Definiere Ereignisse

Definiere zunächst die Ereignisse, die in der Aufgabenstellung beschrieben werden.

• Ereignis $A$: Es fällt bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch.

• Ereignis $B$: Es fällt bei den vier Würfen mindestens ein Pasch.

Definiere Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf ein Pasch auftritt, ist $P(\text{Pasch bei einem Wurf}) = \frac{1}{6}.$ Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf kein Pasch auftritt, ist $P(\overline{\text{Pasch bei einem Wurf}}) = \frac{5}{6}.$

Definiere dann jeweils die Wahrscheinlichkeit, mit denen eins der zuvor definierten Ereignisse eintritt.

• $P(A)$: Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch fällt.

• $P(B)$: Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen mindestens ein Pasch fällt.

• $P(A \cap B)$: Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch und mindestens ein Pasch fällt.

Dabei ist die Wahrscheinlichkeit $P(A \cap B)$ genau so groß wie die Wahrscheinlichkeit $P(A)$. Wenn genau drei Päsche fallen, dann wurde natürlich mehr als ein Pasch (nämlich drei Päsche) gewürfelt.

• $P_B (A)$ Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch fällt, wenn bekannt ist, dass mindestens ein Pasch gefallen ist.

Berechne bedingte Wahrscheinlichkeit

Dazu musst du die Formel für die Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten kennen.

3 mal Wahrscheinlichkeit für Pasch: $\frac{1}{6}$ 1 mal Wahrscheinlichkeit für kein Pasch: $\frac{5}{6}$ kombinatorischer Faktor: 4

Nutze das Gegenereignis: $P(\overline B)$: Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 4 Würfen kein Pasch fällt.

Ergebnis

Die Wahrschenlichkeit, dass genau drei Päsche fallen, wenn bekannt ist, dass mindestens ein Pasch gefallen ist, beträgt $3{,}0 \%$.

Ergänzung

Weil es einige Nachfragen zu der Lösung gab, wird sie nochmal etwas anders berechnet.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten für keinen, einen, zwei, drei oder vier Päsche. Beachte dabei wie oben die kombinatorischen Faktoren: bei einem oder drei Päschen gibt es je vier Möglichkeiten, an welcher Stelle der Pasch (oder der Wurf ohne Pasch) auftritt. Bei zwei Päschen sind es $\displaystyle{4\choose 2}=6$ Möglichkeiten, die du dir zur Not wie oben noch einmal aufschreiben kannst. Da wir die Zahlen vergleichen wollen, kürzen wir in der folgenden Rechnung nicht.

Kein Pasch: $\displaystyle P_0=\left(\frac{5}{6}\right)^4=\frac{625}{1296}$

Ein Pasch: $\displaystyle P_1=\left(\frac{5}{6}\right)^3\cdot\frac{1}{6}\cdot4=\frac{500}{1296}$

Zwei Päsche: $\displaystyle P_2=\left(\frac{5}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot6=\frac{150}{1296}$

Drei Päsche: $\displaystyle P_3=\left(\frac{5}{6}\right)^1\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^4\cdot4=\frac{20}{1296}$

Vier Päsche: $\displaystyle P_4=\left(\frac{1}{6}\right)^4=\frac{1}{1296}$

Wenn du zur Probe die Wahrscheinlichkeiten addierst, siehst du, dass du $P_0+P_1+P_2+P_3+P_4=1$ erhältst.

Die Wahrscheinlichkeit, genau drei Päsche zu würfeln, ist als $\displaystyle P_3=\frac{20}{1296}=\frac{5}{324}$.

Jetzt ist aber die bedingte Wahrscheinlichkeit gefragt, drei Päsche zu würfeln, wenn schon bekannt ist, dass mindestens ein Pasch fällt. Das bedeutet, dass das Ereignis "kein Pasch" nicht mehr in der Grundmenge vorkommt. Daher ist diese bedingte Wahrscheinlichkeit

$\displaystyle P_B(A)=\frac{P_3}{P_1+P_2+P_3+P_4}=\frac{P_3}{1-P_0}=\frac{\frac{20}{1296}}{\frac{671}{1296}}=\frac{20}{671}\approx 3{,}0\%$.

Das ist genau das, was oben berechnet worden ist.

Definiere Ereignisse

Definiere zunächst die Ereignisse, die in der Aufgabenstellung beschrieben werden.

• Ereignis $A$: Es fällt bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch.

• Ereignis $C$: Die drei Pasch-Würfe fallen hintereinander.

Definiere Wahrscheinlichkeiten

Definiere jeweils die Wahrscheinlichkeit, mit denen eins der zuvor definierten Ereignisse eintritt.

• $P(A)$: Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch fällt.

• $P(C)$: Wahrscheinlichkeit, dass drei Pasch-Würfe bei den vier Würfen hintereinander erfolgen.

• $P_A (C)$ Wahrscheinlichkeit, dass drei Pasch-Würfe hintereinander erfolgen, wenn bekannt ist, dass genau drei mal ein Pasch gefallen ist.

Berechne bedingte Wahrscheinlichkeit

Dazu musst du die Formel für die Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten kennen.

$P_A(C)=\frac{P(A\cap C)}{P(A)}$

$P(A \cap C) = \,?$

Berechne $P(A \cap C)$.

$P(A\cap C)=2\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{648}=0{,}008$

$P(A) = \, ?$

Berechne $P(A)$.

$P(A) = 4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{324} = 0{,}015$

$P_A(C) = \frac{P(A\cap C)}{P(A)} = \,?$

Berechne $P_A(C)$.

$P_A(C)=\frac{P(A\cap C)}{P(A)}=\frac{2\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3\cdot \frac{5}{6}}{4\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3\cdot \frac{5}{6}}=0.5$

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Päsche hintereinander fallen, wenn bekannt ist, dass genau drei Päsche gefallen sind, beträgt 50 %.

Definiere Ereignisse

Definiere zunächst das Ereignis, das in der Aufgabenstellung beschrieben wird.

• Ereignis $(A, n)$: Es fällt bei $n$ Würfen mindestens ein Pasch.

• Ereignis $(\overline A, n)$ : Es fällt bei $n$ Würfen kein Pasch. (Gegenereignis)

Berechne Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf ein Pasch auftritt, ist $P(\text{Pasch bei einem Wurf}) = \frac{1}{6}.$ Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf kein Pasch auftritt, ist $P(\overline{\text{Pasch bei einem Wurf}}) = \frac{5}{6}.$

Nenne die Anzahl der Würfe $n$. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei $n$ Würfen kein einziger Pasch auftritt ist $P(\overline A, n) = \left( \frac{5}{6}\right)^n$.

Ergebnis

Man muss mindestens 26 mal würfeln.