‚Äĺ\overline G : nicht gesund geworden

    GG

    G‚Äĺ\overline G

    Summe

    MM

    63126312

    8787

    63996399

    M‚Äĺ\overline M

    312312

    43904390

    47024702

    Summe

    66246624

    44774477

    1110111101

    1. Stelle die relativen Häufigkeiten in einer Vierfeldertafel dar und stelle die dazugehörigen Baumdiagramme auf.

    2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Person, von der man weiß, dass sie das Medikament eingenommen hat, zu genesen?

    3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Person, von der man weiß, dass sie das Placebo eingenommen hat, nicht zu genesen?

  6. 6

    An einem Berufskolleg werden alle 674 Sch√ľler/innen befragt, ob sie rauchen oder nicht rauchen. Das Ergebnis der Befragung sieht wie folgt aus: 82 der insgesamt 293 Sch√ľler (m√§nnlich) gaben an zu rauchen. 250 Sch√ľlerinnen gaben an, nicht zu rauchen.

    1. Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer 4-Feldtafel dar. Verwenden Sie die Ereignisse (mit ihren Gegenereignissen):

      A: Die Person ist männlich.

      B: Die Person ist Raucher

    2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig ausgewählte Person weiblich und Nichtraucherin?

    3. Der Schulleiter sieht eine Sch√ľlerin im Aufenthaltsraum. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Sch√ľlerin Nichtraucherin?

    4. Untersuchen Sie, ob das Ereignis "männlich" und das Ereignis "Raucher" voneinander abhängige Ereignisse sind.

  7. 7

    Bei einer Sportveranstaltung wird ein Dopingtest durchgef√ľhrt. Wenn ein Sportler gedopt hat, dann f√§llt der Test zu 99%\% positiv aus.

    Hat ein Sportler aber nicht gedopt, zeigt der Test trotzdem zu 5% ein positives Ergebnis an. Aus Erfahrung weiß man, dass 20%\% der Sportler gedopt sind.

    1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine Dopingprobe positiv ausfällt.

    2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ ausfällt, obwohl der Sportler gedopt hat.

    3. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt hat, wenn seine Dopingprobe negativ ausgefallen ist.

  8. 8

    Es soll die Beliebtheit einer Fernsehsendung √ľberpr√ľft werden. Eine Blitzumfrage hatte folgendes Ergebnis:

    30% der Zuschauer, die die Sendung gesehen hatten, waren 25 Jahre und j√ľnger. Von diesen hatten 50% und von den √ľbrigen Zuschauern (√ľber 25 Jahre) hatten 80% eine positive Meinung.

    1. Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer 4-Feldtafel da. Verwenden Sie die Ereignisse (mit ihren Gegenereignissen):

      A: Der Zuschauer ist 25 Jahre alt und j√ľnger.

      B: Der Zuschauer hat eine positive Meinung √ľber die Sendung.

    2. Zeichnen Sie das Baumdiagramm und den inversen Baum.

      Bestimmen Sie alle Pfadwahrscheinlichkeiten.

    3. Wie viel % der Zuschauer, von denen man wei√ü, dass sie eine positive Meinung √ľber die Sendung hatten, waren √§lter als 25 Jahre?

    4. Wie viel % der Zuschauer, von denen man wei√ü, dass sie √§lter als 25 Jahre sind, hatten keine positive Meinung √ľber die Sendung?

    5. √úberpr√ľfen Sie durch Rechnung ob das Ereignis B unabh√§ngig von Ereignis A ist.

  9. 9

    In einem Land der Dritten Welt leiden 1% der Menschen an einer bestimmten Infektionskrankheit. Ein Test zeigt die Krankheit bei den tatsächlich Erkrankten zu 98% korrekt an. Leider zeigt der Test auch 3% der Gesunden als erkrankt an.

    1. Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer 4-Feldtafel da. Verwenden Sie die Ereignisse (mit ihren Gegenereignissen):

      K: Die getestete Person ist krank.

      T: Testergebnis ist positiv (Person wurde als krank getestet).

    2. Zeichnen Sie das Baumdiagramm und den inversen Baum. Bestimmen Sie alle Pfadwahrscheinlichkeiten.

    3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt der Test bei einer zufällig ausgewählten Person ein positives Ergebnis?

    4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine positiv getestete Person auch tatsächlich krank? Kommentieren Sie das Ergebnis.

    5. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine als negativ getestete Person gesund? Kommentieren Sie das Ergebnis.

  10. 10

    Mehr Abiturientinnen als Abiturienten:

    52,4% der 244600 Jugendlichen, die am Ende des vergangenen Schuljahres ihre Schule mit der allgemeinen Hochschulreife verlie√üen, waren Frauen. In den neuen L√§ndern und in Berlin liegt der Frauenanteil mit 59,1% deutlich h√∂her als im fr√ľheren Bundesgebiet (50,8%).

    1. Stellen Sie eine 4-Feldtafel auf, die diesen Sachzusammenhang beschreibt.

    2. Zeichnen Sie ein Baumdiagramm mit dem 1. Merkmal "Herkunft" (Ost, West) und dem 2. Merkmal "Geschlecht" (männlich, weiblich).

    3. Zeichnen Sie ein Baumdiagramm mit dem 1. Merkmal "Geschlecht" (männlich, weiblich) und dem 2. Merkmal "Herkunft" (Ost, West).

    4. Aus der Gesamtheit aller Abiturientinnen und Abiturienten des betrachteten Jahrgangs wurde eine Person zufällig ausgewählt.

      (1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt diese Person aus Ostdeutschland?

      (2) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die ausgewählte Person eine Frau?

      (3) Falls diese Person aus Ostdeutschland kommt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dies ein Mann?

      (4) Falls diese Person eine Frau ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt sie aus Westdeutschland?

  11. 11

    Gegeben sind Ereignisse A, B mit P(A)=0,72P\left(A\right)=0{,}72 , P(A‚ą©B)=0,18P\left(A\cap B\right)=0{,}18 , P(A‚ą™B)=0,832P\left(A\cup B\right)=0{,}832 . Wie gro√ü sind dann die bedingten Wahrscheinlichkeiten PB(A)P_B\left(A\right) und PA‚Äĺ(B)P_{\overline{A}}\left(B\right) ?

  12. 12

    (Aus dem Leistungskurs-Abitur Bayern 2008/IV) In einem Molkereibetrieb wird Fruchtjoghurt hergestellt und in Becher abgef√ľllt. In dem Betrieb werden t√§glich gleich viele Becher der Sorten Erdbeere, Kirsche, Heidelbeere und Ananas abgef√ľllt. Bei einer Tagesproduktion, bei der 4 % der Becher einen defekten Deckel aufweisen, f√§llt auf, dass unter den Erdbeerjoghurtbechern sogar jeder zehnte Deckel fehlerhaft ist.

    1. Bestimmen Sie den Anteil der Becher mit defektem Deckel unter allen Bechern, die keinen Erdbeerjoghurt enthalten. Klären Sie, ob es durch Absenken des Ausschussanteils allein beim Erdbeerjoghurt gelingen kann, den angestrebten Qualitätsstandard von insgesamt höchstens 1 % Ausschussanteil einzuhalten.

    2. Alle Becher mit defektem Deckel dieser Tagesproduktion werden aussortiert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält ein Becher, der zufällig aus den verbleibenden Bechern ausgewählt wird, Erdbeerjoghurt?

  13. 13

    Beim Werfen eines Oktaeders, dessen acht Seitenfl√§chen mit den Ziffern 11 bis 88 beschriftet sind, hat Manfred auf das Ereignis AA: ‚ÄěEs wird die 11 oder die 88 geworfen‚Äú gesetzt.

    1. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses AA an.

    2. Manfred kann zun√§chst nur erkennen, dass die 55 nicht gew√ľrfelt wurde. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann er daraufhin auf einen Gewinn hoffen?

    3. Manfred kann zun√§chst nur erkennen, dass die gew√ľrfelte Augenzahl 66 oder 88 ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann er daraufhin auf einen Gewinn hoffen?

    4. Geben Sie eine Bedingung BB an, sodass  PB(A)=P(A)P_B\left(A\right)=P\left(A\right) ist.

  14. 14

    28 Sch√ľlerinnen und 26 Sch√ľler w√§hlen eine Sportart. 14 Buben und M√§dchen m√∂chten Schwimmen, zwei F√ľnftel der √ľbrigen Fu√üball spielen und der Rest laufen. Beim Fu√üball sind nur 2 M√§dchen, dagegen beim Schwimmen nur 2 Buben.

    1. Erstellen Sie eine 6-Felder-Tafel mit absoluten Häufigkeiten.

    2. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mädchen Fußball spielen möchte? Zeigen Sie, dass das Geschlecht einen Einfluss auf die Fußball-Leidenschaft hat.

    3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand aus der Fußball-Gruppe aus der Gruppe der Mädchen stammt?

  15. 15

    Gegeben ist ein Beutel mit x Laplace-M√ľnzen, wobei eine auf beiden Seiten Wappen tr√§gt und die anderen jeweils auf einer Seite Wappen und auf der anderen Seite Zahl.

    Es wird eine M√ľnze aus dem Beutel gezogen und diese zweimal hintereinander geworfen. Die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal Wappen erscheint, liegt bei 12\frac{1}{2}.


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