Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln einen Pasch (11, 22, . . . , 66) zu erhalten, beträgt bekanntlich %%\frac16%% .

Es wird 4-mal hintereinander jeweils mit 2 Würfeln gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt genau 3-mal Pasch fällt,
wenn bekannt ist, dass mindestens einmal Pasch dabei war? Angenommen, Pasch fällt insgesamt genau 3-mal, mit welcher Wahrscheinlichkeit waren dann diese drei Pasch-Würfe hintereinander?

Teilaufgabe 1

Definiere Ereignisse

Definiere zunächst die Ereignisse, die in der Aufgabenstellung beschrieben werden.

  • Ereignis %%A%%: Es fällt bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch.
  • Ereignis %%B%%: Es fällt bei den vier Würfen mindestens ein Pasch.

Definiere Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf ein Pasch auftritt, ist %%P(\text{Pasch bei einem Wurf}) = \frac{1}{6}.%%
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf kein Pasch auftritt, ist %%P(\overline{\text{Pasch bei einem Wurf}}) = \frac{5}{6}.%%

Definiere dann jeweils die Wahrscheinlichkeit, mit denen eins der zuvor definierten Ereignisse eintritt.

  • %%P(A)%%: Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch fällt.
  • %%P(B)%%: Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen mindestens ein Pasch fällt.
  • %%P(A \cap B)%%: Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch und mindestens ein Pasch fällt.

Dabei ist die Wahrscheinlichkeit %%P(A \cap B)%% genau so groß wie die Wahrscheinlichkeit %%P(A)%%. Wenn genau drei Päsche fallen, dann wurde natürlich mehr als ein Pasch (nämlich drei Päsche) gewürfelt.

  • %%P_B (A)%% Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch fällt, wenn bekannt ist, dass mindestens ein Pasch gefallen ist.

Berechne bedingte Wahrscheinlichkeit

Dazu musst du die Formel für die Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten kennen.

$$P_B(A) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit

%%P(A \cap B) = \, ?%%

Berechne %%P(A \cap B)%%.

%%P(A \cap B) = P(A)%%

Fallen genau drei Päsche, so fällt auch mindestens ein Pasch.

%%P(A) = \, ?%%

Berechne %%P(A)%%.

%%P(A) = 4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{324} = 0,015%%

3 mal Wahrscheinlichkeit für Pasch: %%\frac{1}{6}%%
1 mal Wahrscheinlichkeit für kein Pasch: %%\frac{5}{6}%%
kombinatorischer Faktor: 4

Warum der Faktor 4?

Es wird vier mal gewürfelt. Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten, wie das Ereignis %%P(A)%% zustande kommen kann. Bei jeder dieser Möglichkeiten ist die Position, wann kein Pasch gewürfelt wird, eine andere.

Schreibe die Möglichkeiten auf:

  1. Kein Pasch - Pasch - Pasch - Pasch
  2. Pasch - Kein Pasch - Pasch - Pasch
  3. Pasch - Pasch - Kein Pasch - Pasch
  4. Pasch - Pasch - Pasch - Kein Pasch

Daher ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis %%A%% $$P(A) = 4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \frac{5}{6} .$$

%%P(B) = \, ?%%

Berechne %%P(B)%%.

%%P(B) = 1 - P(\overline {B})%%

Nutze das Gegenereignis:
%%P(\overline B)%%: Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 4 Würfen kein Pasch fällt.

%%P(\overline B) = \left(\frac{5}{6}\right)^4%%

4 mal Wahrscheinlichkeit für kein Pasch: %%\frac{5}{6}%%

%%P(B) = 1 - P(\overline {B}) =1- \frac{625}{1296} =\frac{1296}{1296}- \frac{625}{1296}=\frac{671}{1296}\approx0,52%%

$$P_B(A) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \, ?$$

Berechne bedingte Wahrscheinlichkeit

$$P_B(A) = \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{\frac{5}{324}}{\frac{671}{1296}} \approx 0,030=3,0\%$$

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei Päsche fallen, wenn bekannt ist, dass mindestens ein Pasch gefallen ist, beträgt 3,0 %.

Teilaufgabe 2

Definiere Ereignisse

Definiere zunächst die Ereignisse, die in der Aufgabenstellung beschrieben werden.

  • Ereignis %%A%%: Es fällt bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch.
  • Ereignis %%C%%: Die drei Pasch-Würfe fallen hintereinander.

Definiere Wahrscheinlichkeiten

Definiere jeweils die Wahrscheinlichkeit, mit denen eins der zuvor definierten Ereignisse eintritt.

  • %%P(A)%%: Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch fällt.

  • %%P(C)%%: Wahrscheinlichkeit, dass drei Pasch-Würfe bei den vier Würfen hintereinander erfolgen.

  • %%P_A (C)%% Wahrscheinlichkeit, dass drei Pasch-Würfe hintereinander erfolgen, wenn bekannt ist, dass genau drei mal ein Pasch gefallen ist.

Berechne bedingte Wahrscheinlichkeit

Dazu musst du die Formel für die Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten kennen.

$$P_A(C) = \frac{P(A\cap C)}{P(A)}$$

Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit

%%P(A \cap C) = \,?%%

Berechne %%P(A \cap C)%%.

%%P(A \cap C) = 2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{648} = 0,008%%

Wie kommt man auf das Ergebnis?

Die Wahrscheinlichkeit für genau drei Päsche ist $$P(A) = 4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \frac{5}{6} .$$

Schreibe die Möglichkeiten auf, wie bei vier Würfen genau drei Päsche zustande kommen können.:

  1. Kein Pasch - Pasch - Pasch - Pasch
  2. Pasch - Kein Pasch - Pasch - Pasch
  3. Pasch - Pasch - Kein Pasch - Pasch
  4. Pasch - Pasch - Pasch - Kein Pasch

Die Bedingung, dass nicht nur genau drei Päsche auftreten müssen sondern zusätzlich diese hintereinander auftreten sollen, verkleinert die Menge von Möglichkeiten.

Nur die 1. und 4. Möglichkeit führen zum Ereignis %%A \cap C%%.

  1. Kein Pasch - Pasch - Pasch - Pasch
  2. Pasch - Pasch - Pasch - Kein Pasch

Somit ersetzt sich der Faktor 4 durch den Faktor 2 und die Wahrscheinlichkeit für %%A \cap C%% ist $$P(A \cap C) = 2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \frac{5}{6} .$$

%%P(A) = \, ?%%

Berechne %%P(A)%%.

%%P(A) = 4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{324} = 0,015%%

$$P_A(C) = \frac{P(A\cap C)}{P(A)} = \,?$$

Berechne %%P_A(C)%%.

$$P_A(C) = \frac{P(A\cap C)}{P(A)} = \frac{2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \frac{5}{6}}{4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \frac{5}{6}} = 0.5$$

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Päsche hintereinander fallen, wenn bekannt ist, dass genau drei Päsche gefallen sind, beträgt 50 %.

Berechnen Sie, wie oft man würfeln müsste, damit die Wahrscheinlichkeit für "mindestens einmal Pasch“ mindestens 99 % beträgt.

Berechne Wahrscheinlichkeit

Definiere Ereignisse

Definiere zunächst das Ereignis, das in der Aufgabenstellung beschrieben wird.

  • Ereignis %%(A, n)%%: Es fällt bei %%n%% Würfen mindestens ein Pasch.
  • Ereignis %%(\overline A, n)%% : Es fällt bei %%n%% Würfen kein Pasch. (Gegenereignis)

Berechne Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf ein Pasch auftritt, ist %%P(\text{Pasch bei einem Wurf}) = \frac{1}{6}.%%
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf kein Pasch auftritt, ist %%P(\overline{\text{Pasch bei einem Wurf}}) = \frac{5}{6}.%%

Nenne die Anzahl der Würfe %%n%%. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei %%n%% Würfen kein einziger Pasch auftritt ist %%P(\overline A, n) = \left( \frac{5}{6}\right)^n%%.

%%P(A, n) \stackrel{!}{\geq} 0,99%%

Schreibe die Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis.

%%P(\overline A, n) \stackrel{!}{<} 0,01%%

Setze den Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit ein.

%%\left( \frac{5}{6}\right)^n \stackrel{!}{<} 0,01%%

Wende auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an.

%%\ln \left( \left( \frac{5}{6}\right)^n\right) \stackrel{!}{<} \ln0,01%%

Verwende Potenzregel.

%%n \cdot \ln \left( \frac{5}{6}\right) \stackrel{!}{<} \ln 0,01%%

Löse nach %%n%% auf. Beachte dabei, dass %%ln(\frac56)%% eine negative Zahl ist, und du deswegen das Ungleichheitszeichen umdrehen musst. Genauer erklärt ist dies im Artikel Ungleichungen lösen.

%%n \stackrel{!}{>} \frac{\ln 0,01}{\ln \left( \frac{5}{6}\right)} = 25.26%%

Ergebnis

Man muss mindestens 26 mal würfeln.