$P(A)$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine Person geimpft ist. Aus der Angabe kannst du ablesen, dass das 600 der 900 Personen sind (1. Zeile, rechts).

$${\displaystyle P(A)=\frac{600}{900}=\frac{2}{3}}$$

$P(B)$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine Person erkrankt ist. Aus der Vierfeldertafel kannst du ablesen, dass es insgesamt 180 erkrankte Personen sind (1 Spalte, unten).

$${\displaystyle P(B)=\frac{180}{900}=\frac{1}{5}}$$

$P(A\cap B)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Person geimpft und krank ist. Aus der Vierfeldertafel kannst du ablesen, dass dies auf 60 Personen zutrifft (1 Zeile, 1 Spalte).

$${\displaystyle P(A\cap B)=\frac{60}{900}=\frac{1}{15}}$$

$P_A(B)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person an Grippe erkrankt, obwohl sie geimpft ist. Es geht also darum, wie groß der Anteil unter den Geimpften ist, die trotzdem erkrankt sind. Das sind $60$ von $600$ Geimpften

$P_A(B)={\displaystyle \frac{60}{600}}={\displaystyle \frac{1}{10}}$

Alternativ kannst du auch die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit benutzen: $P_A(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{15}}{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{10}$

$P_B(A)$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine Person geimpft ist, wenn man weiß dass sie erkrankt ist. Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit erhältst du:

$P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$${\displaystyle =\frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{5}}=\frac{1}{3}}$$

$P(\overline{A}\cap B)$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Person nicht geimpft wurde und krank ist. Du kannst anhand der Vierfeldertafel ablesen (1 Spalte, 2 Zeile), dass es davon 120 Personen gibt.

$${\displaystyle P(\overline{A}\cap B)={\displaystyle \frac{120}{900}}={\displaystyle \frac{2}{15}}}$$

$P_{\overline{A}}(B)$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine zuvor nicht geimpfte Person krank ist. Von den $300$ nicht geimpften Personen sind $120$ erkrankt. Also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$P_{\overline{A}}(B)$$${\displaystyle =\frac{120}{300}=\frac{2}{5}}$$