Aufgaben zum Thema bedingte Wahrscheinlichkeit

Gegeben sind Ereignisse A, B mit $P\left(A\right)=0{,}72$ , $P\left(A\cap B\right)=0{,}18$ , $P\left(A\cup B\right)=0{,}832$ . Wie groß sind dann die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_B\left(A\right)$ und $P_{\overline{A}}\left(B\right)$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen

Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$

Definition von bedingter Wahrscheinlichkeit

\displaystyle P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

Lies die gegebenen Wahrscheinlichkeiten aus der Aufgabenstellung ab.

$P(A) = 0{,}72\\P(A\cap B)=0{,}18\\P(A \cup B) = 0{,}832$

Verwende den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten.

$\displaystyle P(A\cup B)$	$=$	$\displaystyle P(A) + P(B) - P(A\cap B)$
	↓	Berechne $P(B)$ , indem du den Additionssatz umstellst.
$\displaystyle P(B)$	$=$	$\displaystyle P(A \cup B) - P(A) + P(A\cap B)$
	↓	Setze die Werte ein.
$\displaystyle P(B)$	$=$	$\displaystyle 0{,}832 - 0{,}72 +0{,}18$
$\displaystyle P(B)$	$=$	$\displaystyle 0{,}292$

Berechne $P_B(A)$

$P_B(A) = \dfrac{0{,}18}{0{,}292}\approx 0{,}62$

Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{A}}(B)$

Verwende das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit und stelle nach $P_{\overline{A}}(B)$ um.

$\displaystyle P(B)$	$=$	$\displaystyle P(A)\cdot P_A(B)\;+\;P(\overline A)\cdot P_{\overline A}(B)$	$\displaystyle -P(A)\cdot P_A(B)$
$\displaystyle P(B)-P(A)\cdot P_A(B)$	$=$	$\displaystyle P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(B)$	$\displaystyle :P(\overline{A})$
$\displaystyle \frac{P(B)-P(A)\cdot P_A(B)}{P(\overline{A})}$	$=$	$\displaystyle P_{\overline{A}}(B)$
	↓	Seiten vertauscht
$\displaystyle P_{\overline{A}}(B)$	$=$	$\displaystyle \frac{P(B)-P(A)\cdot P_A(B)}{P(\overline{A})}$

Berechne $P(\bar A)$ , die Wahrscheinlichkeit zum Gegenereignis von $A$ .

$P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}72 = 0{,}28$

Berechne $P_A(B)$ .

$P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}18}{0{,}72} = 0{,}25$

Berechne $P_{\overline A}(B)$ , indem die Werte in die Gleichung eingesetzt werden.

$P_{\overline A}(B) = \dfrac{0{,}292-0{,}72\cdot 0{,}25}{0{,}28} = 0{,}4$

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Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit PB(A)P_B(A)PB​(A)

Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit PA‾(B)P_{\overline{A}}(B)PA​(B)

Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$

Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{A}}(B)$