Allgemeine Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit

Mit diesen Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit kannst du wichtige Grundlagen wiederholen und dein Wissen vertiefen. Schaffst du sie alle?

Gegeben: $P\left(E_1\right)=0{,}4$ ; $P\left(E_2\right)=0{,}7$ ; $P\left(E_1\cap E_2\right)=0{,}3$

Berechne:

$P\left({\overline E}_1\right)$

$P\left(E_1\cup E_2\right)$

$P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

Lösung mit einer Vierfeldertafel

Trage die gegebenen Infos in die Vierfeldertafel ein und vervollständige diese anschließend:

	$E_1$	$\overline{E_1}$
$E_2$	0,3	0,4	0,7
$\overline{E_2}$	0,1	0,2	0,3
	0,4	0,6	1

Fettgedruckte Zahlen: aus Aufgabenstellung

Die Wahrscheinlichkeit $P(E_1\cap \overline{E_2})$ ist in der 3. Zeile links:

$P(E_1\cap\overline{E_2})=0{,}1$

Lösung mit Mengenalgebra

Verwende

$\left(E_1\cap E_2\right)\cup\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=E_1$

und wende dann die Gesetze der Mengenalgebra an:

$\Rightarrow P\left(E_1\cap E_2\right)+P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=P\left(E_1\right)$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit wird der Einfachheit halber $x$ genannt.

$\displaystyle P\left(E_1\cap\overline{E}_2\right)$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	Wir setzen die gegebenen Werte ein.
$\displaystyle 0{,}3+x$	$=$	$\displaystyle 0{,}4$
	↓	Löse nach x auf.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}1$

$\Rightarrow P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=0{,}1$

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$P\left(E_1\cup{\overline E}_2\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

Lösung mit einer Vierfeldertafel

Trage die gegebenen Infos in die Vierfeldertafel ein und vervollständige diese anschließend:

	$E_1$	$\overline{E_1}$
$E_2$	0,3	0,4	0,7
$\overline{E_2}$	0,1	0,2	0,3
	0,4	0,6	1

Fettgedruckte Zahlen: aus Aufgabenstellung

Die Wahrscheinlichkeit für $P(E_1\cup\overline{E_2})$ ergibt sich entweder mit dem Satz von Sylvester (siehe unten) oder durch Addition der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen im Inneren der Vierfeldertafel (orange):

$\displaystyle P(E_1\cup\overline{E_2})$	$=$	$\displaystyle P(E_1\cap E_2)+P(E_1\cap\overline{E_2})+P(\overline{E_1}\cap\overline{E_2})$
	$=$	$\displaystyle 0{,}3+0{,}1+0{,}2$
	$=$	$\displaystyle 0{,}6$

Mengenoperationen

Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeit $P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)$ .

$P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=x$

Diese Wahrscheinlichkeit wird erneut $x$ genannt.

$P\left(E_1\cap E_2\right) + P\left(E_1\cap \overline{E_2}\right)=P\left(E_1\right)$

Setze die Werte ein und löse nach $x$ auf:

$0{,}3+x=0{,}4$

$x=0{,}1$

Nun kannst du mit der folgenden Formel, die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen:

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

$P\left(E_1\cup{\overline E}_2\right)=P\left(E_1\right)+P\left({\overline E}_2\right)-P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)$

Setze die entsprechenden Werte ein.

$P\left(E_1\cup{\overline E}_2\right)=0{,}4+\left(1-0{,}7\right)-0{,}1=0{,}6$

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$P(\overline{E_2})$

2
Drücke die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E = "\text{entweder} \;A\;\text{oder}\;B"$ durch die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $A$ , $B$ und $A\cap B$ aus.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Das Ereignis $"\text{entweder} \;A\;\text{oder}\;B"$ bedeutet, dass nur das Ereignis $A$ oder nur das Ereignis $B$ eintritt, jedoch nicht beide gleichzeitig.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $"A \;\text{oder}\; B"$ eintritt, ist:
Aber bei diesem Ereignis können auch $A$ und $B$ gleichzeitig auftreten.
Merke
Das Ereignis $"A\;\text{oder}\;B"$ heißt immer: Es tritt $A$ ein oder es tritt $B$ ein oder es treten $A$ und $B$ gleichzeitig ein.
Das heißt, du musst von der Wahrscheinlichkeit $P("A \;\text{oder}\; B")$ noch die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $"A \;\text{und}\; B \;\text{gleichzeitig}"$ abziehen, um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen. Dafür musst du wissen:
Also lautet das Endergebnis:

Gegeben ist: $P(A)=\frac15$ ; $P(\overline B)=\frac13$ ; $P\left(A\cap B\right)=\frac16$

Berechne:

$P\left(A\cup B\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

Lösung mithilfe einer Vierfeldertafel

	$A$	$\overline{A}$
$B$	$\color{ff6600}{\frac{1}{6}}$	$\frac 1 2$	$\frac 2 3$
$\overline{B}$	$\frac 1 {30}$	$\frac 3 {10}$	$\color{ff6600}{\frac{1}{3}}$
	$\color{ff6600}{\frac{1}{5}}$	$\frac 4 5$	1

Zahlen in Orange sind aus der Aufgabenstellung bzw. fest in der Vierfeldertafel.

Addiere die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen:

$\displaystyle P\left(A\cup B\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(A\cap B\right)+P\left(A\cap\overline{B}\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{2}+\frac{1}{30}$
	$=$	$\displaystyle \frac{21}{30}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}7$

Lösung mithilfe von Additionssätzen

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)=$

Bilde das Gegenereignis $P(B)$ von $P(\overline B)=\frac13$ .

	$=$	$\displaystyle \frac{1}{5}+\left(1-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{6}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{5}+\frac{2}{3}-\frac{1}{6}$
	↓	Addiere, indem du den Hauptnenner bildest und auf diesen erweiterst (Hauptnenner ist 30).
	$=$	$\displaystyle \frac{6}{30}+\frac{20}{30}-\frac{5}{30}$
	$=$	$\displaystyle \frac{21}{30}$

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$P\left(\overline A\cap\overline B\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

Vierfeldertafel

	$A$	$\overline{A}$
$B$	$\color{ff6600}{\frac{1}{6}}$	$\frac 1 2$	$\frac 2 3$
$\overline{B}$	$\frac 1 {30}$	$\frac 3 {10}$	$\color{ff6600}{\frac{1}{3}}$
	$\color{ff6600}{\frac{1}{5}}$	$\frac 4 5$	1

Zahlen in Orange sind aus der Aufgabenstellung bzw. fest in der Vierfeldertafel.

Die Wahrscheinlichkeiten von Schnittmengen kannst du direkt der Vierfeldertafel entnehmen.

$P(\overline{A}\cap\overline{B})=\frac 3{10}=0{,}3$

Additionssätze

$\displaystyle P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)$	$=$
	↓	Wende das De-Morgan-Gesetz für Vereinigungsmengen an.
	$=$	$\displaystyle P\left(\overline{A\cup B}\right)$
	↓	Bilde das Gegenereignis.
	$=$	$\displaystyle 1-P\left(A\cup B\right)$	$\displaystyle P(A\cup B)=\frac{21}{30}\quad\quad \text{; siehe Teilaufgabe a)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{9}{30}$
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{10}=0{,}3$

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$P\left(\overline A\cup B\right)$

Beim Werfen von zwei Würfeln werden folgende Ereignisse definiert:

$A:={}$ „Die Augensumme ist gerade“

$B:={}$ „Der erste Würfel zeigt eine gerade Augenzahl“

Für die Wahrscheinlichkeiten gilt: $P(A)=P(B)=0{,}5$ ; $P(A\cap B)=0{,}25$ .

Berechne die Wahrscheinlichkeit von:

$E_1:$ „ $A$ und-oder $B$ treten ein“

$E_2:$ „entweder $A$ oder $B$ tritt ein“

Ein Zufallsexperiment hat die vier Elementarereignisse

$\mathit\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4\}$

Außerdem sind die Wahrscheinlichkeiten von drei Ereignissen $E_1$

bis $E_3$ gegeben.

$E_1:=\{\omega_1,\omega_2\}$ ; $P\left(E_1\right)=0{,}2$

$E_2:=\{\omega_3\}$ ; $P\left(E_2\right)=0{,}5$

$E_3:=\left\{\omega _4\right\}$ ; $P\left(E_3\right)=0{,}5$

Begründe, dass diese Wahrscheinlichkeitsverteilung unzulässig ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss immer $1$ betragen, deswegen ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung hier unzulässig, da sie $1{,}2$ beträgt.
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Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
Ändere $P\left(E_3\right)$ so ab, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung zulässig ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Es muss gelten:
$P\left(E_1\right)+P\left(E_2\right)+P\left(E_3\right)=1$
Löse nach $P(E_3)$ auf.
$1-P\left(E_1\right)-P\left(E_2\right)=P\left(E_3\right)$
Setze die Werte aus der Angabe ein.
$1-0{,}2-0{,}5=0{,}3$
$\Rightarrow\;P\left(E_3\right)=0{,}3$
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Die Summe aller Ergebnisse muss 1 betragen.

Berechne $P\left(\left\{\operatorname{\omega}_1\right\}\right)$ unter der Voraussetzung, dass $\operatorname{\omega}_1$ mit einer doppelt so hohen Wahrscheinlichkeit auftritt wie $\operatorname{\omega}_2$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle P\left(\overline{E}_1\right)+P\left(E_1\right)$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle -P\left(E_1\right)$
$\displaystyle P\left(\overline{E}_1\right)$	$=$	$\displaystyle 1-P\left(E_1\right)$
	↓	Für $P\left(E_1\right)$ 0,4 einsetzen.
	$=$	$\displaystyle 1-0{,}4$
	$=$	$\displaystyle 0{,}6$

$\displaystyle P\left(E_1\cup E_2\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(E_1\right)+P(E_2)-P\left(E_1\cap E_2\right)$
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle 0{,}4+0{,}7-0{,}3$
	$=$	$\displaystyle 0{,}8$

$\displaystyle P\left(\overline{E_2}\right)+P\left(E_2\right)$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle -P\left(E_2\right)$
$\displaystyle P\left(\overline{E}_2\right)$	$=$	$\displaystyle 1-P\left(E_2\right)$
	↓	Für $P\left(E_2\right)$ den Wert 0,7 einsetzen.
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle 1-0{,}7$
	$=$	$\displaystyle 0{,}3$

$\displaystyle P\left(E_1\right)$	$=$	$\displaystyle P(A\cup B)$
	↓	Stelle die Wahrscheinlichkeit für $P(A\cup B)$ auf. Verwende den Satz von Sylvester.
$\displaystyle P(A\cup B)$	$=$	$\displaystyle P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5+0{,}5-0{,}25$
	$=$	$\displaystyle 0{,}75$

$\displaystyle P\left(E_2\right)$	$=$	$\displaystyle P(A\cup B)-P(A\cap B)$
	↓	Wahrscheinlichkeit für $P(A\cup B)$ wurde in Teilaufgabe a) berechnet.
	$=$	$\displaystyle 0{,}75-0{,}25$
	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

$\displaystyle P\left(\overline{A}\cup B\right)$	$=$
	↓	Verwende die Formel $P(A \cup B)=P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
	$=$	$\displaystyle P\left(\overline{A}\right)+P\left(B\right)-P\left(\overline{A}\cap B\right)$
	↓	Ziehe vom Ereignis $B$ das Ereignis, dass $B$ eintritt und $A$ nicht eintritt, ab, so erhältst du das Ereignis, dass $B$ und $A$ eintreten.
	$=$	$\displaystyle P\left(\overline{A}\right)+P\left(A\cap B\right)$
	$=$	$\displaystyle 1-P\left(A\right)+P\left(A\cap B\right)$
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$
	↓	Zum Subtrahieren bilde den Hauptnenner und erweitere auf diesen (hier Hauptnenner 30)
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{6}{30}+\frac{5}{30}$
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{1}{30}$
	$=$	$\displaystyle \frac{29}{30}$

$\displaystyle P\left(\left\{\omega_1;\omega_2\right\}\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(\left\{\omega_1\right\}\right)+P\left(\left\{\omega_2\right\}\right)$
	↓	Ersetze $P(\{\omega_1\})=2\cdot P(\{\omega_2\})$ und $P(\{\omega_1;\omega_2\})=0{,}2$
$\displaystyle 0{,}2$	$=$	$\displaystyle 2\cdot P\left(\left\{\omega_2\right\}\right)+P\left(\left\{\omega_2\right\}\right)$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 0{,}2$	$=$	$\displaystyle 3\cdot P\left(\left\{\omega_2\right\}\right)$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle P\left(\left\{\omega_2\right\}\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{15}$