Übungsaufgaben 2. SA 11 Stochastik

1
Als Hausaufgabe sollten die Schüler der Klasse 6 b mindestens 100-mal würfeln und die relativen Häufigkeiten, mit denen die einzelnen Augenzahlen aufgetreten sind, mithilfe einer Tabelle oder eines Diagramms darstellen.
Am nächsten Tag vergleichen Manfred, Peter, Klaus und Christian ihre Ergebnisse:
1. Nach einem kurzen Blick in Manfreds Heft sagt Christian: „Du hast wohl in der letzten Mathestunde nicht richtig aufgepasst!“ Wie kommt er dazu?
  Manfred hat in der letzten Mathestunde Quatsch gemacht.
  Manfred hat die relativen Häufigkeiten dargestellt.
  Manfred hat die absoluten Häufigkeiten dargestellt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
  Manfred hat nicht die relativen Häufigkeiten, sondern die absoluten Häufigkeiten angegeben.
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2. Klaus hat genau 200-mal gewürfelt. Wie oft hat er eine „6“ geworfen?
  Mal
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
  Klaus hat in $17 \%$ der Fälle eine $6$ gewürfelt. Du hast also die relative Häufigkeit gegeben, diese musst du jetzt mit der Gesamtanzahl an Würfen multiplizieren, um die absolute Häufigkeit zu erhalten:
  Klaus hat also insgesamt $34$ Mal eine $6$ gewürfelt.
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3. Peter betrachtet kurz die Diagramme und verkündet dann laut: „Christian hat von uns vier den besten Würfel. Bei ihm fällt am häufigsten die Sechs.“ Wie kommt Peter zu dieser Aussage? Glaubst auch du, dass Christian den besten Würfel hat?
  Christian hat wirklich den besten Würfel.
  Peter behauptet das, weil bei Christian die relative Häufigkeit mit $\frac15$ am größten ist.
  Christian hat nicht unbedingt einen besseren Würfel.
  Christian hat am meisten die 6 geworfen, weil er sich am meisten angestrengt hat.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
  Christian hat mit $\dfrac{1}{5}=0{,}2=20\,\%$ den höchsten Anteil von Würfen mit 6 Augen. Bei vielen Würfelspielen wäre er also im Vorteil.
  Ob Christian den besten Würfel hat, kann man aber so nicht sagen:
  Würfeln ist ein Zufallsexperiment, d.h. es ist "normal", dass nicht jeder gleich oft die 6 würfelt
  Die Jungen haben nicht gleich oft gewürfelt, das macht das Vergleichen noch schwieriger
  Es ist nicht in jedem Spiel besser viele 6er zu würfeln.
  Du hast noch weitere Ideen, warum Christian im Vorteil ist oder vielleicht auch nicht? Schreib sie in die Kommentare! :-)
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2
Ein Viertel aller Schüler einer Klasse hat einen Hund, die Hälfte der Schüler hat eine Katze. Kein Schüler hat beide Haustiere. Ermittle den Anteil der Schüler, die keines dieser Haustiere haben.
- $0$ Schüler hat keine Haustiere.
- Die Hälfte $\left(\dfrac12\right)$ der Schüler hat keine Haustiere.
- Ein Viertel $\left(\dfrac14\right)$ der Schüler hat keine Haustiere.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
Lösung durch eine Gleichung
Niemand in der Klasse hat beide Haustiere. Deshalb gibt es nur drei Situationen: Hund, Katze oder kein Haustier.
Die Summe der Anteile muss $100 ~\%$ , also $1$ ergeben.
$x$ bezeichnet den Anteil der Kinder, die keines dieser Haustiere haben.
$x+\underbrace{\dfrac{1}{4}}_{\text{Anteil mit Hund}}+\underbrace{\dfrac{1}{2}}_{\text{Anteil mit Katze}}=1$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle 1-\dfrac{3}{4}$
↓
nach x auflösen
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle \dfrac14=0{,}25=25\,\%$
Darstellung in der Vierfeldertafel
Wenn du die Vierfeldertafel schon kennst, kannst du die Situation auch damit darstellen.
$H$
$\overline{H}$
$K$
0
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
$\overline K$
$\frac{1}{4}$
$\color{red}\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{3}{4}$
1
(H: hat Hund, K: hat Katze)
Beim Ausfüllen der Vierfeldertafel ergibt sich der Wert $\frac{1}{4}$ für den Anteil "Kein Hund und keine Katze", bzw. $\bar{K}\wedge\bar{H}$ .
Beachte, dass kein Schüler beide Haustiere hat.
Du kannst die Aufgabe deshalb auch ohne eine Vierfeldertafel lösen.
3
In einer Schulklasse sind 28 Schüler, darunter 12 Mädchen. Bei einer Umfrage gaben 7 Mädchen und 8 Buben an, Sport sei ihr Lieblingsfach.
Ist das Fach Sport laut der Umfrage bei den Mädchen oder bei den Jungen in der Klasse beliebter?
- Sport ist bei den Jungs beliebter.
- Sport ist bei den Mädchen beliebter.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
Berechne Relative Häufigkeit
Anzahl Mädchen in der Klasse $=12$
Anzahl Jungen in der Klasse $=28-12=16$
Relative Häufigkeit der Mädchen, die am liebsten Sport mögen $=\frac7{12}\approx58\,\%$
Relative Häufigkeit der Jungen, die am liebsten Sport mögen $=\frac8{16}=\frac12=50\,\%$
$\Rightarrow$ Sport ist bei den Mädchen insgesamt beliebter.

	$H$	$\overline{H}$
$K$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\overline K$	$\frac{1}{4}$	$\color{red}\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$
	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$	1

Ein Zufallsexperiment hat die vier Elementarereignisse

$\mathit\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4\}$

Außerdem sind die Wahrscheinlichkeiten von drei Ereignissen $E_1$

bis $E_3$ gegeben.

$E_1:=\{\omega_1,\omega_2\}$ ; $P\left(E_1\right)=0{,}2$

$E_2:=\{\omega_3\}$ ; $P\left(E_2\right)=0{,}5$

$E_3:=\left\{\omega _4\right\}$ ; $P\left(E_3\right)=0{,}5$

Begründe, dass diese Wahrscheinlichkeitsverteilung unzulässig ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss immer $1$ betragen, deswegen ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung hier unzulässig, da sie $1{,}2$ beträgt.
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Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
Ändere $P\left(E_3\right)$ so ab, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung zulässig ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Es muss gelten:
$P\left(E_1\right)+P\left(E_2\right)+P\left(E_3\right)=1$
Löse nach $P(E_3)$ auf.
$1-P\left(E_1\right)-P\left(E_2\right)=P\left(E_3\right)$
Setze die Werte aus der Angabe ein.
$1-0{,}2-0{,}5=0{,}3$
$\Rightarrow\;P\left(E_3\right)=0{,}3$
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Die Summe aller Ergebnisse muss 1 betragen.

Berechne $P\left(\left\{\operatorname{\omega}_1\right\}\right)$ unter der Voraussetzung, dass $\operatorname{\omega}_1$ mit einer doppelt so hohen Wahrscheinlichkeit auftritt wie $\operatorname{\omega}_2$ .

5
Welches der folgenden Zufallsexperimente ist ein Laplace-Experiment?
Begründe deine Entscheidung.
- Werfen einer Münze
- Werfen eines Würfels, der mit den Zahlen $1{,}2,3{,}4,5{,}2$ versehen ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Werfen eines Würfels, der mit den Zahlen $1{,}2,3{,}4,5{,}2$ versehen ist.
Dies ist kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
Es ist zwar
für $\omega \in A = \left\{1{,}3,4{,}5\right\}$
(Kurzschreibweise für: $P(\left\{1\right\})=P(\left\{3\right\})=P(\left\{4\right\})=P(\left\{5\right\})=\frac16$ ),
d.h. man würfelt mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac16$ eine $1{,}3,4 \, \text{oder} \, 5$ ,
aber die Wahrscheinlichkeit eine $2$ zu würfeln, ist $P(\left\{2\right\})=\frac26 \ne \frac16$ .
Die $2$ kommt nämlich zweimal in der Grundmenge $\Omega= \left\{1{,}2,3{,}4,5{,}2\right\}$ vor.
Werfen einer Münze
Dies ist ein Laplace-Experiment.
Denn die Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl zu würfeln, ist jeweils $\frac12$ , so dass alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Solche Münzen werden daher oft als Laplace-Münzen bezeichnet.
Bei einem Laplace-Experiment müssen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein.
6
Welches der folgenden Zufallsexperimente ist kein Laplace-Experiment?
- Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 6 weißen und 4 schwarzen Kugeln
- Ziehen einer Karte aus einem gewöhnlichen Set Spielkarten mit 52 Karten
- Werfen eines Würfels mit den Zahlen $1{,}3,5{,}7,9{,}11$ versehen
- Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit unterschiedlichen 10 Kugeln
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Werfen eines Würfels mit den Zahlen $1{,}3,5{,}7,9{,}11$ versehen.
Dies ist ein Laplace-Experiment, denn $P(\omega)=\frac16$ für alle $\omega \in \Omega$ , wobei $\Omega= \left\{1{,}3,5{,}7,9{,}11\right\}$ . Die Elementarereignisse haben also alle die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
Dies ist ein Laplace-Experiment, da die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen jeder einzelnen Karte $\frac{1}{52}$ beträgt.
Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 10 Kugeln
Dies ist ein Laplace-Experiment.
Hier unterscheidetman wiederum gedanklich die $10$ einzelnen Kugeln, sodass jede Kugel mit einer Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{10}$ gezogen wird.
Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 6 weißen und 4 schwarzen Kugeln
Dies ist kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse nicht alle gleich wahrscheinlich sind.
Die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel aus der Urne zu ziehen, beträgt nämlich $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ und die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel aus der Urne zu ziehen, ist $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ .
Bei einem Laplace-Experiment müssen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein.
7
Gegeben seien folgende Zufallsexperimente:
Zufallsexperiment 1
Drehen des folgenden Glücksrades:
Zufallsexperiment 2
Drehen des folgenden Glücksrades:
Zufallsexperiment 3
Drehen des folgenden Glücksrades:
Wähle alle Zufallsexperimente, die nicht zu einem Laplace-Experiment gehören.
- Zufallsexperiment 3
- Zufallsexperiment 1
- Zufallsexperiment 2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Zufallsexperiment 1
Dies ist ein Laplace-Experiment.
Denn alle Felder sind gleich groß und haben jeweils unterschiedliche Farben.
Somit haben alle Elementarereignisse "Drehe das Feld mit der Farbe $x$ " die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Zufallsexperiment 2
Dies ist ein Laplace-Experiment.
Denn alle Felder sind gleich groß und jede Farbe kommt genau 2 Mal vor.
Somit sind die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse "Drehe das Feld mit der Farbe $x$ " gleich groß.
Zufallsexperiment 3
Dies ist kein Laplace-Experiment.
Zunächst einmal stellt man fest, dass alle Felder gleich groß sind. Aber es gibt hier z.B. 4 rote und 3 grüne Felder, sodass das Ereignis "Man dreht das Feld mit der Farbe rot" und das Ereignis "Man dreht das Feld mit der Farbe grün" nicht gleich wahrscheinlich sein können. Die Wahrscheinlichkeit, ein rotes Feld zu drehen, ist nämlich größer als ein grünes Feld zu drehen.
Ähnliches erhält man, wenn man die Wahrscheinlichkeit vom roten und lila Feld bzw. die Wahrscheinlichkeit vom grünen und lila Feld vergleicht.
Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich.
8
Beschreibe ein Zufallsexperiment, das kein Laplace-Experiment ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Die folgende Lösung ist eine mögliche Lösung. Du hast weitere Ideen? Schreib sie uns doch in die Kommentare!
Ein Glücksrad hat 5 Sektoren (Felder).
Diese sind jedoch unterschiedlich groß. Deshalb ist es zum Beispiel wahrscheinlicher, eine 5 zu drehen als eine 1.
Es handelt sich also nicht um ein Laplace-Experiment.
Damit es sich um ein Zufallsexperiment handelt, muss es die folgenden Bedingungen erfüllen:
Es muss mehr als ein mögliches Ergebnis geben und alle möglichen Ergebnisse müssen bekannt sein (sonst kein Zufallsexperiment)
Es darf nicht klar sein, welches Ergebnis eintreten wird (sonst kein Zufallsexperiment)
Wenn es jetzt zugleich kein Laplace-Experiment sein soll, dürfen die einzelnen Ergebnisse nicht alle gleich wahrscheinlich sein.
9
Gib für folgende Zufallsexperimente jeweils einen Ergebnisraum an und entscheide, ob es sich um ein Laplace-Experiment handelt:
1. Ein aus dem abgebildeten Netz gebastelter „Würfel“ wird geworfen und die oben liegende Farbe wird notiert.
  Das ist ein Laplace-Experiment.
  Das ist kein Laplace-Experiment.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Es gibt drei Elementarereignisse, Grün, Gelb und Orange. Deren Wahrscheinlichkeit ist jeweils die Anzahl der entsprechend gefärbten Würfelseiten durch die Gesamtzahl der Würfelseiten.
  $\mathrm{Grün}\colon\;\,\dfrac28=\dfrac14=25\,\%\\\mathrm{Gelb}\colon\dfrac38=37{,}5\,\%\\\mathrm{Orange}\colon\;\dfrac38=37{,}5\,\%$
  $\Rightarrow$ Kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse unterschiedlich wahrscheinlich sind.
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2. Das abgebildete Glücksrad wird gedreht und die angezeigte Zahl wird betrachtet.
  Das abgebildete Glücksrad wird gedreht und die angezeigte Farbe wird betrachtet.
  1 ist ein Laplace-Experiment.
  1 ist kein Laplace-Experiment.
  2 ist ein Laplace-Experiment.
  2 ist kein Laplace-Experiment.
  
  Laplace-Experiment
  Teilaufgabe 1
  Es gibt acht Elementarereignisse, die Zahlen von 1 bis 8. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses ist gleich die Anzahl der entsprechenden Felder geteilt durch die Gesamtzahl der Felder.
  Da hier jede Zahl einem Feld entspricht, haben sie alle die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{8}$ .
  Insbesondere sind alle gleichwahrscheinlich, es handelt sich also um ein Laplace-Experiment.
  Teilaufgabe 2
  Hier gibt es drei Elementarereignisse, Orange, Grün und Blau. Diese haben jeweils die Wahrscheinlichkeit gleich der Anzahl der entsprechend farbigen Felder geteilt durch die Gesamtzahl der Felder:
  Orange: $\dfrac48=\dfrac12=50\,\%$
  Grün: $\dfrac38=37{,}5\,\%$
  Blau: $\dfrac18=12{,}5\,\%$
  $\Rightarrow$ Kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse nicht gleichwahrscheinlich sind.
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3. Aus einer Tüte mit 13 roten, 9 grünen, 12 gelben und 21 weißen Gummibärchen wird zufällig ein Gummibärchen ausgewählt.
  Das ist ein Laplace-Experiment.
  Das ist kein Laplace-Experiment
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Es gibt vier Elementarereignisse, Rot, Grün, Gelb und Weiß. Diese haben alle die Wahrscheinlichkeit gleich der Anzahl der jeweiligen Gummibärchen geteilt durch die Gesamtzahl der Gummibärchen. Berechne also erst die Gesamtzahl und dann die Wahrscheinlichkeiten:
  $13+9+12+21=55$
  Gesamtmenge ist Summe der verschiedenen Gummibärchen
  Rot: $\dfrac{13}{55}=23{,}6\,\%$
  Grün: $\dfrac9{55}=16{,}4\,\%$
  Gelb: $\dfrac{12}{55}=21{,}8\,\%$
  Weiß: $\dfrac{21}{55}=38{,}2\,\%$
  $\Rightarrow$ Es handelt sich nicht um ein Laplace-Experiment, da die Wahrscheinlichkeiten ungleich sind.
  Bemerkung: Die Rechnung ist nicht unbedingt nötig, schon aus der unterschiedlichen Anzahl der Gummibärchen ergibt sich, dass die Wahrscheinlichkeiten nicht gleich sein können.
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10
Das Zufallsexperiment sei ein Würfelwurf und das Ereignis B="eine ungerade Augenanzahl wird gewürfelt". Gib $P(B)$ an.
- $P(B)=\frac12$
- $P(B)=\frac23$
- $P(B)=\frac13$
- $P(B)=\frac63$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Es ist
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}B=\{1{,}3,5\}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\Rightarrow\;\;\left|B\right|=3\\\Omega=\{1{,}2,3{,}4,5{,}6\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=6\end{array}$
und somit
11
Aus einem Bridge-Spiel (52 Karten) wird eine Karte gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
1. A: ="Die gezogene Karte ist eine Pikkarte"
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Pik", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikkarten}=52:4=13\;$
  Bereche die Wahrscheinlichkeit.
  $P=\frac{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{im}\;\mathrm{Spiel}\;\mathrm{vorhandenen}\;\mathrm{Pikkarten}\;}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;$
  $=\frac{13}{52}=\frac14=0{,}25=25\%$
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2. B: ="Die gezogene Karte ist eine Dame"
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\text{Damen}=4$
  Bereche die Wahrscheinlichkeit.
  $P=\frac{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{im}\;\mathrm{Spiel}\;\mathrm{vorhandenen}\;\text{Damen}\;}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;$
  $=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\approx0{,}0769\approx7{,}7\%$
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3. C: ="Die gezogene Karte ist Pik-Dame"
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Pik-Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikdamen}=1$
  Bereche die Wahrscheinlichkeit.
  $P=\frac{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{im}\;\mathrm{Spiel}\;\mathrm{vorhandenen}\;\mathrm{Pik}\text{damen}\;}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;$
  $=\frac{1}{52}\approx0{,}0192=1{,}92\%$
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4. D: ="Die gezogene Karte ist eine Pikkarte oder eine Dame"
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Pik oder Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikkarten}=52:4=13$
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\text{Damen}=4$
  Eine der vier Damen ist aber gleichzeitig Pik, darf also nicht doppelt gezählt werden.
  $\Rightarrow \text{Kartenzahl}=13+4-1=16$
  Bereche die Wahrscheinlichkeit.
  $P=\frac{\text{Kartenzahl}}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}$
  $=\frac{16}{52}\approx0{,}3077\approx30{,}8\%$
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5. F: ="Die gezogene Karte ist eine Pikkarte, aber keine Dame"
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Pik aber keine Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikkarten}=52:4=13\;$
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikdamen}=1$
  Fasse das zur Anzahl der Karten zusammen.
  $\Rightarrow \text{Kartenzahl}=13-1=12$
  Bereche die Wahrscheinlichkeit.
  $P=\frac{\text{Kartenzahl}}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;$
  $=\frac{12}{52}=\frac3{13}=0{,}2308=23{,}1\%$
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6. G: ="Die gezogene Karte ist eine Dame, aber keine Pikkarte"
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Dame aber nicht Pik", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\text{Damen}=4$
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikdamen}=1$
  Fasse das zur Kartenzahl zusammen.
  $\Rightarrow \text{Kartenzahl}=4-1=3$
  Bereche die Wahrscheinlichkeit.
  $P=\frac{\text{Kartenzahl}}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;$
  $=\frac3{52}=0{,}058=5{,}8\%$
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7. H: ="Die gezogene Karte ist weder Pik noch Dame".
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist weder Pik noch Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikkarten}=52:4=13\;$
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\text{Damen}=4$
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\text{Pikdamen}=1$
  Die Kartenzahl ist die Gesamtzahl abzüglich der Pik- und Damen-Karten. Dabei muss aber noch die Pikdame addiert werden, da diese doppelt abgezogen wird.
  $\Rightarrow \text{Kartenzahl}=52-13-4+1=36$
  Bereche die Wahrscheinlichkeit.
  $P=\frac{\text{Kartenzahl}}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;$
  $=\frac{36}{52}=\frac{9}{13}\approx0{,}692=69{,}2\%$
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12
Eine natürliche Zahl x mit $20<x\le30$ wird willkürlich gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
1. eine Primzahl gezogen wird
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.
  Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen $\Omega$ und A="x ist Primzahl".
  $A=\left\{23{,}29\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|A\right|=2$
  $\Omega=\left\{21{,}22{,}23{,}24{,}25{,}26{,}27{,}28{,}29{,}30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=10$
  Berechne nun die Wahrscheinlichkeit.
  $P\left(A\right)=\frac2{10}=0{,}2=20\%$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% ist die gezogene Zahl eine Primzahl.
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2. eine gerade Zahl gezogen wird
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.
  Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen $\Omega$ und B="x ist gerade".
  $B=\left\{22{,}24{,}26{,}28{,}30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|B\right|=5$
  $\Omega=\left\{21{,}22{,}23{,}24{,}25{,}26{,}27{,}28{,}29{,}30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=10$
  Berechne die Wahrscheinlichkeit.
  $P\left(B\right)=\frac5{10}=0{,}50=50\%$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% ist die gezogene Zahl eine gerade Zahl.
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3. eine durch 4 teilbare Zahl gezogen wird
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.
  Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen $\Omega$ und C="x ist durch 4 teilbar".
  $C=\left\{24{,}28\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|C\right|=2$
  $\Omega=\left\{21{,}22{,}23{,}24{,}25{,}26{,}27{,}28{,}29{,}30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=10$
  Berechne die Wahrscheinlichkeit.
  $P\left(E\right)=\frac2{10}=0{,}2=20\%$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% ist die gezogene Zahl durch 4 teilbar.
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4. eine durch 4 und gleichzeitig durch 6 teilbare Zahl gezogen wird?
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.
  Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen $\Omega$ und D="x ist durch 4 und durch 6 teilbar".
  $D=\left\{24\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|D\right|=1$
  $\Omega=\left\{21{,}22{,}23{,}24{,}25{,}26{,}27{,}28{,}29{,}30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=10$
  Berechne die Wahrscheinlichkeit.
  $P\left(D\right)=\frac1{10}=0{,}1=10\%$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% ist die gezogene Zahl durch 4 und 6 teilbar.
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13
Die Oberfläche eines Würfels wird blau eingefärbt.
Dann wird der Würfel durch 6 parallel zur Würfeloberfläche verlaufende Schnitte in 27 kongruente Teilwürfel zerlegt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein willkürlich herausgegriffener Teilwürfel
1. keine blaue Fläche hat. Gib die Antwort als Dezmalzahl ein.
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  $\left|\mathrm{E}\right|=1$
  $\left|\mathrm{\Omega}\right|=27$
  $\mathrm P\left(\mathrm E\right)=\frac1{27}=3{,}7\%$
  $\Rightarrow$ Zu 3,7% zieht man einen Teil, dass keine blauen Flächen hat.
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2. genau zwei blaue Flächen hat? Gib die Antwort als Dezimalzahl ein
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  $\left|\mathrm E\right|=12$
  $\left|\mathrm\Omega\right|=27$
  $\mathrm P\left(\mathrm E\right)=\frac{12}{27}=44{,}4\%$
  $\Rightarrow$ Man zieht zu 44,4% ein Würfelteil, das zwei eingefärbte Seiten hat.
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14
In einem Hörsaal sitzen 150 Studenten. 110 von ihnen sprechen nur Englisch, 20 nur Spanisch und 15 sprechen beide Sprachen.
1. Wie groß ist die relative Häufigkeit der Studenten, die mindestens eine der beiden Sprachen sprechen?
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
  Bilde die Summe der Studenten, die Englisch und/oder Spanisch sprechen, geteilt durch die Gesamtanzahl der Studenten.
  Relative Häufigkeit:
  $\frac{110+20+15}{150}=\frac{145}{150}\approx\mathbf{96}{\boldsymbol,}\mathbf7\,\boldsymbol\%$
  Also sprechen ungefähr 96,7 % der Studenten mindestens eine der beiden Sprachen.
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2. Wie groß ist die relative Häufigkeit der Studenten, die keine der beiden Sprachen sprechen?
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
  $1-\frac{110+20+15}{150}=1-\frac{145}{150}$
  Schreibe auf einen Bruch und wandle am Ende in Prozent um.
  $1-\frac{145}{150}=\frac{150-145}{150}=\frac{5}{150}=\frac{1}{30}\approx3{,}33\,\%$
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  Bilde die Summe der Studenten, die Englisch und/oder Spanisch sprechen, teile sie durch die Gesamtanzahl der Studenten und ziehe das Ergebnis von 1 ab.
15
30 Würfe mit einem Würfel ergaben folgendes Ergebnis:
Augen
1
2
3
4
5
6
Anzahl
4
6
2
6
5
7
Überprüfe mit diesen Zahlen die 3. Eigenschaft von relativer Häufigkeit
$h_n(A \cup B) = h_n(A) + h_n(B) - h_n(A \cap B)$
durch Rechnen.
Benutze dazu diese Ereignisse:
- $A$ : Die Menge der Würfe mit maximal 3 Augen.
- $B$ : Die Menge der Würfe mit gerader Augenzahl.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
$A=\{1{,}2,3\}, B=\{2{,}4,6\}$
Bestimme die Mengen A und B aus dem Text.
$h_n(A\cup B)=\frac{H(A\cup B)} {30}=\frac{H(\{1{,}2,3{,}4,6\})} {30}=\frac{4+6+2+6+7} {30}=\frac{25} {30}$
Berechen die relative Häufigkeit von $A \cup B$ .
$h_n(A)=\frac{H(A)} {30}=\frac{H(\{1{,}2,3\})} {30}=\frac{4+6+2} {30}=\frac{12} {30}$
Berechen die relative Häufigkeit von A.
$h_n(B)=\frac{H(B)} {30}=\frac{H(\{2{,}4,6\})} {30}=\frac{6+6+7} {30}=\frac{19} {30}$
Berechen die relative Häufigkeit von B.
$h_n(A\cap B)=\frac{H(A\cap B)} {30}=\frac{H(\{2\})} {30}=\frac{6} {30}$
Berechen die relative Häufigkeit von $A \cap B$ .
$h_n(A \cup B) = h_n(A) + h_n(B) - h_n(A \cap B)$ $\Leftrightarrow\frac{25} {30}=\frac{12} {30}+\frac{19} {30}-\frac{6} {30}$ $\Leftrightarrow\frac{25} {30}=\frac{25} {30}$
Setze in die Formel ein.
Gleichheit bestätigt die Formel.
Überprüfen der 3ten Rechenregel vom Artikel "Relative Häufigkeit" anhand eines Beispiels

Augen	1	2	3	4	5	6
Anzahl	4	6	2	6	5	7

Gegeben: $P\left(E_1\right)=0{,}4$ ; $P\left(E_2\right)=0{,}7$ ; $P\left(E_1\cap E_2\right)=0{,}3$

Berechne:

$P\left({\overline E}_1\right)$

$P\left(E_1\cup E_2\right)$

$P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

Lösung mit einer Vierfeldertafel

Trage die gegebenen Infos in die Vierfeldertafel ein und vervollständige diese anschließend:

	$E_1$	$\overline{E_1}$
$E_2$	0,3	0,4	0,7
$\overline{E_2}$	0,1	0,2	0,3
	0,4	0,6	1

Fettgedruckte Zahlen: aus Aufgabenstellung

Die Wahrscheinlichkeit $P(E_1\cap \overline{E_2})$ ist in der 3. Zeile links:

$P(E_1\cap\overline{E_2})=0{,}1$

Lösung mit Mengenalgebra

Verwende

$\left(E_1\cap E_2\right)\cup\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=E_1$

und wende dann die Gesetze der Mengenalgebra an:

$\Rightarrow P\left(E_1\cap E_2\right)+P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=P\left(E_1\right)$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit wird der Einfachheit halber $x$ genannt.

$\displaystyle P\left(E_1\cap\overline{E}_2\right)$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	Wir setzen die gegebenen Werte ein.
$\displaystyle 0{,}3+x$	$=$	$\displaystyle 0{,}4$
	↓	Löse nach x auf.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}1$

$\Rightarrow P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=0{,}1$

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$P\left(E_1\cup{\overline E}_2\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

Lösung mit einer Vierfeldertafel

Trage die gegebenen Infos in die Vierfeldertafel ein und vervollständige diese anschließend:

	$E_1$	$\overline{E_1}$
$E_2$	0,3	0,4	0,7
$\overline{E_2}$	0,1	0,2	0,3
	0,4	0,6	1

Fettgedruckte Zahlen: aus Aufgabenstellung

Die Wahrscheinlichkeit für $P(E_1\cup\overline{E_2})$ ergibt sich entweder mit dem Satz von Sylvester (siehe unten) oder durch Addition der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen im Inneren der Vierfeldertafel (orange):

$\displaystyle P(E_1\cup\overline{E_2})$	$=$	$\displaystyle P(E_1\cap E_2)+P(E_1\cap\overline{E_2})+P(\overline{E_1}\cap\overline{E_2})$
	$=$	$\displaystyle 0{,}3+0{,}1+0{,}2$
	$=$	$\displaystyle 0{,}6$

Mengenoperationen

Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeit $P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)$ .

$P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=x$

Diese Wahrscheinlichkeit wird erneut $x$ genannt.

$P\left(E_1\cap E_2\right) + P\left(E_1\cap \overline{E_2}\right)=P\left(E_1\right)$

Setze die Werte ein und löse nach $x$ auf:

$0{,}3+x=0{,}4$

$x=0{,}1$

Nun kannst du mit der folgenden Formel, die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen:

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

$P\left(E_1\cup{\overline E}_2\right)=P\left(E_1\right)+P\left({\overline E}_2\right)-P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)$

Setze die entsprechenden Werte ein.

$P\left(E_1\cup{\overline E}_2\right)=0{,}4+\left(1-0{,}7\right)-0{,}1=0{,}6$

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$P(\overline{E_2})$

Gegeben ist: $P(A)=\frac15$ ; $P(\overline B)=\frac13$ ; $P\left(A\cap B\right)=\frac16$

Berechne:

$P\left(A\cup B\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

Lösung mithilfe einer Vierfeldertafel

	$A$	$\overline{A}$
$B$	$\color{ff6600}{\frac{1}{6}}$	$\frac 1 2$	$\frac 2 3$
$\overline{B}$	$\frac 1 {30}$	$\frac 3 {10}$	$\color{ff6600}{\frac{1}{3}}$
	$\color{ff6600}{\frac{1}{5}}$	$\frac 4 5$	1

Zahlen in Orange sind aus der Aufgabenstellung bzw. fest in der Vierfeldertafel.

Addiere die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen:

$\displaystyle P\left(A\cup B\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(A\cap B\right)+P\left(A\cap\overline{B}\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{2}+\frac{1}{30}$
	$=$	$\displaystyle \frac{21}{30}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}7$

Lösung mithilfe von Additionssätzen

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)=$

Bilde das Gegenereignis $P(B)$ von $P(\overline B)=\frac13$ .

	$=$	$\displaystyle \frac{1}{5}+\left(1-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{6}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{5}+\frac{2}{3}-\frac{1}{6}$
	↓	Addiere, indem du den Hauptnenner bildest und auf diesen erweiterst (Hauptnenner ist 30).
	$=$	$\displaystyle \frac{6}{30}+\frac{20}{30}-\frac{5}{30}$
	$=$	$\displaystyle \frac{21}{30}$

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$P\left(\overline A\cap\overline B\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

Vierfeldertafel

	$A$	$\overline{A}$
$B$	$\color{ff6600}{\frac{1}{6}}$	$\frac 1 2$	$\frac 2 3$
$\overline{B}$	$\frac 1 {30}$	$\frac 3 {10}$	$\color{ff6600}{\frac{1}{3}}$
	$\color{ff6600}{\frac{1}{5}}$	$\frac 4 5$	1

Zahlen in Orange sind aus der Aufgabenstellung bzw. fest in der Vierfeldertafel.

Die Wahrscheinlichkeiten von Schnittmengen kannst du direkt der Vierfeldertafel entnehmen.

$P(\overline{A}\cap\overline{B})=\frac 3{10}=0{,}3$

Additionssätze

$\displaystyle P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)$	$=$
	↓	Wende das De-Morgan-Gesetz für Vereinigungsmengen an.
	$=$	$\displaystyle P\left(\overline{A\cup B}\right)$
	↓	Bilde das Gegenereignis.
	$=$	$\displaystyle 1-P\left(A\cup B\right)$	$\displaystyle P(A\cup B)=\frac{21}{30}\quad\quad \text{; siehe Teilaufgabe a)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{9}{30}$
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{10}=0{,}3$

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$P\left(\overline A\cup B\right)$

Beim Werfen von zwei Würfeln werden folgende Ereignisse definiert:

$A:={}$ „Die Augensumme ist gerade“

$B:={}$ „Der erste Würfel zeigt eine gerade Augenzahl“

Für die Wahrscheinlichkeiten gilt: $P(A)=P(B)=0{,}5$ ; $P(A\cap B)=0{,}25$ .

Berechne die Wahrscheinlichkeit von:

$E_1:$ „ $A$ und-oder $B$ treten ein“

$E_2:$ „entweder $A$ oder $B$ tritt ein“

Die Glocken-Apotheke bietet ihren erkälteten Kunden Hustensaft (H), Kopfschmerztabletten (K) und Nasenspray (N) an, wobei jeder entsprechende Kunde mindestens eines dieser Produkte erwirbt. Im Folgenden werden nur diese drei Medikamente betrachtet.

Aus Erfahrung weiß der Apotheker, dass unabhängig voneinander 25% der Kunden einen Hustensaft erwerben und jeder fünfte Kunde Kopfschmerztabletten kauft. Kunden kaufen zu 60% auch ein Nasenspray, wenn sie mindestens eines der anderen Medikamente erwerben. Der Einkauf eines beliebig herausgegriffenen Kunden wird als Zufallsexperiment aufgefasst.

Erstellen Sie ein vollständiges Baumdiagramm und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten aller 7 Elementarereignisse. (5 BE)
[Teilergebnis: $P({H\overline{K}N})=0{,}12$ ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pfadregen
Mögliche Lösung für das Baumdiagramm:
Berechnung der Teilwahrscheinlichkeiten
Diese kannst du mithilfe der Pfadregeln berechnen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lll} P(HKN)&=0{,}25\cdot 0{,}2\cdot 0{,}6&=0{,}03\\P(HK\overline{N})&=0{,}25\cdot 0{,}2\cdot 0{,}4&=0{,}02\\P(H\overline{K}N)&=0{,}25\cdot 0{,}8\cdot 0{,}6&=0{,}12\\P(H\overline{K}\overline{N})&=0{,}25\cdot 0{,}8\cdot 0{,}4&=0{,}08\\P(\overline{H}KN)&=0{,}75\cdot 0{,}2\cdot 0{,}6&=0{,}09\\P(\overline{H}K\overline{N})&=0{,}75\cdot 0{,}2\cdot 0{,}4&=0{,}06\\P(\overline{H}\overline{K}N)&=0{,}75\cdot 0{,}8\cdot 1&=0{,}6\end{array}$
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Hinweise über die Reihenfolge des Baumdiagramms bekommst du sowohl im Text als auch aus dem Teilergebnis: Zuerst Hustensaft, dann Kopfschmerztabletten, dann Nasenspray.
Danach musst du den Ästen die richtigen Wahrscheinlichkeiten aus dem Text zuordnen.
Vergiss nicht am Ende die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse mit den Pfadregeln zu berechnen.

Gegeben seien folgende Ereignisse:

$E_1$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde kauft keine Kopfschmerztabletten.“

$E_2$ : „Es wird Nasenspray und mindestens ein weiteres Produkt gekauft.“

$E_3=\overline{\overline{E_1} \cup E_2}$

Geben Sie diese Ereignisse in aufzählender Mengenschreibweise an. Beschreiben Sie $E_3$ möglichst einfach in Worten und berechnen Sie $P(E_3)$ . (5 BE)

$E_1$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde kauft keine Kopfschmerztabletten.“

Du bist also auf der Suche nach allen Ergebnissen, wo ein $\overline{K}$ vorkommt. Das ist bei folgenden Ergebnissen der Fall:

$E_1=\{H\overline{K}N; H\overline{K}\overline{N}; \overline{H}\overline{K}N\}$

$E_2$ : „Es wird Nasenspray und mindestens ein weiteres Produkt gekauft.“

Du bist also auf der Suche nach allen Ergebnissen, wo ein $N$ und $H$ , $K$ oder beides vorkommt. Das ist bei folgenden Ergebnissen der Fall:

$E_2=\{HKN; H\overline{K}N; \overline{H}KN\}$

$E_3=\overline{\overline{E_1} \cup E_2}$

Um es dir einfacher zu machen, kannst du hier die Regel von De Morgan anwenden, um $E_3$ umzuformen:

$E_3=\overline{\overline{E_1} \cup E_2}=E_1\cap \overline{E_2}$

Deswegen sucht du alle Ergebnisse, die gleichzeitig in Ereignis $E_1$ , aber nicht in Ereignis $E_2$ sind (es muss beides gleichzeitig stimmen, weil du die Schnittmenge suchst).

Das ist bei folgenden Ergebnissen der Fall:

$E_3=\{H\overline{K}\overline{N}; \overline{H}\overline{K}N\}$

Möglichst einfache Formulierung

Für eine möglichst einfache Formulierung schaust du dir am besten die beiden Ergebnisse genauer an. Vielleicht fällt dir dabei auf, dass in beiden Fällen zweimal ein "Nicht" vorkommt. Bei beiden Ergebnissen wird also genau ein Medikament eingekauft, beim ersten nur Hustensaft und beim zweiten nur Nasenspray. Eine mögliche Formulierung könnte deshalb lauten:

Es wird entweder nur Hustensaft oder nur Nasenspray gekauft.

Wahrscheinlichkeit von $E_3$

Die Wahrscheinlichkeit von $E_3$ kannst du nach den Pfadregeln berechnen. Unterschiedliche Pfade müssen dabei addiert werden:

$\displaystyle P\left(E_3\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(\left\{H\overline{K}\overline{N}\right\}\right)+P\left(\left\{\overline{H}\overline{K}N\right\}\right)$
	↓	Nun kannst du die Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe 1.1 einsetzen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}08+0{,}6$
	$=$	$\displaystyle 0{,}68$

Die Wahrscheinlichkeit für $E_3$ beträgt $68\%$ .

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20
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Der Apotheker bietet seinen Kunden nur Hustensaft der Marken A und B an. Von 500 Hustensaftkäufern entscheiden sich 400 für den Hustensaft A. Bei 280 der Kunden, die Hustensaft A kaufen, tritt eine Verbesserung der Symptome ein. Von den Käufern der Hustensaftmarke B geben 30 an, dass keine Verbesserung der Symptome auftritt.
1. Stellen Sie für den beschriebenen Sachverhalt eine vollständige Vierfeldertafel auf, überprüfen Sie, ob die Ereignisse
  A: „Ein Kunde kauft Hustensaft der Marke A.“ und
  V: „Es tritt eine Verbesserung der Symptome auf.“
  stochastisch unabhängig sind und interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik. (5 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
  Vierfeldertafel
  Du zeichnest zuerst eine leere Vierfeldertafel mit den beiden Ereignissen, die in der Aufgabenstellung angegeben sind. Anschließend kannst du die schwarzen Werte aus dem Text entnehmen und schließlich die roten Werte über Additionen und Subtraktionen ausrechnen, wie das genau funktioniert, wird im Artikel zu Vierfeldertafeln erklärt.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{V} & 280 & \color{red}{70} & \color{red}{350} \\\hline\mathrm{\overline V}& \color{red}{120} & 30 & \color{red}{150} \\\hline\ & 400 & \color{red}{100} & 500 \end{array}$

$\displaystyle P\left(\left\{\omega_1;\omega_2\right\}\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(\left\{\omega_1\right\}\right)+P\left(\left\{\omega_2\right\}\right)$
	↓	Ersetze $P(\{\omega_1\})=2\cdot P(\{\omega_2\})$ und $P(\{\omega_1;\omega_2\})=0{,}2$
$\displaystyle 0{,}2$	$=$	$\displaystyle 2\cdot P\left(\left\{\omega_2\right\}\right)+P\left(\left\{\omega_2\right\}\right)$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 0{,}2$	$=$	$\displaystyle 3\cdot P\left(\left\{\omega_2\right\}\right)$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle P\left(\left\{\omega_2\right\}\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{15}$

$\displaystyle P\left(\overline{E}_1\right)+P\left(E_1\right)$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle -P\left(E_1\right)$
$\displaystyle P\left(\overline{E}_1\right)$	$=$	$\displaystyle 1-P\left(E_1\right)$
	↓	Für $P\left(E_1\right)$ 0,4 einsetzen.
	$=$	$\displaystyle 1-0{,}4$
	$=$	$\displaystyle 0{,}6$

$\displaystyle P\left(E_1\cup E_2\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(E_1\right)+P(E_2)-P\left(E_1\cap E_2\right)$
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle 0{,}4+0{,}7-0{,}3$
	$=$	$\displaystyle 0{,}8$

$\displaystyle P\left(\overline{E_2}\right)+P\left(E_2\right)$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle -P\left(E_2\right)$
$\displaystyle P\left(\overline{E}_2\right)$	$=$	$\displaystyle 1-P\left(E_2\right)$
	↓	Für $P\left(E_2\right)$ den Wert 0,7 einsetzen.
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle 1-0{,}7$
	$=$	$\displaystyle 0{,}3$

$\displaystyle P\left(E_1\right)$	$=$	$\displaystyle P(A\cup B)$
	↓	Stelle die Wahrscheinlichkeit für $P(A\cup B)$ auf. Verwende den Satz von Sylvester.
$\displaystyle P(A\cup B)$	$=$	$\displaystyle P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5+0{,}5-0{,}25$
	$=$	$\displaystyle 0{,}75$

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1-\dfrac{3}{4}$
	↓	nach x auflösen
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac14=0{,}25=25\,\%$

$\displaystyle P\left(\overline{A}\cup B\right)$	$=$
	↓	Verwende die Formel $P(A \cup B)=P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
	$=$	$\displaystyle P\left(\overline{A}\right)+P\left(B\right)-P\left(\overline{A}\cap B\right)$
	↓	Ziehe vom Ereignis $B$ das Ereignis, dass $B$ eintritt und $A$ nicht eintritt, ab, so erhältst du das Ereignis, dass $B$ und $A$ eintreten.
	$=$	$\displaystyle P\left(\overline{A}\right)+P\left(A\cap B\right)$
	$=$	$\displaystyle 1-P\left(A\right)+P\left(A\cap B\right)$
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$
	↓	Zum Subtrahieren bilde den Hauptnenner und erweitere auf diesen (hier Hauptnenner 30)
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{6}{30}+\frac{5}{30}$
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{1}{30}$
	$=$	$\displaystyle \frac{29}{30}$

$\displaystyle P\left(E_2\right)$	$=$	$\displaystyle P(A\cup B)-P(A\cap B)$
	↓	Wahrscheinlichkeit für $P(A\cup B)$ wurde in Teilaufgabe a) berechnet.
	$=$	$\displaystyle 0{,}75-0{,}25$
	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

Übungsaufgaben 2. SA 11 Stochastik

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Lösung durch eine Gleichung

Darstellung in der Vierfeldertafel

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Werfen eines Würfels, der mit den Zahlen 1,2,3,4,5,21{,}2,3{,}4,5{,}21,2,3,4,5,2 versehen ist.

Werfen einer Münze

Werfen eines Würfels mit den Zahlen 1,3,5,7,9,111{,}3,5{,}7,9{,}111,3,5,7,9,11 versehen.

Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten

Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 10 Kugeln

Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 6 weißen und 4 schwarzen Kugeln

Zufallsexperiment 1

Zufallsexperiment 2

Zufallsexperiment 3

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Laplace-Experiment

Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2

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Lösung mit einer Vierfeldertafel

Lösung mit Mengenalgebra

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Lösung mit einer Vierfeldertafel

Mengenoperationen

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Lösung mithilfe einer Vierfeldertafel

Lösung mithilfe von Additionssätzen

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Vierfeldertafel

Additionssätze

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Berechnung der Teilwahrscheinlichkeiten

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E1E_1E1​: „Ein zufällig ausgewählter Kunde kauft keine Kopfschmerztabletten.“

E2E_2E2​: „Es wird Nasenspray und mindestens ein weiteres Produkt gekauft.“

E3=E1‾∪E2‾E_3=\overline{\overline{E_1} \cup E_2}E3​=E1​​∪E2​​

Möglichst einfache Formulierung

Wahrscheinlichkeit von E3E_3E3​

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Vierfeldertafel

Werfen eines Würfels, der mit den Zahlen $1{,}2,3{,}4,5{,}2$ versehen ist.

Werfen eines Würfels mit den Zahlen $1{,}3,5{,}7,9{,}11$ versehen.

$E_1$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde kauft keine Kopfschmerztabletten.“

$E_2$ : „Es wird Nasenspray und mindestens ein weiteres Produkt gekauft.“

$E_3=\overline{\overline{E_1} \cup E_2}$

Wahrscheinlichkeit von $E_3$