Aufgaben zum Thema bedingte Wahrscheinlichkeit

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl

Gegeben sind Ereignisse A, B mit $P (A) = 0,72$ , $P (A \cap B) = 0,18$ , $P (A \cup B) = 0,832$ . Wie groß sind dann die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_{B} (A)$ und $P_{A} (B)$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen

Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{B} (A)$

Definition von bedingter Wahrscheinlichkeit

P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

Lies die gegebenen Wahrscheinlichkeiten aus der Aufgabenstellung ab.

$\begin{array}{l} P (A) = 0,72 \\ P (A \cap B) = 0,18 \\ P (A \cup B) = 0,832 \end{array}$

Verwende den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten.

$P (A \cup B)$	$=$	$P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
	↓	Berechne $P (B)$ , indem du den Additionssatz umstellst.
$P (B)$	$=$	$P (A \cup B) - P (A) + P (A \cap B)$
	↓	Setze die Werte ein.
$P (B)$	$=$	$0,832 - 0,72 + 0,18$
$P (B)$	$=$	$0,292$

Berechne $P_{B} (A)$

$P_{B} (A) = \frac{0,18}{0,292} \approx 0,62$

Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{A} (B)$

Verwende das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit und stelle nach $P_{A} (B)$ um.

$P (B)$	$=$	$P (A) \cdot P_{A} (B) + P (A) \cdot P_{A} (B)$	$- P (A) \cdot P_{A} (B)$
$P (B) - P (A) \cdot P_{A} (B)$	$=$	$P (A) \cdot P_{A} (B)$	$: P (A)$
$\frac{P (B) - P (A) \cdot P_{A} (B)}{P (A)}$	$=$	$P_{A} (B)$
	↓	Seiten vertauscht
$P_{A} (B)$	$=$	$\frac{P (B) - P (A) \cdot P_{A} (B)}{P (A)}$

Berechne $P (\overline{A})$ , die Wahrscheinlichkeit zum Gegenereignis von $A$ .

$P (\overline{A}) = 1 - P (A) = 1 - 0,72 = 0,28$

Berechne $P_{A} (B)$ .

$P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} = \frac{0,18}{0,72} = 0,25$

Berechne $P_{A} (B)$ , indem die Werte in die Gleichung eingesetzt werden.

$P_{A} (B) = \frac{0,292 - 0,72 \cdot 0,25}{0,28} = 0,4$

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→ Was bedeutet das?

Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit PB(A)

Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit PA(B)

Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{B} (A)$

Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{A} (B)$