Allgemeine Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit

Gegeben ist: $P (A) = \frac{1}{5}$ ; $P (B) = \frac{1}{3}$ ; $P (A \cap B) = \frac{1}{6}$

Berechne:

$P (A \cup B)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten
Lösung mithilfe einer Vierfeldertafel
$A$
$A$
$B$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{2}{3}$
$B$
$\frac{1}{30}$
$\frac{3}{10}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{5}$
$\frac{4}{5}$
1
Zahlen in Orange sind aus der Aufgabenstellung bzw. fest in der Vierfeldertafel.
Addiere die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen:
$P (A \cup B)$ $=$ $P (A \cap B) + P (A \cap B) + P (A \cap B)$
$=$ $\frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{30}$
$=$ $\frac{21}{30}$
$=$ $0,7$
Lösung mithilfe von Additionssätzen
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) =$
Bilde das Gegenereignis $P (B)$ von $P (B) = \frac{1}{3}$ .
$=$ $\frac{1}{5} + (1 - \frac{1}{3}) - \frac{1}{6}$
$=$ $\frac{1}{5} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}$
↓
Addiere, indem du den Hauptnenner bildest und auf diesen erweiterst (Hauptnenner ist 30).
$=$ $\frac{6}{30} + \frac{20}{30} - \frac{5}{30}$
$=$ $\frac{21}{30}$
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Löse die Aufgabe entweder mit einer Vierfeldertfafel oder arbeite mit den Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit
$P (A \cap B)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten
Vierfeldertafel
$A$
$A$
$B$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{2}{3}$
$B$
$\frac{1}{30}$
$\frac{3}{10}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{5}$
$\frac{4}{5}$
1
Zahlen in Orange sind aus der Aufgabenstellung bzw. fest in der Vierfeldertafel.
Die Wahrscheinlichkeiten von Schnittmengen kannst du direkt der Vierfeldertafel entnehmen.
$P (A \cap B) = \frac{3}{10} = 0,3$
Additionssätze
$P (A \cap B)$ $=$
↓
Wende das De-Morgan-Gesetz für Vereinigungsmengen an.
$=$ $P (A \cup B)$
↓
Bilde das Gegenereignis.
$=$ $1 - P (A \cup B)$ $P (A \cup B) = \frac{21}{30}; siehe Teilaufgabe a)$
$=$ $\frac{9}{30}$
$=$ $\frac{3}{10} = 0,3$
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Löse die Aufgabe entweder mit einer Vierfeldertfafel oder arbeite mit den Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit

	$A$	$A$
$B$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$
$B$	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{3}$
	$\frac{1}{5}$	$\frac{4}{5}$	1

	$A$	$A$
$B$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$
$B$	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{3}$
	$\frac{1}{5}$	$\frac{4}{5}$	1

$P (A \cup B)$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$P (A \cup B)$	$=$	$P (A \cap B) + P (A \cap B) + P (A \cap B)$
	$=$	$\frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{30}$
	$=$	$\frac{21}{30}$
	$=$	$0,7$

	$=$	$\frac{1}{5} + (1 - \frac{1}{3}) - \frac{1}{6}$
	$=$	$\frac{1}{5} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}$
	↓	Addiere, indem du den Hauptnenner bildest und auf diesen erweiterst (Hauptnenner ist 30).
	$=$	$\frac{6}{30} + \frac{20}{30} - \frac{5}{30}$
	$=$	$\frac{21}{30}$

$P (A \cap B)$	$=$
	↓	Wende das De-Morgan-Gesetz für Vereinigungsmengen an.
	$=$	$P (A \cup B)$
	↓	Bilde das Gegenereignis.
	$=$	$1 - P (A \cup B)$	$P (A \cup B) = \frac{21}{30}; siehe Teilaufgabe a)$
	$=$	$\frac{9}{30}$
	$=$	$\frac{3}{10} = 0,3$

$P (A \cup B)$	$=$
	↓	Verwende die Formel $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .
	$=$	$P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
	↓	Ziehe vom Ereignis $B$ das Ereignis, dass $B$ eintritt und $A$ nicht eintritt, ab, so erhältst du das Ereignis, dass $B$ und $A$ eintreten.
	$=$	$P (A) + P (A \cap B)$
	$=$	$1 - P (A) + P (A \cap B)$
	$=$	$1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{6}$
	↓	Zum Subtrahieren bilde den Hauptnenner und erweitere auf diesen (hier Hauptnenner 30)
	$=$	$1 - \frac{6}{30} + \frac{5}{30}$
	$=$	$1 - \frac{1}{30}$
	$=$	$\frac{29}{30}$

Lösung mithilfe einer Vierfeldertafel

Lösung mithilfe von Additionssätzen

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Vierfeldertafel

Additionssätze

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