Allgemeine Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit

Gegeben: $P\left(E_1\right)=0{,}4$ ; $P\left(E_2\right)=0{,}7$ ; $P\left(E_1\cap E_2\right)=0{,}3$

Berechne:

$P\left({\overline E}_1\right)$

$P\left(E_1\cup E_2\right)$

$P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

Lösung mit einer Vierfeldertafel

Trage die gegebenen Infos in die Vierfeldertafel ein und vervollständige diese anschließend:

	$E_1$	$\overline{E_1}$
$E_2$	0,3	0,4	0,7
$\overline{E_2}$	0,1	0,2	0,3
	0,4	0,6	1

Fettgedruckte Zahlen: aus Aufgabenstellung

Die Wahrscheinlichkeit $P(E_1\cap \overline{E_2})$ ist in der 3. Zeile links:

$P(E_1\cap\overline{E_2})=0{,}1$

Lösung mit Mengenalgebra

Verwende

$\left(E_1\cap E_2\right)\cup\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=E_1$

und wende dann die Gesetze der Mengenalgebra an:

$\Rightarrow P\left(E_1\cap E_2\right)+P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=P\left(E_1\right)$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit wird der Einfachheit halber $x$ genannt.

$\displaystyle P\left(E_1\cap\overline{E}_2\right)$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	Wir setzen die gegebenen Werte ein.
$\displaystyle 0{,}3+x$	$=$	$\displaystyle 0{,}4$
	↓	Löse nach x auf.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}1$

$\Rightarrow P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=0{,}1$

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$P\left(E_1\cup{\overline E}_2\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

Lösung mit einer Vierfeldertafel

Trage die gegebenen Infos in die Vierfeldertafel ein und vervollständige diese anschließend:

	$E_1$	$\overline{E_1}$
$E_2$	0,3	0,4	0,7
$\overline{E_2}$	0,1	0,2	0,3
	0,4	0,6	1

Fettgedruckte Zahlen: aus Aufgabenstellung

Die Wahrscheinlichkeit für $P(E_1\cup\overline{E_2})$ ergibt sich entweder mit dem Satz von Sylvester (siehe unten) oder durch Addition der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen im Inneren der Vierfeldertafel (orange):

$\displaystyle P(E_1\cup\overline{E_2})$	$=$	$\displaystyle P(E_1\cap E_2)+P(E_1\cap\overline{E_2})+P(\overline{E_1}\cap\overline{E_2})$
	$=$	$\displaystyle 0{,}3+0{,}1+0{,}2$
	$=$	$\displaystyle 0{,}6$

Mengenoperationen

Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeit $P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)$ .

$P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=x$

Diese Wahrscheinlichkeit wird erneut $x$ genannt.

$P\left(E_1\cap E_2\right) + P\left(E_1\cap \overline{E_2}\right)=P\left(E_1\right)$

Setze die Werte ein und löse nach $x$ auf:

$0{,}3+x=0{,}4$

$x=0{,}1$

Nun kannst du mit der folgenden Formel, die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen:

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

$P\left(E_1\cup{\overline E}_2\right)=P\left(E_1\right)+P\left({\overline E}_2\right)-P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)$

Setze die entsprechenden Werte ein.

$P\left(E_1\cup{\overline E}_2\right)=0{,}4+\left(1-0{,}7\right)-0{,}1=0{,}6$

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$P(\overline{E_2})$

$\displaystyle P\left(\overline{E}_1\right)+P\left(E_1\right)$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle -P\left(E_1\right)$
$\displaystyle P\left(\overline{E}_1\right)$	$=$	$\displaystyle 1-P\left(E_1\right)$
	↓	Für $P\left(E_1\right)$ 0,4 einsetzen.
	$=$	$\displaystyle 1-0{,}4$
	$=$	$\displaystyle 0{,}6$

$\displaystyle P\left(E_1\cup E_2\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(E_1\right)+P(E_2)-P\left(E_1\cap E_2\right)$
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle 0{,}4+0{,}7-0{,}3$
	$=$	$\displaystyle 0{,}8$

$\displaystyle P\left(\overline{E_2}\right)+P\left(E_2\right)$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle -P\left(E_2\right)$
$\displaystyle P\left(\overline{E}_2\right)$	$=$	$\displaystyle 1-P\left(E_2\right)$
	↓	Für $P\left(E_2\right)$ den Wert 0,7 einsetzen.
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle 1-0{,}7$
	$=$	$\displaystyle 0{,}3$