Aufgaben zum Thema bedingte Wahrscheinlichkeit

Wie gut kennst du dich aus? Lerne mit diesen gemischten Aufgaben, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen!

1
Herr Huber hat eine Alarmanlage in seinem Auto installiert. Es werden die Ereignisse A: „Alarmanlage springt an“ und K: „Jemand versucht, das Auto aufzubrechen“ betrachtet. Beschreiben Sie folgende bedingte Wahrscheinlichkeiten mit Worten: $P_K\left(\overline{A}\right),\;P_{\overline K}\left(A\right),\;P_K\left(A\right),\;P_A\left(K\right)$ .
Welche dieser bedingten Wahrscheinlichkeiten sollten hoch bzw. niedrig sein?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stochastik
$P_K\left(\overline A\right)$ : Die Wahrscheinlichkeit, dass die Alarmanlage nicht anspringt unter der Bedingung, jemand versucht das Auto aufzubrechen.
Die Wahrscheinlichkeit sollte niedrig sein.
$P_{\overline K}\left(A\right)$ : Die Wahrscheinlichkeit, dass die Alarmanlage anspringt unter der Bedingung, niemand versucht das Auto aufzubrechen.
Die Wahrscheinlichkeit sollte ebenfalls niedrig sein.
$P_K\left(A\right)$ : Die Wahrscheinlichkeit, dass die Alarmanlage anspringt unter der Bedingung, jemand versucht das Auto aufzubrechen.
Die Wahrscheinlichkeit sollte hoch sein.
$P_A\left(K\right)$ : Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand versucht das Auto aufzubrechen unter der Bedingung, die Alarmanlage springt an.
Dies wäre nicht sehr klug.
2
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, beim zweimaligen Werfen eines Würfels eine Augensumme von mindestens 8 zu erhalten, unter der Bedingung, dass beim ersten Wurf eine 4 gefallen ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Ereignisse definieren
$A$ : Augensumme ist mindestens 8
$B$ : Beim ersten Wurf fällt eine 4
Dabei ist $A$ das gesuchte Ereignis ohne die Bedingung und in $B$ wurde die Bedingung als eigenes Ereignis formuliert.
Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit angeben
Gib nun die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit an, die hier gesucht ist:
$\displaystyle P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
Benötigte Wahrscheinlichkeiten herausfinden
Ermittle noch die benötigten Wahrscheinlichkeiten.
$P(B)=?$
Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf eine 4 zu bekommen, ist $\dfrac16$ .
$P(B)=\dfrac16$
$P(A\cap B)=?$
Überlege dir zuerst, welche Zahlenkombinationen in der Menge $A\cap B$ sind.
Das sind alle Zahlenpaare, die zuerst eine 4 haben und mit der zweiten Zahl zusammen mindestens 8 ergeben. Also (4,4), (4,5), (4,6). Das heißt, es gibt 3 Möglichkeiten in $A\cap B$ .
Insgesamt gibt es 36 Möglichkeiten, wenn man zweimal würfelt; daher steht im Nenner eine 36.
$P(A\cap B)=\dfrac3{36}$
Setze die Werte in die Definition ein und berechne das Ergebnis.

Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln einen Pasch (11, 22, . . . , 66) zu erhalten, beträgt bekanntlich $\frac16$ .

Es wird 4-mal hintereinander jeweils mit 2 Würfeln gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt genau 3-mal Pasch fällt, wenn bekannt ist, dass mindestens einmal Pasch dabei war?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: bedingte Wahrscheinlichkeit
Definiere Ereignisse
Definiere zunächst die Ereignisse, die in der Aufgabenstellung beschrieben werden.
Ereignis $A$ : Es fällt bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch.
Ereignis $B$ : Es fällt bei den vier Würfen mindestens ein Pasch.
Definiere Wahrscheinlichkeiten
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf ein Pasch auftritt, ist $P(\text{Pasch bei einem Wurf}) = \frac{1}{6}.$ Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf kein Pasch auftritt, ist $P(\overline{\text{Pasch bei einem Wurf}}) = \frac{5}{6}.$
Definiere dann jeweils die Wahrscheinlichkeit, mit denen eins der zuvor definierten Ereignisse eintritt.
$P(A)$ : Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch fällt.
$P(B)$ : Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen mindestens ein Pasch fällt.
$P(A \cap B)$ : Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch und mindestens ein Pasch fällt.
Dabei ist die Wahrscheinlichkeit $P(A \cap B)$ genau so groß wie die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ . Wenn genau drei Päsche fallen, dann wurde natürlich mehr als ein Pasch (nämlich drei Päsche) gewürfelt.
$P_B (A)$ Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch fällt, wenn bekannt ist, dass mindestens ein Pasch gefallen ist.
Berechne bedingte Wahrscheinlichkeit
Dazu musst du die Formel für die Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten kennen.
$P(A \cap B) = \, ?$
Berechne $P(A \cap B)$ .
Fallen genau drei Päsche, so fällt auch mindestens ein Pasch.
$P(A \cap B) = P(A)$
$P(A) = \, ?$
Berechne $P(A)$ .
3 mal Wahrscheinlichkeit für Pasch: $\frac{1}{6}$ 1 mal Wahrscheinlichkeit für kein Pasch: $\frac{5}{6}$ kombinatorischer Faktor: 4
$P(A) = 4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{324} = 0{,}015$
$P(B) = \, ?$
Berechne $P(B)$ .
Nutze das Gegenereignis: $P(\overline B)$ : Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 4 Würfen kein Pasch fällt.
$P(B) = 1 - P(\overline {B})$
4 mal Wahrscheinlichkeit für kein Pasch: $\frac{5}{6}$
$P(\overline{B})=\left(\frac{5}{6}\right)^4$
$P(B) = 1 - P(\overline {B}) =1- \frac{625}{1296} =\frac{1296}{1296}- \frac{625}{1296}=\frac{671}{1296}\approx0{,}52$
Berechne bedingte Wahrscheinlichkeit
Ergebnis
Die Wahrschenlichkeit, dass genau drei Päsche fallen, wenn bekannt ist, dass mindestens ein Pasch gefallen ist, beträgt $3{,}0 \%$ .
Ergänzung
Weil es einige Nachfragen zu der Lösung gab, wird sie nochmal etwas anders berechnet.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für keinen, einen, zwei, drei oder vier Päsche. Beachte dabei wie oben die kombinatorischen Faktoren: bei einem oder drei Päschen gibt es je vier Möglichkeiten, an welcher Stelle der Pasch (oder der Wurf ohne Pasch) auftritt. Bei zwei Päschen sind es $\displaystyle{4\choose 2}=6$ Möglichkeiten, die du dir zur Not wie oben noch einmal aufschreiben kannst. Da wir die Zahlen vergleichen wollen, kürzen wir in der folgenden Rechnung nicht.
Kein Pasch: $\displaystyle P_0=\left(\frac{5}{6}\right)^4=\frac{625}{1296}$
Ein Pasch: $\displaystyle P_1=\left(\frac{5}{6}\right)^3\cdot\frac{1}{6}\cdot4=\frac{500}{1296}$
Zwei Päsche: $\displaystyle P_2=\left(\frac{5}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot6=\frac{150}{1296}$
Drei Päsche: $\displaystyle P_3=\left(\frac{5}{6}\right)^1\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^4\cdot4=\frac{20}{1296}$
Vier Päsche: $\displaystyle P_4=\left(\frac{1}{6}\right)^4=\frac{1}{1296}$
Wenn du zur Probe die Wahrscheinlichkeiten addierst, siehst du, dass du $P_0+P_1+P_2+P_3+P_4=1$ erhältst.
Die Wahrscheinlichkeit, genau drei Päsche zu würfeln, ist als $\displaystyle P_3=\frac{20}{1296}=\frac{5}{324}$ .
Jetzt ist aber die bedingte Wahrscheinlichkeit gefragt, drei Päsche zu würfeln, wenn schon bekannt ist, dass mindestens ein Pasch fällt. Das bedeutet, dass das Ereignis "kein Pasch" nicht mehr in der Grundmenge vorkommt. Daher ist diese bedingte Wahrscheinlichkeit
$\displaystyle P_B(A)=\frac{P_3}{P_1+P_2+P_3+P_4}=\frac{P_3}{1-P_0}=\frac{\frac{20}{1296}}{\frac{671}{1296}}=\frac{20}{671}\approx 3{,}0\%$ .
Das ist genau das, was oben berechnet worden ist.
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Angenommen, Pasch fällt bei vier Würfen insgesamt genau 3-mal.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit waren dann diese drei Pasch-Würfe hintereinander?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: bedingte Wahrscheinlichkeit
Definiere Ereignisse
Definiere zunächst die Ereignisse, die in der Aufgabenstellung beschrieben werden.
Ereignis $A$ : Es fällt bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch.
Ereignis $C$ : Die drei Pasch-Würfe fallen hintereinander.
Definiere Wahrscheinlichkeiten
Definiere jeweils die Wahrscheinlichkeit, mit denen eins der zuvor definierten Ereignisse eintritt.
$P(A)$ : Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch fällt.
$P(C)$ : Wahrscheinlichkeit, dass drei Pasch-Würfe bei den vier Würfen hintereinander erfolgen.
$P_A (C)$ Wahrscheinlichkeit, dass drei Pasch-Würfe hintereinander erfolgen, wenn bekannt ist, dass genau drei mal ein Pasch gefallen ist.
Berechne bedingte Wahrscheinlichkeit
Dazu musst du die Formel für die Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten kennen.
$P_A(C)=\frac{P(A\cap C)}{P(A)}$
$P(A \cap C) = \,?$
Berechne $P(A \cap C)$ .
$P(A\cap C)=2\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{648}=0{,}008$
$P(A) = \, ?$
Berechne $P(A)$ .
$P(A) = 4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{324} = 0{,}015$
$P_A(C) = \frac{P(A\cap C)}{P(A)} = \,?$
Berechne $P_A(C)$ .
$P_A(C)=\frac{P(A\cap C)}{P(A)}=\frac{2\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3\cdot \frac{5}{6}}{4\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3\cdot \frac{5}{6}}=0.5$
Ergebnis
Die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Päsche hintereinander fallen, wenn bekannt ist, dass genau drei Päsche gefallen sind, beträgt 50 %.
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Berechnen Sie, wie oft man würfeln müsste, damit die Wahrscheinlichkeit für "mindestens einmal Pasch“ mindestens 99 % beträgt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: bedingte Wahrscheinlichkeit

Definiere Ereignisse

Definiere zunächst das Ereignis, das in der Aufgabenstellung beschrieben wird.

Ereignis $(A, n)$ : Es fällt bei $n$ Würfen mindestens ein Pasch.
Ereignis $(\overline A, n)$ : Es fällt bei $n$ Würfen kein Pasch. (Gegenereignis)

Berechne Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf ein Pasch auftritt, ist $P(\text{Pasch bei einem Wurf}) = \frac{1}{6}.$ Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf kein Pasch auftritt, ist $P(\overline{\text{Pasch bei einem Wurf}}) = \frac{5}{6}.$

Nenne die Anzahl der Würfe $n$ . Die Wahrscheinlichkeit, dass bei $n$ Würfen kein einziger Pasch auftritt ist $P(\overline A, n) = \left( \frac{5}{6}\right)^n$ .

$\displaystyle P(A,n)$	$≥$	$\displaystyle 0{,}99$
	↓	Schreibe die Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis.
$\displaystyle P(\overline{A},n)$	$≤$	$\displaystyle 0{,}01$
	↓	Setze den Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit ein.
$\displaystyle \left( \frac{5}{6}\right)^n$	$≤$	$\displaystyle 0{,}01$
	↓	Wende auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an.
$\displaystyle \ln((\frac 56)^n)$	$≤$	$\displaystyle \ln 0{,}01$
	↓	Verwende Potenzregel.
$\displaystyle n\cdot\ln(\frac56)$	$≤$	$\displaystyle \ln 0{,}01$
	↓	Löse nach $n$ auf. Beachte dabei, dass $ln(\frac56)$ eine negative Zahl ist, und du deswegen das Ungleichheitszeichen umdrehen musst. Genauer erklärt ist dies im Artikel Ungleichungen lösen.
$\displaystyle n$	$≥$	$\displaystyle \frac{\ln 0{,}01}{\ln \left( \frac{5}{6}\right)} = 25.26$

Ergebnis

Man muss mindestens 26 mal würfeln.

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In einer Gruppe von 900 Personen haben sich 600 prophylaktisch gegen Grippe impfen lassen. Nach einer bestimmten Zeit wurde jedes Gruppenmitglied danach befragt, wer an einer Grippe erkrankte. Die Ergebnisse werden in einer 4-Feldtafel dargestellt.

Gruppe	$B\text{(erkrankt)}$	$\overline {B}\text{(gesund)}$	Summe
$A\text{(geimpft)}$	$60$	$540$	$600$
$\overline{A}\text{(ungeimpft)}$	$120$	$180$	$300$
Summe	$180$	$720$	$900$

Das Ereignis A sei "Person ist geimpft" und das Ereignis B: "Person erkrankt".

Berechnen Sie:

$P(A)$ , $P(B)$ , $P(A \cap B)$ , $P_A(B)$ , $P_B(A)$ sowie $P( \overline A$ $\cap B)$ und $P_{\overline{A}}(B)\$ .

Geben Sie die Bedeutung der einzelnen Ergebnisse in Textform an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Man berechnet nun nacheinander die gesuchten Wahrscheinlichkeiten. Einige kannst du auch direkt aus der Vierfeldertafel ablesen.

$P(A)$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine Person geimpft ist. Aus der Angabe kannst du ablesen, dass das 600 der 900 Personen sind (1. Zeile, rechts).

$\displaystyle P(A) = \frac{600} {900} = \frac{2} {3}$

$P(B)$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine Person erkrankt ist. Aus der Vierfeldertafel kannst du ablesen, dass es insgesamt 180 erkrankte Personen sind (1 Spalte, unten).

$\displaystyle P(B) = \frac{180} {900} = \frac{1} {5}$

$P(A \cap B)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Person geimpft und krank ist. Aus der Vierfeldertafel kannst du ablesen, dass dies auf 60 Personen zutrifft (1 Zeile, 1 Spalte).

$\displaystyle P(A \cap B) = \frac{60} {900} = \frac{1} {15}$

$P_A(B)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person an Grippe erkrankt, obwohl sie geimpft ist. Es geht also darum, wie groß der Anteil unter den Geimpften ist, die trotzdem erkrankt sind. Das sind $60$ von $600$ Geimpften

$P_A(B) = \dfrac{60}{600} = \dfrac{1}{10}$

Alternativ kannst du auch die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit benutzen: $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)} {P(A)} = \dfrac{\frac{1} {15} } {\frac{2} {3}} = \frac{1} {10}$

$P_B(A)$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine Person geimpft ist, wenn man weiß dass sie erkrankt ist. Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit erhältst du:

$P_B(A)= \frac{P(A \cap B)} {P(B)}$ $\displaystyle = \frac{\frac{1} {15} } {\frac{1} {5}} = \frac{1} {3}$

$P(\overline A \cap B)$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Person nicht geimpft wurde und krank ist. Du kannst anhand der Vierfeldertafel ablesen (1 Spalte, 2 Zeile), dass es davon 120 Personen gibt.

$\displaystyle P(\overline A \cap B) = \dfrac{120}{900}=\dfrac2{15}$

$P_{\overline{A}} (B)$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine zuvor nicht geimpfte Person krank ist. Von den $300$ nicht geimpften Personen sind $120$ erkrankt. Also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$P_{\overline{A}} (B)$ $\displaystyle =\frac{120}{300}=\frac25$

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In einem Großversuch wurde ein Medikament getestet. Die Ergebnisse sind in einer Tabelle festgehalten. Dabei bedeuten:

$M$ : Medikament genommen
$\overline M$ : Placebo genommen
$G$ : Gesund geworden
$\overline G$ : nicht gesund geworden

	$G$	$\overline G$	Summe
$M$	$6312$	$87$	$6399$
$\overline M$	$312$	$4390$	$4702$
Summe	$6624$	$4477$	$11101$

Stelle die relativen Häufigkeiten in einer Vierfeldertafel dar und stelle die dazugehörigen Baumdiagramme auf.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel

Erstellen der Vierfeldertafel:

	$G$	$\overline G$	Summe
$M$	$\frac{6312}{11101}\\=0{,}5686$	$\frac{87}{11101}\\=0{,}0078$	$\frac{6399}{11101}\\=0{,}5764$
$\overline M$	$\frac{312}{11101}\\=0{,}0281$	$\frac{4390}{11101}\\=0{,}3955$	$\frac{4702}{11101}\\=0{,}4236$
Summe	$\frac{6624}{11101}\\=0{,}5967$	$\frac{4477}{11101}\\=0{,}4033$	$1$

Erstellen des 1. Baumdiagramms:

Die erste Spalte des Baumdiagramms kannst du in der Vierfeldertafel ablesen.

Die Pfadwahrscheinlichkeiten in der zweiten Spalte kannst du mithilfe der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen:

Genauso kannst du jetzt die Wahrscheinlichkeiten für $P(\overline G\vert M);P(\overline M \vert G);P(\overline M \vert\overline G)$ ausrechnen.

\displaystyle P(M\vert \overline G)=\dfrac{P(M\cap \overline G)}{P(M)}\approx\dfrac{0{,}78 \,\%}{57{,}64\,\%}\approx 0{,}0136 \approx 1{,}36\,\%

\displaystyle P(M\vert \overline G)=\dfrac{P(M\cap \overline G)}{P(M)}\approx\dfrac{0{,}78 \,\%}{57{,}64\,\%}\approx 0{,}0136 \approx 1{,}36\,\%

\displaystyle P(M\vert \overline G)=\dfrac{P(M\cap \overline G)}{P(M)}\approx\dfrac{0{,}78 \,\%}{57{,}64\,\%}\approx 0{,}0136 \approx 1{,}36\,\%

Nun kannst du das Baumdiagramm vervollständigen. Dazu musst du nur noch mithilfe der 1. Pfadregel die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten ausrechnen

Erstellen des 2. Baumdiagramms:

Die erste Spalte des Baumdiagramms kannst du in der Vierfelder Tafel ablesen.

Die Pfadwahrscheinlichkeiten in der zweiten Spalte kannst du mithilfe der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen:

Genauso kannst du jetzt die Wahrscheinlichkeiten für $P(\overline M \vert G);P(\overline G \vert M);P(\overline M \vert\overline G)$ ausrechnen.

\displaystyle P(M\vert \overline G)=\dfrac{P(M\cap \overline G)}{P(M)}\approx\dfrac{0{,}78 \,\%}{57{,}64\,\%}\approx 0{,}0136 \approx 1{,}36\,\%

\displaystyle P(M\vert \overline G)=\dfrac{P(M\cap \overline G)}{P(M)}\approx\dfrac{0{,}78 \,\%}{57{,}64\,\%}\approx 0{,}0136 \approx 1{,}36\,\%

\displaystyle P(M\vert \overline G)=\dfrac{P(M\cap \overline G)}{P(M)}\approx\dfrac{0{,}78 \,\%}{57{,}64\,\%}\approx 0{,}0136 \approx 1{,}36\,\%

Nun kannst du das Baumdiagramm vervollständigen. Dazu musst du nur noch mithilfe der 1. Pfadregel die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten ausrechnen

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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Person, von der man weiß, dass sie das Medikament eingenommen hat, zu genesen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Zuerst überlegt man, was für eine Wahrscheinlichkeit gesucht ist.
Man sucht die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person genesen wird, unter der Bedingung, dass sie das Medikament eingenommen hat.
Das ist die Wahscheinlichkeit $P(G\vert M)$ .
Verwende die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit und ließ die Werte aus der Vierfeldertafel ab:
Alternativlösung
Da in Teilaufgabe a) schon das Baumdiagramm gezeichnet wurde, lässt sich aus diesem auch ganz einfach $\displaystyle P(G\vert M)$ ablesen. Du findest den Wert in der zweiten Ebene am obersten Zweig.
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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Person, von der man weiß, dass sie das Placebo eingenommen hat, nicht zu genesen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Zuerst überlegt man sich, welche Wahrscheinlichkeit gesucht ist. Hier sucht man diejenige Wahrscheinlichkeit, mit der eine Person, von der man weiß, dass sie einen Placebo genommen hat, nicht gesund geworden ist.
Das ist $P_{\overline{M}} \overline G$ .
Verwende die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit und ließ dann die Werte aus der Vierfeldertafel ab.
Alternativlösung
In Teilaufgabe a) wurde schon das Baumdiagramm erstellt. Hieraus lässt sich $P_{\overline{M}} \overline G$ ablesen. Man findet den Wert in der zweiten Ebene, der unterste Zweig.
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6
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
An einem Berufskolleg werden alle 674 Schüler/innen befragt, ob sie rauchen oder nicht rauchen. Das Ergebnis der Befragung sieht wie folgt aus: 82 der insgesamt 293 Schüler (männlich) gaben an zu rauchen. 250 Schülerinnen gaben an, nicht zu rauchen.
1. Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer 4-Feldtafel dar. Verwenden Sie die Ereignisse (mit ihren Gegenereignissen):
  A: Die Person ist männlich.
  B: Die Person ist Raucher
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldtafel
  Stelle für die Ereignisse $A$ und $B$ sowie die Gegenereignisse $\overline{A}$ und $\overline B$ eine Vierfeldtafel auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\\hline\mathrm{B} & & & \\\hline\mathrm{\overline B} & & & \\\hline\ & & & \end{array}$
  Trage die Informationen aus der Aufgabenstellung in die Vierfeldtafel ein.
  $A \cap B$ : 82
  $A$ : 293
  $\overline A \cap \overline B$ : 250
  Gesamtanzahl Schüler/innen: 674
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\\hline\mathrm{B} & 82 & & \\\hline\mathrm{\overline B} & & 250 & \\\hline\ & 293 & & 674\end{array}$
  Ergänze die fehlenden Informationen und trage sie in die Vierfeldtafel ein.
  $A \cap \overline B$ : 293 - 82 = 211
  $\overline{A}$ : 674 - 293 = 381
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\\hline\mathrm{B} & 82 & & \\\hline\mathrm{\overline B} & 211 & 250 & \\\hline\ & 293 & 381 & 674\end{array}$
  Ergänze die restlichen fehlenden Informationen und trage sie in die Vierfeldtafel ein.
  $\overline A \cap B$ : 381 - 250 = 131
  $\overline B$ : 211 + 250 = 461
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\\hline\mathrm{B} & 82 & 131 & \\\hline\mathrm{\overline B} & 211 & 250 & 461 \\\hline\ & 293 & 381 & 674\end{array}$
  Ergänze die letzte Spalte $B$ . Prüfe, ob das Gleiche herauskommt, wenn du von der Gesamtanzahl $\overline B$ abziehst und wenn du $B \cap A$ und $B \cap \overline A$ addierst.
  $B$ : 674 - 461 = 213
  $B$ : 82 + 131 = 213
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\\hline\mathrm{B} & 82 & 131 & 213 \\\hline\mathrm{\overline B} & 211 & 250 & 461 \\\hline\ & 293 & 381 & 674\end{array}$
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2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig ausgewählte Person weiblich und Nichtraucherin?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit aus relativer Häufigkeit
  Ereignis definieren
  Die gesuchten Eigenschaften sind die Kombination Ereignisse
  $\overline A$ : Person ist weiblich
  $\overline B$ : Person ist nicht Raucher(in)
  Suche also nach dem Ereignis $\overline A \cap \overline B$ .
  Lese relative Häufigkeit aus Vierfeldtafel ab
  Stelle eine Vierfeldtafel zur Aufgabe auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\\hline\mathrm{B} & 82 & 131 & 213 \\\hline\mathrm{\overline B} & 211 & 250 & 461 \\\hline\ & 293 & 381 & 674\end{array}$
  Lese die Anzahl der Ereignisse $\overline A \cap \overline B$ und die Gesamtanzahl von Ereignissen in der Tabelle ab.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\\hline\mathrm{B} & 82 & 131 & 213 \\\hline\mathrm{\overline B} & 211 & \mathbf{250} & 461 \\\hline\ & 293 & 381 & \mathbf{674}\end{array}$
  Berechne nun die relative Häufigkeit, indem du die Anzahl der Ereignisse $\overline A \cap \overline B$ durch die Gesamtanzahl von Ereignissen teilst.
  Ergebnis
  Die relative Häufigkeit der weiblichen Nichtraucherinnen gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine zufällig ausgewählte Person weiblich und Nichtraucherin ist.
  Sie beträgt 37 %.
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3. Der Schulleiter sieht eine Schülerin im Aufenthaltsraum. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Schülerin Nichtraucherin?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: bedingte Wahrscheinlichkeit
  Es ist bereits bekannt, dass es sich bei der Person um eine Schülerin handelt. Das Ereignis $\overline A$ ist also bereits vorgegeben. Nun bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Person nicht raucht ( $\overline B$ ), wenn bereits bekannt ist, dass die Person weiblich ist ( $\overline A$ ).
  Schreibe die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit $P_{\overline A} (\overline B)$ .
  Stelle die Vierfeldtafel zur Aufgabe auf
  Schreibe die befüllte Vierfeldtafel zur Aufgabenstellung auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\\hline\mathrm{B} & 82 & 131 & 213 \\\hline\mathrm{\overline B} & 211 & 250 & 461 \\\hline\ & 293 & 381 & 674\end{array}$
  Lese die Anzahl der Ereignisse $\overline A \cap \overline B$ , $\overline A$ und die Gesamtanzahl der Ereignisse ab, um die relativen Häufigkeiten zu bestimmen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\\hline\mathrm{B} & 82 & 131 & 213 \\\hline\mathrm{\overline B} & 211 & \mathbf{250} & 461 \\\hline\ & 293 & \mathbf{381} & \mathbf{674}\end{array}$
  Gebe die Wahrscheinlichkeiten $P(\overline A \cap \overline B)$ und $P(\overline A)$ an.
  
  Berechne nun die bedingte Wahrscheinlichkeit
  Ergebnis
  Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der Schülerin um eine Raucherin handelt, ist 66 %.
  Beachte, dass hier etwas anderes gefragt wurde als bei der Frage "Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig ausgewählte Person weiblich und Nichtraucherin?".
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4. Untersuchen Sie, ob das Ereignis "männlich" und das Ereignis "Raucher" voneinander abhängige Ereignisse sind.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Unabhängigkeit von Ereignissen
  Prüfe Unabhängigkeit von Ereignissen
  Zwei Ereignisse $A$ und $B$ heißen stochastisch abhängig, wenn gilt: $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B).$
  Stelle Vierfeldtafel auf
  Erstelle eine Vierfeldtafel für die in der Aufgabenstellung beschriebene Situation.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\\hline\mathrm{B} & 82 & 131 & 213 \\\hline\mathrm{\overline B} & 211 & 250 & 461 \\\hline\ & 293 & 381 & 674\end{array}$
  Lese aus Vierfeldtafel die Anzahl der Ereignisse $A$ , $B$ , $A \cap B$ und die Gesamtanzahl der Ereignisse ab.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\\hline\mathrm{B} & \mathbf{82} & 131 & \mathbf{213} \\\hline\mathrm{\overline B} & 211 & 250 & 461 \\\hline\ & \mathbf{293} & 381 & \mathbf{674}\end{array}$
  Gib die relativen Häufigkeiten und somit die Wahrscheinlichkeiten $P(A)$ , $P(B)$ und $P(A \cap B)$ an.
  Prüfe nun, ob die Ereignisse unabhängig sind.
  $P(A) \cdot P(B) = \frac{293 \cdot 213}{674^2} = \frac{62409}{454276} = 0{,}14$ $\neq 0{,}12 = P(A \cap B)$
  Ergebnis
  Die Ergebnisse "männlich" und "Raucher" sind stochastisch voneinander abhängig.
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7
Bei einer Sportveranstaltung wird ein Dopingtest durchgeführt. Wenn ein Sportler gedopt hat, dann fällt der Test zu 99 $\%$ positiv aus.
Hat ein Sportler aber nicht gedopt, zeigt der Test trotzdem zu 5% ein positives Ergebnis an. Aus Erfahrung weiß man, dass 20 $\%$ der Sportler gedopt sind.
1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine Dopingprobe positiv ausfällt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: bedingte Wahrscheinlichkeit
  Die Ereignisse
  Lege die Ereignisse fest.
  $P:=$ "Positives Testergebnis"
  $D:=$ "Sportler hat gedopt"
  Gegebenen bedingten Wahrscheinlichkeiten
  In der Angabe findest du bedingte Wahrscheinlichkeiten.
  Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, unter der Bedingung, dass ein Sportler gedopt hat, ist $P(P\left|D)=99\%=0{,}99\right.$ .
  Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, unter der Bedingung, dass ein Sportler nicht gedopt hat ist $P(P |\overline D)=5\%=0{,}05$ .
  Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt hat, ist $P(D)=20\%=0{,}20$ .
  Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit
  Gesucht wird die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, also $P(P)$ .
  $P(P)=P(P\vert D)\cdot P(D)+P(P\vert\overline D)\cdot P(\overline D)$
  Rechne mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit die gesuchte Wahrscheinlichkeit aus. Berechne dazu zunächst die noch fehlende Wahrscheinlichkeit $P(\overline D)$ . Dies ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von D, also $P(\overline D)=1-P(D)$ .
  $P(P)=0{,}99\cdot0{,}20+0{,}05\cdot(1-0{,}20)$ $=0{,}198+0{,}04\\=0{,}238\\=23{,}8\%$
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2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ ausfällt, obwohl der Sportler gedopt hat.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: bedingte Wahrscheinlichkeit
  Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein gedopter Sportler ein negatives Testergebins erhält, also P $(\overline P\vert D)$ .
  Verwende einen Satz über die Summe bedingter Wahrscheinlichkeiten.
  $P(\overline P\vert D)=1-P(P\vert D)$
  $P(\overline P\vert D)=1-0{,}99=0{,}01$
  Ergebnis
  Die Wahrscheinlichkeit, dass ein gedopter Sportler ein negatives Testergebins erhält, beträgt 1 %.
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3. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt hat, wenn seine Dopingprobe negativ ausgefallen ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: bedingte Wahrscheinlichkeit
  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt ist, unter der Bedingung, dass der Dopingtest negativ ausgefallen ist, ist $P(D\vert\overline P)$ .
  Der Satz von Bayes besagt:
  $P(D\vert\overline P)=\frac{P(\overline P\vert D)\cdot P(D)}{P(\overline P)}$
  Entnehme zur Berechnung von $P(D\vert\overline P)$ aus den Teilaufgaben a) und b) die schon berechneten Wahrscheinlichkeiten $P(\overline{P}\vert D)$ und $P(D)$ . Berechne noch $P(\overline P)$ über das Gegenereignis.
  $P(\overline P)=1-P(P)=1-0{,}238=0{,}762$
  Setze nun die benötigten Angaben ein.
  $P(D\vert\overline P)=\frac{0{,}01\cdot0{,}20}{0{,}762}=0{,}0026$
  Ergebnis
  Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt ist, unter der Bedingung, dass der Dopingtest negativ ausgefallen ist, beträgt 0,26 %.
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8
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Es soll die Beliebtheit einer Fernsehsendung überprüft werden. Eine Blitzumfrage hatte folgendes Ergebnis:
30% der Zuschauer, die die Sendung gesehen hatten, waren 25 Jahre und jünger. Von diesen hatten 50% und von den übrigen Zuschauern (über 25 Jahre) hatten 80% eine positive Meinung.
1. Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer 4-Feldtafel da. Verwenden Sie die Ereignisse (mit ihren Gegenereignissen):
  A: Der Zuschauer ist 25 Jahre alt und jünger.
  B: Der Zuschauer hat eine positive Meinung über die Sendung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: 4-Feldtafel
  Definiere Ereignisse
  Definiere die Ereignisse, die in der Aufgaben genannt wurden.
  $A$ : Der Zuschauer oder die Zuschauerin ist 25 Jahre alt und jünger.
  $\overline A$ : Der Zuschauer oder die Zuschauerin ist älter als 25 Jahre.
  $B$ : Der Zuschauer oder die Zuschauerin hat eine positive Meinung über die Sendung.
  $B$ : Der Zuschauer oder die Zuschauerin hat eine negative Meinung über die Sendung.
  Berechne relative Häufigkeiten
  Entnehme aus der Aufgabenstellung die bereits angegebenen Wahrscheinlichkeiten.
  Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass ein zufällig gezogener Zuschauer 25 Jahre alt und jünger ist.
  $P(A) = 0.3$
  Verwende das Gegenereignis um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass ein zufällig gezogener Zuschauer älter als 25 Jahre alt ist.
  $P(\overline A) = 1- 0.3 = 0.7$
  Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass ein zufällig gezogener Zuschauer 25 Jahre alt oder jünger ist und eine positive Meinung hat.
  $P(A \cap B) = 0.3 \cdot 0.5 = 0{,}15$
  Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass ein zufällig gezogener Zuschauer 25 Jahre alt oder jünger ist und eine negative Meinung hat.
  $P(A \cap \overline B) = 0.3 \cdot 0.5 = 0{,}15$
  Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass ein zufällig gezogener Zuschauer älter als 25 Jahre alt ist und eine positive Meinung hat.
  $P(\overline A \cap B) = 0.8 \cdot 0.7 = 0{,}56$
  Erstelle eine Vierfelder-Tafel auf
  Stelle eine leere Vierfelder-Tafel auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{A}\quad & \quad \mathrm{\overline A}\quad & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \\\hline\mathrm{\overline B} & & & \\\hline\ & & & 1 \end{array}$
  Trage die zuvor ermittelten Wahrscheinlichkeiten in die Tafel ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{B}\quad & \quad \mathrm{\overline B}\quad & \ \\\hline\mathrm{A} & 0{,}15 & 0{,}15 & \\\hline\mathrm{\overline A} & 0{,}56 & & \\\hline\ & & & 1 \end{array}$
  Fülle weitere Felder der Tafel.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{B}\quad & \quad \mathrm{\overline B}\quad & \ \\\hline\mathrm{A} & 0{,}15 & 0{,}15 & 0{,}3\\\hline\mathrm{\overline A} & 0{,}56 & & \\\hline\ & 0{,}71 & & 1 \end{array}$
  Fülle die nächsten Felder der Tafel.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{B}\quad & \quad \mathrm{\overline B}\quad & \ \\\hline\mathrm{A} & 0{,}15 & 0{,}15 & 0{,}3\\\hline\mathrm{\overline A} & 0{,}56 & & \\\hline\ & 0{,}71 & 0{,}29& 1 \end{array}$
  Fülle die letzten Felder der Tafel.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{B}\quad & \quad \mathrm{\overline B}\quad & \ \\\hline\mathrm{A} & 0{,}15 & 0{,}15 & 0{,}3\\\hline\mathrm{\overline A} & 0{,}56 & 0{,}14 & 0{,}7\\\hline\ & 0{,}71 & 0{,}29& 1 \end{array}$
  Auflistung der Wahrscheinlichkeiten in der Tabelle
  $P\left(A\right)=30\%$ , da 30% der Zuschauer jünger als 25 Jahre sind (siehe Text).
  $P\left(\overline A\right)=1-P\left(A\right)=100\%-30\%=70\%$ , da Gegenereignis .
  $P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=0{,}3\cdot0{,}5=0{,}15=15\%$
  $P\left(A\cap\overline B\right)=P\left(A\right)-P\left(A\cap B\right)=30\%-15\%=15\%$
  $P\left(\overline A\cap B\right)=P\left(\overline A\right)\cdot P\left(B\right)=0{,}8\cdot0{,}7=0{,}56=56\%$
  $P\left(\overline A\cap\overline B\right)=P\left(\overline A\right)-P\left(\overline A\cap B\right)=70\%-56\%=14\%$
  $P\left(A\cap B\right)+P\left(\overline A\cap B\right)=P\left(B\right)=15\%+56\%=71\%$
  $P\left(A\cap\overline B\right)+P\left(\overline A\cap\overline B\right)=P\left(\overline B\right)=15\%+14\%=29\%$
  Ergebnis
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{B}\quad & \quad \mathrm{\overline B}\quad & \ \\\hline\mathrm{A} & 0{,}15 & 0{,}15 & 0{,}3\\\hline\mathrm{\overline A} & 0{,}56 & 0{,}14 & 0{,}7\\\hline\ & 0{,}71 & 0{,}29& 1 \end{array}$
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2. Zeichnen Sie das Baumdiagramm und den inversen Baum.
  Bestimmen Sie alle Pfadwahrscheinlichkeiten.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zeichne das Baumdiagramm
  Zeichne das Baumdiagramm
  Berechne alle Pfadwahrscheinlichkeiten
  Verwende die Vierfeldtafel, um alle Pfadwahrscheinlichkeiten anzugeben oder gegebenenfalls zu berechnen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{B}\quad & \quad \mathrm{\overline B}\quad & \ \\\hline\mathrm{A} & 0{,}15 & 0{,}15 & 0{,}3\\\hline\mathrm{\overline A} & 0{,}56 & 0{,}14 & 0{,}7\\\hline\ & 0{,}71 & 0{,}29& 1 \end{array}$
  Lese alle benötigten Wahrscheinlichkeiten aus der Vierfeldtafel ab.
  $P(A) = 0{,}3$
  $P(\overline A) = 0{,}7$
  $P(B) = 0{,}71$
  $P(\overline B) = 0{,}29$
  $P(A \cap B) = 0{,}15$
  $P(A \cap \overline B) = 0{,}15$
  $P(\overline A \cap B) = 0{,}56$
  $P(\overline A \cap \overline B) = 0{,}14$
  Berechne nun die bedingten Wahrscheinlichkeiten, die du für das Baumdiagramm benötigst.
  $P_A (B) = \frac{P(A \cap B )}{P(A)} = \frac{0{,}15}{0{,}3} = 0{,}5$
  $P_A (\overline B) = \frac{P(A \cap \overline B )}{P(A)} = \frac{0{,}15}{0{,}3} =0{,}5$
  $P_{\overline A} (B) = \frac{P(\overline A \cap B )}{P(\overline A)} = \frac{0{,}56}{0{,}7} = 0{,}8$
  $P_{\overline A} (\overline B) = \frac{P(\overline A \cap \overline B )}{P(\overline A)} = \frac{0{,}14}{0{,}7} = 0{,}2$
  $P_B (A) = \frac{P(A \cap B )}{P(B)} = \frac{0{,}15}{0{,}71} = 0{,}21$
  $P_B (\overline A) = \frac{P(\overline A \cap B )}{P(B)} = \frac{0{,}56}{0{,}71} = 0{,}79$
  $P_{\overline B} (A) = \frac{P(A \cap \overline B )}{P(\overline B)} =\frac{0{,}15}{0{,}29} = 0{,}52$
  $P_{\overline B} (\overline A) = \frac{P(\overline A \cap \overline B )}{P(\overline B)} = \frac{0{,}14}{0{,}29} = 0{,}48$
  Zeichne das Baumdiagramm
  Zeichne nun mit den ermittelten Pfadwahrscheinlichkeiten das Baumdiagramm. Ordne dabei die Ereignisse in der Reihenfolge $A$ und dann $B$ an.
  Zeichne das inverse Baumdiagramm
  Zeichne nun mit den ermittelten Pfadwahrscheinlichkeiten das inverse Baumdiagramm. Ordne dabei die Ereignisse in der Reihenfolge $B$ und dann $A$ an.
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3. Wie viel % der Zuschauer, von denen man weiß, dass sie eine positive Meinung über die Sendung hatten, waren älter als 25 Jahre?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
  Bedingung: positive Meinung
  Ereignis : älter als 25 Jahre
  ${\mathrm P}_\mathrm B\left(\overline{\mathrm A}\right)=\frac{\mathrm P\left(\overline{\mathrm A}\cap\mathrm B\right)}{\mathrm P\left(\mathrm B\right)}$
  Bedingte Wahrscheinlichkeit
  Berechne die
  Schnittmenge der
  beiden Ereignisse .
  $\mathrm P\left(\overline{\mathrm A}\cap\mathrm B\right)\rightarrow\mathrm P(\mathrm{positive}\;\mathrm{Meinung}\;\mathrm{und}\;\mathrm{älter}\;\mathrm{als}\;25\;\mathrm{Jahre})=0{,}7\cdot0{,}8$
  Berechne die Summe der
  günstigen
  Wahrscheinlichkeiten .
  $\mathrm P\left(\mathrm B\right)\rightarrow\mathrm P(\mathrm{postive}\;\mathrm{Meinung})=0{,}3\cdot0{,}5+0{,}7\cdot0{,}8$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}=\mathrm P\left(\mathrm{jünger}\;\mathrm{als}\;25\;\mathrm{Jahre}\;\mathrm{und}\;\mathrm{positive}\;\mathrm{Meinung}\right)\\\;\;\;+\mathrm P\left(\mathrm{älter}\;\mathrm{als}\;25\;\mathrm{Jahre}\;\mathrm{und}\;\mathrm{positive}\;\mathrm{Meinung}\right)\end{array}$
  Setze in die obige Formel ein.
  ${\mathrm P}_{\mathrm{positive}\;\mathrm{Meiniung}}\left(\mathrm{älter}\;\mathrm{als}\;25\;\mathrm{Jahre}\right)=\frac{\mathrm P(\mathrm{positive}\;\mathrm{Meinug}\;\mathrm{und}\;\mathrm{älter}\;\mathrm{als}\;25\;\mathrm{Jahre})}{\mathrm P(\mathrm{positive}\;\mathrm{Meinung})\;}=$
  ${\mathrm P}_{\mathrm{positive}\;\mathrm{Meiniung}}\left(\mathrm{älter}\;\mathrm{als}\;25\;\mathrm{Jahre}\right)=\frac{0{,}7\cdot0{,}8}{0{,}3\cdot0{,}5+0{,}7\cdot0{,}8}=$
  Dividiere .
  ${\mathrm P}_{\mathrm{positive}\;\mathrm{Meiniung}}\left(\mathrm{älter}\;\mathrm{als}\;25\;\mathrm{Jahre}\right)\approx0{,}789$
  Rechne in Prozent um.
  $\approx78{,}9\%$
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4. Wie viel % der Zuschauer, von denen man weiß, dass sie älter als 25 Jahre sind, hatten keine positive Meinung über die Sendung?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: bedingte Wahrscheinlichkeit
  Gegeben sind die Ereignisse
  $A$ : Der Zuschauer ist 25 Jahre alt oder jünger.
  $B$ : Der Zuschauer hat eine positive Meinung über die Sendung.
  Gesucht ist dann die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline A}(\overline B)$ .
  Für die Lösung gibt es zwei verschiedene Möglickkeiten.
  Gegenwahrscheinlichkeit
  Nach Aufgabenstellung haben 80% der über 25-Jährigen eine positive Meinung, d. h.
  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich also als Gegenwahrscheinlichkeit:
  Vierfeldertafel
  Das Ergebnis lässt sich auch aus der Vierfeldertafel ablesen:
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5. Überprüfen Sie durch Rechnung ob das Ereignis B unabhängig von Ereignis A ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Unabhängigkeit von Ereignissen
  Überprüfe durch Rechnung die Unabhängigkeit der Ereignisse. Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind unabhängig, falls gilt $P_B(A) = P(A)$ .
  Lese die Wahrscheinlichkeiten am Baumdiagramm oder an der Vierfeld-Tafel ab.Dabei ist $P_B(A) = 0{,}21$ und $P(A) = 0{,}3$ . Die Wahrscheinlichkeiten sind also ungleich und somit die Ereignisse abhängig voneinander.
  Ergebnis
  Das Ereignis $B$ ist abhängig vom Ereignis $A$ . Das bedeutet, die positive Meinung über die Fernsehsendung ist vom Alter der Zuschauer abhängig.
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
In einem Land der Dritten Welt leiden 1% der Menschen an einer bestimmten Infektionskrankheit. Ein Test zeigt die Krankheit bei den tatsächlich Erkrankten zu 98% korrekt an. Leider zeigt der Test auch 3% der Gesunden als erkrankt an.
1. Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer 4-Feldtafel da. Verwenden Sie die Ereignisse (mit ihren Gegenereignissen):
  K: Die getestete Person ist krank.
  T: Testergebnis ist positiv (Person wurde als krank getestet).
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: 4-Feldtafel
  Definiere Ereignisse
  Definiere die Ereignisse, die in der Aufgaben genannt wurden.
  $K$ : Die Person ist krank
  $\overline K$ : Die Person ist gesund
  $T$ : Der Test fällt bei der Person positiv aus (Nach Aussage des Tests sei Person krank)
  $\overline T$ : Der Test fällt bei der Person negativ aus (Nach Aussage des Tests sei Person gesund)
  Berechne Wahrscheinlichkeiten
  Entnehme der Aufgabenstellung bekannte Wahrscheinlichkeiten.
  Gib die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine zufällig ausgewählte Person erkrankt ist.
  $P(K) = 0{,}01$ $P(\overline K) = 0{,}99$
  Gib die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine Person erkrankt ist und bei ihr der Test positiv ausfällt.
  $P(K \cap T) = 0{,}01 \cdot 0{,}98 = 0{,}0098$
  Gib die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine Person gesund ist und bei ihr der Test trotzdem positiv ausfällt.
  $P(\overline K \cap T) = 0{,}99 \cdot 0{,}03 = 0{,}0297$
  Zeichne eine Vierfeld-Tafel
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{K}\quad & \quad \mathrm{\overline K}\quad & \ \\\hline\mathrm{T} & & & \\\hline\mathrm{\overline T} & & & \\\hline\ & & & 1 \end{array}$
  Trage die eben berechneten Informationen als Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeld-Tafel ein.
  Beachte, dass sich die Wahrscheinlichkeiten insgesamt zu 1 addieren.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{K}\quad & \quad \mathrm{\overline K}\quad & \ \\\hline\mathrm{T} & 0{,}0098 & 0{,}0297 & \\\hline\mathrm{\overline T} & & & \\\hline\ & 0{,}01 & 0{,}99& 1 \end{array}$
  Berechne die fehlenden Informationen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{K}\quad & \quad \mathrm{\overline K}\quad & \ \\\hline\mathrm{T} & 0{,}0098 & 0{,}0297 & 0{,}0395 \\\hline\mathrm{\overline T} & 0{,}0002 & 0{,}9603 & 0{,}9605 \\\hline\ & 0{,}01 & 0{,}99& 1 \end{array}$
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2. Zeichnen Sie das Baumdiagramm und den inversen Baum. Bestimmen Sie alle Pfadwahrscheinlichkeiten.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm
  Zeichne das Baumdiagramm
  Berechne alle Pfadwahrscheinlichkeiten
  Verwende die Vierfeldtafel, um alle Pfadwahrscheinlichkeiten anzugeben oder gegebenenfalls zu berechnen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{K}\quad & \quad \mathrm{\overline K}\quad & \ \\\hline\mathrm{T} & 0{,}0098 & 0{,}0297 & 0{,}0395 \\\hline\mathrm{\overline T} & 0{,}0002 & 0{,}9603 & 0{,}9605 \\\hline\ & 0{,}01 & 0{,}99& 1 \end{array}$

Aufgaben zum Thema bedingte Wahrscheinlichkeit

Ereignisse definieren

Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit angeben

Benötigte Wahrscheinlichkeiten herausfinden

Definiere Ereignisse

Definiere Wahrscheinlichkeiten

Berechne bedingte Wahrscheinlichkeit

Ergebnis

Ergänzung

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Definiere Ereignisse

Definiere Wahrscheinlichkeiten

Berechne bedingte Wahrscheinlichkeit

Ergebnis

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Definiere Ereignisse

Berechne Wahrscheinlichkeiten

Ergebnis

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Erstellen der Vierfeldertafel:

Erstellen des 1. Baumdiagramms:

Erstellen des 2. Baumdiagramms:

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Alternativlösung

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Alternativlösung

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Ergebnis

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Ergebnis

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Ergebnis

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Die Ereignisse

Gegebenen bedingten Wahrscheinlichkeiten

Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit

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Ergebnis

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Ergebnis

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Berechne relative Häufigkeiten

Auflistung der Wahrscheinlichkeiten in der Tabelle

Ergebnis

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Berechne alle Pfadwahrscheinlichkeiten

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Gegenwahrscheinlichkeit

Vierfeldertafel

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Ergebnis

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Berechne Wahrscheinlichkeiten

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Berechne alle Pfadwahrscheinlichkeiten