Aufgaben zum Thema bedingte Wahrscheinlichkeit

Es soll die Beliebtheit einer Fernsehsendung überprüft werden. Eine Blitzumfrage hatte folgendes Ergebnis:

30% der Zuschauer, die die Sendung gesehen hatten, waren 25 Jahre und jünger. Von diesen hatten 50% und von den übrigen Zuschauern (über 25 Jahre) hatten 80% eine positive Meinung.

Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer 4-Feldtafel da. Verwenden Sie die Ereignisse (mit ihren Gegenereignissen):
A: Der Zuschauer ist 25 Jahre alt und jünger.
B: Der Zuschauer hat eine positive Meinung über die Sendung.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: 4-Feldtafel
Definiere Ereignisse
Definiere die Ereignisse, die in der Aufgaben genannt wurden.
$A$ : Der Zuschauer oder die Zuschauerin ist 25 Jahre alt und jünger.
$\overline A$ : Der Zuschauer oder die Zuschauerin ist älter als 25 Jahre.
$B$ : Der Zuschauer oder die Zuschauerin hat eine positive Meinung über die Sendung.
$B$ : Der Zuschauer oder die Zuschauerin hat eine negative Meinung über die Sendung.
Berechne relative Häufigkeiten
Entnehme aus der Aufgabenstellung die bereits angegebenen Wahrscheinlichkeiten.
Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass ein zufällig gezogener Zuschauer 25 Jahre alt und jünger ist.
$P(A) = 0.3$
Verwende das Gegenereignis um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass ein zufällig gezogener Zuschauer älter als 25 Jahre alt ist.
$P(\overline A) = 1- 0.3 = 0.7$
Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass ein zufällig gezogener Zuschauer 25 Jahre alt oder jünger ist und eine positive Meinung hat.
$P(A \cap B) = 0.3 \cdot 0.5 = 0{,}15$
Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass ein zufällig gezogener Zuschauer 25 Jahre alt oder jünger ist und eine negative Meinung hat.
$P(A \cap \overline B) = 0.3 \cdot 0.5 = 0{,}15$
Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass ein zufällig gezogener Zuschauer älter als 25 Jahre alt ist und eine positive Meinung hat.
$P(\overline A \cap B) = 0.8 \cdot 0.7 = 0{,}56$
Erstelle eine Vierfelder-Tafel auf
Stelle eine leere Vierfelder-Tafel auf.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{A}\quad & \quad \mathrm{\overline A}\quad & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \\\hline\mathrm{\overline B} & & & \\\hline\ & & & 1 \end{array}$
Trage die zuvor ermittelten Wahrscheinlichkeiten in die Tafel ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{B}\quad & \quad \mathrm{\overline B}\quad & \ \\\hline\mathrm{A} & 0{,}15 & 0{,}15 & \\\hline\mathrm{\overline A} & 0{,}56 & & \\\hline\ & & & 1 \end{array}$
Fülle weitere Felder der Tafel.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{B}\quad & \quad \mathrm{\overline B}\quad & \ \\\hline\mathrm{A} & 0{,}15 & 0{,}15 & 0{,}3\\\hline\mathrm{\overline A} & 0{,}56 & & \\\hline\ & 0{,}71 & & 1 \end{array}$
Fülle die nächsten Felder der Tafel.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{B}\quad & \quad \mathrm{\overline B}\quad & \ \\\hline\mathrm{A} & 0{,}15 & 0{,}15 & 0{,}3\\\hline\mathrm{\overline A} & 0{,}56 & & \\\hline\ & 0{,}71 & 0{,}29& 1 \end{array}$
Fülle die letzten Felder der Tafel.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{B}\quad & \quad \mathrm{\overline B}\quad & \ \\\hline\mathrm{A} & 0{,}15 & 0{,}15 & 0{,}3\\\hline\mathrm{\overline A} & 0{,}56 & 0{,}14 & 0{,}7\\\hline\ & 0{,}71 & 0{,}29& 1 \end{array}$
Auflistung der Wahrscheinlichkeiten in der Tabelle
$P\left(A\right)=30\%$ , da 30% der Zuschauer jünger als 25 Jahre sind (siehe Text).
$P\left(\overline A\right)=1-P\left(A\right)=100\%-30\%=70\%$ , da Gegenereignis .
$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=0{,}3\cdot0{,}5=0{,}15=15\%$
$P\left(A\cap\overline B\right)=P\left(A\right)-P\left(A\cap B\right)=30\%-15\%=15\%$
$P\left(\overline A\cap B\right)=P\left(\overline A\right)\cdot P\left(B\right)=0{,}8\cdot0{,}7=0{,}56=56\%$
$P\left(\overline A\cap\overline B\right)=P\left(\overline A\right)-P\left(\overline A\cap B\right)=70\%-56\%=14\%$
$P\left(A\cap B\right)+P\left(\overline A\cap B\right)=P\left(B\right)=15\%+56\%=71\%$
$P\left(A\cap\overline B\right)+P\left(\overline A\cap\overline B\right)=P\left(\overline B\right)=15\%+14\%=29\%$
Ergebnis
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{B}\quad & \quad \mathrm{\overline B}\quad & \ \\\hline\mathrm{A} & 0{,}15 & 0{,}15 & 0{,}3\\\hline\mathrm{\overline A} & 0{,}56 & 0{,}14 & 0{,}7\\\hline\ & 0{,}71 & 0{,}29& 1 \end{array}$
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Zeichnen Sie das Baumdiagramm und den inversen Baum.
Bestimmen Sie alle Pfadwahrscheinlichkeiten.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zeichne das Baumdiagramm
Zeichne das Baumdiagramm
Berechne alle Pfadwahrscheinlichkeiten
Verwende die Vierfeldtafel, um alle Pfadwahrscheinlichkeiten anzugeben oder gegebenenfalls zu berechnen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ &\quad \mathrm{B}\quad & \quad \mathrm{\overline B}\quad & \ \\\hline\mathrm{A} & 0{,}15 & 0{,}15 & 0{,}3\\\hline\mathrm{\overline A} & 0{,}56 & 0{,}14 & 0{,}7\\\hline\ & 0{,}71 & 0{,}29& 1 \end{array}$
Lese alle benötigten Wahrscheinlichkeiten aus der Vierfeldtafel ab.
$P(A) = 0{,}3$
$P(\overline A) = 0{,}7$
$P(B) = 0{,}71$
$P(\overline B) = 0{,}29$
$P(A \cap B) = 0{,}15$
$P(A \cap \overline B) = 0{,}15$
$P(\overline A \cap B) = 0{,}56$
$P(\overline A \cap \overline B) = 0{,}14$
Berechne nun die bedingten Wahrscheinlichkeiten, die du für das Baumdiagramm benötigst.
$P_A (B) = \frac{P(A \cap B )}{P(A)} = \frac{0{,}15}{0{,}3} = 0{,}5$
$P_A (\overline B) = \frac{P(A \cap \overline B )}{P(A)} = \frac{0{,}15}{0{,}3} =0{,}5$
$P_{\overline A} (B) = \frac{P(\overline A \cap B )}{P(\overline A)} = \frac{0{,}56}{0{,}7} = 0{,}8$
$P_{\overline A} (\overline B) = \frac{P(\overline A \cap \overline B )}{P(\overline A)} = \frac{0{,}14}{0{,}7} = 0{,}2$
$P_B (A) = \frac{P(A \cap B )}{P(B)} = \frac{0{,}15}{0{,}71} = 0{,}21$
$P_B (\overline A) = \frac{P(\overline A \cap B )}{P(B)} = \frac{0{,}56}{0{,}71} = 0{,}79$
$P_{\overline B} (A) = \frac{P(A \cap \overline B )}{P(\overline B)} =\frac{0{,}15}{0{,}29} = 0{,}52$
$P_{\overline B} (\overline A) = \frac{P(\overline A \cap \overline B )}{P(\overline B)} = \frac{0{,}14}{0{,}29} = 0{,}48$
Zeichne das Baumdiagramm
Zeichne nun mit den ermittelten Pfadwahrscheinlichkeiten das Baumdiagramm. Ordne dabei die Ereignisse in der Reihenfolge $A$ und dann $B$ an.
Zeichne das inverse Baumdiagramm
Zeichne nun mit den ermittelten Pfadwahrscheinlichkeiten das inverse Baumdiagramm. Ordne dabei die Ereignisse in der Reihenfolge $B$ und dann $A$ an.
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Wie viel % der Zuschauer, von denen man weiß, dass sie eine positive Meinung über die Sendung hatten, waren älter als 25 Jahre?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Bedingung: positive Meinung
Ereignis : älter als 25 Jahre
${\mathrm P}_\mathrm B\left(\overline{\mathrm A}\right)=\frac{\mathrm P\left(\overline{\mathrm A}\cap\mathrm B\right)}{\mathrm P\left(\mathrm B\right)}$
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Berechne die
Schnittmenge der
beiden Ereignisse .
$\mathrm P\left(\overline{\mathrm A}\cap\mathrm B\right)\rightarrow\mathrm P(\mathrm{positive}\;\mathrm{Meinung}\;\mathrm{und}\;\mathrm{älter}\;\mathrm{als}\;25\;\mathrm{Jahre})=0{,}7\cdot0{,}8$
Berechne die Summe der
günstigen
Wahrscheinlichkeiten .
$\mathrm P\left(\mathrm B\right)\rightarrow\mathrm P(\mathrm{postive}\;\mathrm{Meinung})=0{,}3\cdot0{,}5+0{,}7\cdot0{,}8$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}=\mathrm P\left(\mathrm{jünger}\;\mathrm{als}\;25\;\mathrm{Jahre}\;\mathrm{und}\;\mathrm{positive}\;\mathrm{Meinung}\right)\\\;\;\;+\mathrm P\left(\mathrm{älter}\;\mathrm{als}\;25\;\mathrm{Jahre}\;\mathrm{und}\;\mathrm{positive}\;\mathrm{Meinung}\right)\end{array}$
Setze in die obige Formel ein.
${\mathrm P}_{\mathrm{positive}\;\mathrm{Meiniung}}\left(\mathrm{älter}\;\mathrm{als}\;25\;\mathrm{Jahre}\right)=\frac{\mathrm P(\mathrm{positive}\;\mathrm{Meinug}\;\mathrm{und}\;\mathrm{älter}\;\mathrm{als}\;25\;\mathrm{Jahre})}{\mathrm P(\mathrm{positive}\;\mathrm{Meinung})\;}=$
${\mathrm P}_{\mathrm{positive}\;\mathrm{Meiniung}}\left(\mathrm{älter}\;\mathrm{als}\;25\;\mathrm{Jahre}\right)=\frac{0{,}7\cdot0{,}8}{0{,}3\cdot0{,}5+0{,}7\cdot0{,}8}=$
Dividiere .
${\mathrm P}_{\mathrm{positive}\;\mathrm{Meiniung}}\left(\mathrm{älter}\;\mathrm{als}\;25\;\mathrm{Jahre}\right)\approx0{,}789$
Rechne in Prozent um.
$\approx78{,}9\%$
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Wie viel % der Zuschauer, von denen man weiß, dass sie älter als 25 Jahre sind, hatten keine positive Meinung über die Sendung?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: bedingte Wahrscheinlichkeit
Gegeben sind die Ereignisse
$A$ : Der Zuschauer ist 25 Jahre alt oder jünger.
$B$ : Der Zuschauer hat eine positive Meinung über die Sendung.
Gesucht ist dann die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline A}(\overline B)$ .
Für die Lösung gibt es zwei verschiedene Möglickkeiten.
Gegenwahrscheinlichkeit
Nach Aufgabenstellung haben 80% der über 25-Jährigen eine positive Meinung, d. h.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich also als Gegenwahrscheinlichkeit:
Vierfeldertafel
Das Ergebnis lässt sich auch aus der Vierfeldertafel ablesen:
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Überprüfen Sie durch Rechnung ob das Ereignis B unabhängig von Ereignis A ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Unabhängigkeit von Ereignissen
Überprüfe durch Rechnung die Unabhängigkeit der Ereignisse. Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind unabhängig, falls gilt $P_B(A) = P(A)$ .
Lese die Wahrscheinlichkeiten am Baumdiagramm oder an der Vierfeld-Tafel ab.Dabei ist $P_B(A) = 0{,}21$ und $P(A) = 0{,}3$ . Die Wahrscheinlichkeiten sind also ungleich und somit die Ereignisse abhängig voneinander.
Ergebnis
Das Ereignis $B$ ist abhängig vom Ereignis $A$ . Das bedeutet, die positive Meinung über die Fernsehsendung ist vom Alter der Zuschauer abhängig.
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Definiere Ereignisse

Berechne relative Häufigkeiten

Erstelle eine Vierfelder-Tafel auf

Auflistung der Wahrscheinlichkeiten in der Tabelle

Ergebnis

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Zeichne das Baumdiagramm

Berechne alle Pfadwahrscheinlichkeiten

Zeichne das Baumdiagramm

Zeichne das inverse Baumdiagramm

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Gegenwahrscheinlichkeit

Vierfeldertafel

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Ergebnis

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