Allgemeine Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit

Gegeben ist: $P(A)=\frac15$ ; $P(\overline B)=\frac13$ ; $P\left(A\cap B\right)=\frac16$

Berechne:

$P\left(A\cup B\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

Zahlen in Orange sind aus der Aufgabenstellung bzw. fest in der Vierfeldertafel.

Addiere die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen:

$\displaystyle P\left(A\cup B\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(A\cap B\right)+P\left(A\cap\overline{B}\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{2}+\frac{1}{30}$
	$=$	$\displaystyle \frac{21}{30}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}7$

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)=$

Bilde das Gegenereignis $P(B)$ von $P(\overline B)=\frac13$ .

	$=$	$\displaystyle \frac{1}{5}+\left(1-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{6}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{5}+\frac{2}{3}-\frac{1}{6}$
	↓	Addiere, indem du den Hauptnenner bildest und auf diesen erweiterst (Hauptnenner ist 30).
	$=$	$\displaystyle \frac{6}{30}+\frac{20}{30}-\frac{5}{30}$
	$=$	$\displaystyle \frac{21}{30}$

Hast du eine Frage oder Feedback?

$P\left(\overline A\cap\overline B\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

Zahlen in Orange sind aus der Aufgabenstellung bzw. fest in der Vierfeldertafel.

Die Wahrscheinlichkeiten von Schnittmengen kannst du direkt der Vierfeldertafel entnehmen.

$P(\overline{A}\cap\overline{B})=\frac 3{10}=0{,}3$

$\displaystyle P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)$	$=$
	↓	Wende das De-Morgan-Gesetz für Vereinigungsmengen an.
	$=$	$\displaystyle P\left(\overline{A\cup B}\right)$
	↓	Bilde das Gegenereignis.
	$=$	$\displaystyle 1-P\left(A\cup B\right)$	$\displaystyle P(A\cup B)=\frac{21}{30}\quad\quad \text{; siehe Teilaufgabe a)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{9}{30}$
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{10}=0{,}3$

$P\left(\overline A\cup B\right)$

$\displaystyle P\left(\overline{A}\cup B\right)$	$=$
	↓	Verwende die Formel $P(A \cup B)=P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
	$=$	$\displaystyle P\left(\overline{A}\right)+P\left(B\right)-P\left(\overline{A}\cap B\right)$
	↓	Ziehe vom Ereignis $B$ das Ereignis, dass $B$ eintritt und $A$ nicht eintritt, ab, so erhältst du das Ereignis, dass $B$ und $A$ eintreten.
	$=$	$\displaystyle P\left(\overline{A}\right)+P\left(A\cap B\right)$
	$=$	$\displaystyle 1-P\left(A\right)+P\left(A\cap B\right)$
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$
	↓	Zum Subtrahieren bilde den Hauptnenner und erweitere auf diesen (hier Hauptnenner 30)
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{6}{30}+\frac{5}{30}$
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{1}{30}$
	$=$	$\displaystyle \frac{29}{30}$