Aufgaben zum Thema bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln einen Pasch (11, 22, . . . , 66) zu erhalten, beträgt bekanntlich $\frac{1}{6}$ .

Es wird 4-mal hintereinander jeweils mit 2 Würfeln gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt genau 3-mal Pasch fällt, wenn bekannt ist, dass mindestens einmal Pasch dabei war?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: bedingte Wahrscheinlichkeit
Definiere Ereignisse
Definiere zunächst die Ereignisse, die in der Aufgabenstellung beschrieben werden.
Ereignis $A$ : Es fällt bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch.
Ereignis $B$ : Es fällt bei den vier Würfen mindestens ein Pasch.
Definiere Wahrscheinlichkeiten
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf ein Pasch auftritt, ist $P (Pasch bei einem Wurf) = \frac{1}{6} .$ Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf kein Pasch auftritt, ist $P (Pasch bei einem Wurf) = \frac{5}{6} .$
Definiere dann jeweils die Wahrscheinlichkeit, mit denen eins der zuvor definierten Ereignisse eintritt.
$P (A)$ : Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch fällt.
$P (B)$ : Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen mindestens ein Pasch fällt.
$P (A \cap B)$ : Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch und mindestens ein Pasch fällt.
Dabei ist die Wahrscheinlichkeit $P (A \cap B)$ genau so groß wie die Wahrscheinlichkeit $P (A)$ . Wenn genau drei Päsche fallen, dann wurde natürlich mehr als ein Pasch (nämlich drei Päsche) gewürfelt.
$P_{B} (A)$ Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch fällt, wenn bekannt ist, dass mindestens ein Pasch gefallen ist.
Berechne bedingte Wahrscheinlichkeit
Dazu musst du die Formel für die Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten kennen.
$P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$
$P (A \cap B) = ?$
Berechne $P (A \cap B)$ .
Fallen genau drei Päsche, so fällt auch mindestens ein Pasch.
$P (A \cap B) = P (A)$
$P (A) = ?$
Berechne $P (A)$ .
3 mal Wahrscheinlichkeit für Pasch: $\frac{1}{6}$ 1 mal Wahrscheinlichkeit für kein Pasch: $\frac{5}{6}$ kombinatorischer Faktor: 4
$P (A) = 4 \cdot {(\frac{1}{6})}^{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{324} = 0,015$
$P (B) = ?$
Berechne $P (B)$ .
Nutze das Gegenereignis: $P (B)$ : Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 4 Würfen kein Pasch fällt.
$P (B) = 1 - P (B)$
4 mal Wahrscheinlichkeit für kein Pasch: $\frac{5}{6}$
$P (B) = {(\frac{5}{6})}^{4}$
$P (B) = 1 - P (B) = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{1296}{1296} - \frac{625}{1296} = \frac{671}{1296} \approx 0,52$
Berechne bedingte Wahrscheinlichkeit
$P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = ?$
$P_{B} (A) = \frac{P (A)}{P (B)} = \frac{\frac{5}{324}}{\frac{671}{1296}} \approx 0,030 = 3,0 %$
Ergebnis
Die Wahrschenlichkeit, dass genau drei Päsche fallen, wenn bekannt ist, dass mindestens ein Pasch gefallen ist, beträgt $3,0 %$ .
Ergänzung
Weil es einige Nachfragen zu der Lösung gab, wird sie nochmal etwas anders berechnet.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für keinen, einen, zwei, drei oder vier Päsche. Beachte dabei wie oben die kombinatorischen Faktoren: bei einem oder drei Päschen gibt es je vier Möglichkeiten, an welcher Stelle der Pasch (oder der Wurf ohne Pasch) auftritt. Bei zwei Päschen sind es $(\binom{4}{2}) = 6$ Möglichkeiten, die du dir zur Not wie oben noch einmal aufschreiben kannst. Da wir die Zahlen vergleichen wollen, kürzen wir in der folgenden Rechnung nicht.
Kein Pasch: $P_{0} = {(\frac{5}{6})}^{4} = \frac{625}{1296}$
Ein Pasch: $P_{1} = {(\frac{5}{6})}^{3} \cdot \frac{1}{6} \cdot 4 = \frac{500}{1296}$
Zwei Päsche: $P_{2} = {(\frac{5}{6})}^{2} \cdot {(\frac{1}{6})}^{2} \cdot 6 = \frac{150}{1296}$
Drei Päsche: $P_{3} = {(\frac{5}{6})}^{1} \cdot {(\frac{1}{6})}^{4} \cdot 4 = \frac{20}{1296}$
Vier Päsche: $P_{4} = {(\frac{1}{6})}^{4} = \frac{1}{1296}$
Wenn du zur Probe die Wahrscheinlichkeiten addierst, siehst du, dass du $P_{0} + P_{1} + P_{2} + P_{3} + P_{4} = 1$ erhältst.
Die Wahrscheinlichkeit, genau drei Päsche zu würfeln, ist als $P_{3} = \frac{20}{1296} = \frac{5}{324}$ .
Jetzt ist aber die bedingte Wahrscheinlichkeit gefragt, drei Päsche zu würfeln, wenn schon bekannt ist, dass mindestens ein Pasch fällt. Das bedeutet, dass das Ereignis "kein Pasch" nicht mehr in der Grundmenge vorkommt. Daher ist diese bedingte Wahrscheinlichkeit
$P_{B} (A) = \frac{P_{3}}{P_{1} + P_{2} + P_{3} + P_{4}} = \frac{P_{3}}{1 - P_{0}} = \frac{\frac{20}{1296}}{\frac{671}{1296}} = \frac{20}{671} \approx 3,0 %$ .
Das ist genau das, was oben berechnet worden ist.
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Angenommen, Pasch fällt bei vier Würfen insgesamt genau 3-mal.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit waren dann diese drei Pasch-Würfe hintereinander?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: bedingte Wahrscheinlichkeit
Definiere Ereignisse
Definiere zunächst die Ereignisse, die in der Aufgabenstellung beschrieben werden.
Ereignis $A$ : Es fällt bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch.
Ereignis $C$ : Die drei Pasch-Würfe fallen hintereinander.
Definiere Wahrscheinlichkeiten
Definiere jeweils die Wahrscheinlichkeit, mit denen eins der zuvor definierten Ereignisse eintritt.
$P (A)$ : Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch fällt.
$P (C)$ : Wahrscheinlichkeit, dass drei Pasch-Würfe bei den vier Würfen hintereinander erfolgen.
$P_{A} (C)$ Wahrscheinlichkeit, dass drei Pasch-Würfe hintereinander erfolgen, wenn bekannt ist, dass genau drei mal ein Pasch gefallen ist.
Berechne bedingte Wahrscheinlichkeit
Dazu musst du die Formel für die Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten kennen.
$P_{A} (C) = \frac{P (A \cap C)}{P (A)}$
$P (A \cap C) = ?$
Berechne $P (A \cap C)$ .
$P (A \cap C) = 2 \cdot {(\frac{1}{6})}^{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{648} = 0,008$
$P (A) = ?$
Berechne $P (A)$ .
$P (A) = 4 \cdot {(\frac{1}{6})}^{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{324} = 0,015$
$P_{A} (C) = \frac{P (A \cap C)}{P (A)} = ?$
Berechne $P_{A} (C)$ .
$P_{A} (C) = \frac{P (A \cap C)}{P (A)} = \frac{2 \cdot {(\frac{1}{6})}^{3} \cdot \frac{5}{6}}{4 \cdot {(\frac{1}{6})}^{3} \cdot \frac{5}{6}} = 0.5$
Ergebnis
Die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Päsche hintereinander fallen, wenn bekannt ist, dass genau drei Päsche gefallen sind, beträgt 50 %.
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Berechnen Sie, wie oft man würfeln müsste, damit die Wahrscheinlichkeit für "mindestens einmal Pasch“ mindestens 99 % beträgt.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl → Was bedeutet das?

$P (A, n)$	$\geq$	$0,99$
	↓	Schreibe die Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis.
$P (A, n)$	$\leq$	$0,01$
	↓	Setze den Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit ein.
${(\frac{5}{6})}^{n}$	$\leq$	$0,01$
	↓	Wende auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an.
$\ln ((\frac{5}{6})^{n})$	$\leq$	$\ln 0,01$
	↓	Verwende Potenzregel.
$n \cdot \ln (\frac{5}{6})$	$\leq$	$\ln 0,01$
	↓	Löse nach $n$ auf. Beachte dabei, dass $l n (\frac{5}{6})$ eine negative Zahl ist, und du deswegen das Ungleichheitszeichen umdrehen musst. Genauer erklärt ist dies im Artikel Ungleichungen lösen.
$n$	$\geq$	$\frac{\ln 0,01}{\ln (\frac{5}{6})} = 25.26$

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