Aufgaben

Gegeben sei eine allgemeine quadratische Funktion %%f(x) = ax^2 + bx + c%%. Die Punkte %%\mathrm{R}(1|2)%%, %%\mathrm{Q}(-1|3)%% und %%\mathrm{S}(0|1)%% liegen auf dem Graphen der Funktion %%f%%.

Du möchtest nun mithilfe dieser Informationen auf die Parameter %%a%%, %%b%% und %%c%% schließen.

Stelle ein lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten aa, bb und cc auf.
Tipp: Setze die gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein.

Lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten

Der Funktionsgraph hat die Gleichung y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c.
Wenn ein Punkt auf einem Funktionsgraph liegt, bedeutet das, dass die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.
Aus den gegebenen drei Punkten, kannst du drei Gleichungen aufstellen, die alle erfüllt sein müssen.

Punkt R\mathrm{R} einsetzen

y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c
Setze den Punkt R(12)\mathrm{R}(1|2) in die Gleichung ein.
2=a12+b1+c2 = a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + c
Du erhältst deine erste Gleichung.
I2=a+b+c\mathrm{I}\quad 2 = a + b + c

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Punkt Q\mathrm{Q} einsetzen

y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c
Setze den Punkt Q(13)\mathrm{Q}(-1|3) in die Gleichung ein.
3=a(1)2+b(1)+c3 = a\cdot (-1)^2 + b\cdot (-1) + c
Du erhältst deine zweite Gleichung.
II3=ab+c\mathrm{II}\quad 3 = a - b + c

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Punkt S\mathrm{S} einsetzen

y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c
Setze den Punkt S(01)\mathrm{S}(0|1) in die Gleichung ein.
1=a(0)2+b0+c1 = a\cdot (0)^2 + b\cdot 0 + c
Du erhältst deine dritte Gleichung.
III1=c\mathrm{III}\quad 1 = c

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Das Gleichungssystem lautet also:
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2& = &a& + &b& + &c&\\\mathrm{II} &3& = &a& - &b& + &c&\\\mathrm{III} &1& = &&&&&c&\end{array}%%

Tipp: Setze die Gleichung III\mathrm{III} in Gleichung I\mathrm{I} und II\mathrm{II} ein. Du erhältst dann ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.
Du hast folgendes Gleichungssystem gegeben:
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2& = &a& + &b& + &c&\\\mathrm{II} &3& = &a& - &b& + &c&\\\mathrm{III} &1& = &&&&&c&\end{array}%%

Aus der dritten Gleichung folgt direkt:
c=1c = 1
Setze c=1c = 1 in die anderen beiden Gleichungen ein:
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &2& = &a& + &b& + &1&\\\mathrm{II'} &3& = &a& - &b& + &1&\\\end{array}%%

Beachte: Die Information der dritten Gleichung steckt nun in den Gleichungen I\mathrm{I'} und II\mathrm{II'}.
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Löse nun das neue Lineare Gleichungssystem. Da die Koeffizienten vor der Variable bb mit unterschiedlichem Vorzeichen und gleichem Betrag sind, bietet sich hierfür das Additionsverfahren an.

Addiere die Gleichung I\mathrm{I'} zu II\mathrm{II'}. Du erhältst eine neue Gleichung I\mathrm{I''}.
%%\begin{array}{rlrl}\mathrm{I'} + \mathrm{II'} \rightarrow \mathrm{I''} &| &5 &= &2a &+ &2 \\\end{array}%%
Löse nach der Unbekannten aa auf.
a=32a = \frac{3}{2}

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Setze a=32a = \frac{3}{2} in Gleichung I\mathrm{I'} ein, um den Parameter bb zu bestimmen.
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &2& = &\frac{3}{2}& + &b& + &1&\\\end{array}%%
Löse nach bb auf.
b=12b = -\frac{1}{2}

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Gib die Lösungsmenge an:
L={(abc)R3a=32 ; b=12 ; c=1}\displaystyle \mathbb{L}=\{(a|b|c) \in \mathbb{R^3}|a=\frac{3}{2}\ ;\ b=-\frac{1}{2} \ ;\ c =1\}
Bestimme - falls möglich - die Lösungsmenge der folgenden Gleichungssysteme.
I4u+3vw=2II3u4v+5w=5III2u+2v+w=6\begin{array}{rcccccc}\mathrm{I}&4 u&+&3 v&-& w&=&2\\\mathrm{II}&-3 u&-&4 v&+&5 w&=&-5\\\mathrm{III}&-2 u&+&2 v&+& w&=&6\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungssysteme

Man kann das Gleichungssystem mit Hilfe des Additionsverfahrens lösen.
I4u+3vw=2II3u4v+5w=5III2u+2v+w=6\displaystyle \begin{array}{rcccccc}\mathrm{I}&4 u&+&3 v&-& w&=&2\\\mathrm{II}&-3 u&-&4 v&+&5 w&=&-5\\\mathrm{III}&-2 u&+&2 v&+& w&=&6\end{array}
Wähle die Variable ww und berechnet das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von ww:
kgV(1;1;5)=5\displaystyle \mathrm{kgV}(1;1;5)=5^{ }
Nun multiplizierst du jede der Gleichungen so, dass jedes ww den Koeffizienten 5 hat.
5II20u+15v5w=10II3u4v+5w=55IIIIII10u+10v+5w=30\displaystyle \begin{array}{rcccccc}\mathrm{5\cdot I\to I'}&20u&+&15v&-& 5w&=&10\\\mathrm{II}&-3 u&-&4 v&+&5 w&=&-5\\\mathrm{5\cdot III\to III'}&-10u&+&10v&+&5w&=&30\end{array}
Dann addierst du I\mathrm{I}' und II\mathrm{II} und subtrahierst I\mathrm{I}' von III\mathrm{III}'.
I20u+15v5w=10II+III17u+11v=5IIIIIII30u5v=20\displaystyle \begin{array}{rcccccc}\mathrm{I'}&20 u&+&15 v&-&5 w&=&10\\\mathrm{II+I'\to II'}&17u&+&11 v&&&=&5\\\mathrm{III'-I'\to III''}&-30u&-&5 v&& &=&20\end{array}
Du löst nun das "kleine" Gleichungssystem, das aus II\mathrm{II'} und III\mathrm{III''} besteht.
Dazu wählst du die Variable vv und bestimmst das kgV ihrer Koeffizienten:
kgV(5;11)=55\displaystyle \mathrm{kgV}(5;11)=55_{ }
Multipliziere nun die Gleichungen entsprechend:
5IIII85u+55v=2511IIIIII(4)330u55v=220\displaystyle \begin{array}{rccccc}\mathrm{5\cdot II'\to II''}&85u&+&55v&=&25\\\mathrm{11\cdot III''\to III^{(4)}}&-330u&-&55v&=&220\end{array}
Addiere II\mathrm{II''} und III(4)\mathrm{III^{(4)}}, um vv zu eliminieren.
II85u+55v=25III(4)+IIIII(5)245u=245\displaystyle \begin{array}{rccccc}\mathrm{II''}&85u&+&55v&=&25\\\mathrm{III^{(4)}+II''\to III^{(5)}}&-245u&&&=&245\end{array}
Nun löst du III(5)\mathrm{III^{(5)}} nach uu auf und setzt seinen Wert in II\mathrm{II}'' ein.
II85u+55v=25III(5)u=1\displaystyle \begin{array}{rccccc}\mathrm{II''}&85u&+&55v&=&25\\\mathrm{III^{(5)}}&u&&&=&-1\end{array}
u=1 in IIII85(1)+55v=25III(5)u=1\displaystyle \begin{array}{rccccc}u=-1\text{ in }\mathrm{II''\to II'''}&85\cdot (-1)&+&55v&=&25\\\mathrm{III^{(5)}}&u&&&=&-1\end{array}
IIv=2III(5)u=1\displaystyle \begin{array}{rccccc}\mathrm{II'''}&&&v&=&2\\\mathrm{III^{(5)}}&u&&&=&-1\end{array}
Nun setzt du die beiden Werte in I\mathrm{I'} ein und löst nach ww auf.
u=1 und v=2 in II20(1)+1525w=10105w=10105w=0:(5)w=0\begin{array}{rrcll}u=-1\text{ und }v=2\text{ in }\mathrm{I'\to I''}&20\cdot(-1)+15\cdot 2-5w&=&10\\&10-5w&=&10&|-10\\&-5w&=&0&|:(-5)\\&w&=&0\end{array}
Insgesamt erhälst du die Lösungsmenge
L={(1;2;0)}\displaystyle L=\{(-1;2;0)\}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungssysteme

Das gegebene Gleichungssystem lässt sich mit dem Additionsverfahren lösen.
I2x+10y5z=1II10x30y+3z=1III4x+15y2z=1\begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm{I}&2 x&+&10 y&-&5 z&=&-1\\\mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\\mathrm{III}&-4 x&+&15 y&-&2 z&=&1\end{array}
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von yy (alternativ: von xx oder zz).
kgV(10;15;30)=30\displaystyle \mathrm{kgV}(10;15;30)=30
Dann multiplizierst du die Gleichungen so, dass alle Koeffizienten von yy 30 sind.
3II6x+30y15z=3II10x30y+3z=12IIIIII8x+30y4z=2\begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm{3\cdot I\to I'}&6 x&+&30 y&-&15 z&=&-3\\\mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\\mathrm{2\cdot III\to III'}&-8 x&+&30 y&-&4z&=&2\end{array}
Addiere I\mathrm{I'} und II\mathrm{II} und subtrahiere I\mathrm{I'} von III\mathrm{III'}, um die Terme mit yy zu eliminieren.
I6x+30y15z=3II+III16x12z=4IIIIIII14x+11z=5\begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm{I'}&6 x&+&30 y&-&15 z&=&-3\\\mathrm{II+I'\to II'}&16 x&&&-&12 z&=&-4\\\mathrm{III'-I'\to III''}&-14 x&&&+&11z&=&5\end{array}
Löse nun zunächst das "kleine" Gleichungssystem, das aus II\mathrm{II'} und III\mathrm{III''} besteht.
Dafür bestimmst du zunächst das kgV der Koeffizienten von zz und multiplizierst dann die Gleichungen so, dass vor dem zz das kgV steht.
kgV(12;11)=132\displaystyle \mathrm{kgV}(12;11)=132
11IIII176x132z=4412IIIIII168x+132z=60\begin{array}{rccccr}\mathrm{11\cdot II'\to II''}&176x&-&132z&=&-44\\\mathrm{12\cdot III''\to III'''}&-168x&+&132z&=&60\end{array}
Dann addierst du III\mathrm{III'''} und II\mathrm{II''}, um den Term mit zz zu eliminieren.
II176x132z=44III+IIIII(4)8x=16\begin{array}{rccccr}\mathrm{II''}&176x&-&132z&=&-44\\\mathrm{III'''+II''\to III^{(4)}}&8x&&&=&16\end{array}
Nun löst du III(4)\mathrm{III^{(4)}} nach xx auf und setzt den Wert in II\mathrm{II''} ein.
III(4)x=2\mathrm{III^{(4)}}\quad x=2
x=2 in IIII1762132z=44352132z=44352132z=396:(132)z=3\begin{array}{rrcrl}x=2\text{ in }\mathrm{II''\to II'''}&176\cdot 2-132z&=&-44\\&352-132z&=&-44&|-352\\&-132z&=&-396&|:(-132)\\&z&=&3\end{array}
Die Werte x=2x=2 und z=3z=3 kann man dann in I\mathrm{I'} einsetzen, um yy zu bestimmen:
II62+30y153=333+30y=3+3330y=30:30y=1\begin{array}{rrcrl}\mathrm{I'\to I''}&6\cdot2+30y-15\cdot3&=&-3\\&-33+30y&=&-3&|+33\\&30y&=&30&|:30\\&y&=&1\end{array}
Nun kannst du die Lösungsmenge aufschreiben:
L={(2;1;3)}\displaystyle L=\{(2;1;3)\}
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Ystaes 2018-01-14 12:04:48+0100
Der Lösungsweg zur letzten Gleichung (2.b) ist leider falsch! Im oben genannten Beispiel wird bei der Stelle 11 x II′ wird die falsche Unbekannte plötzlich genommen. So wird aus II′ 16x - 12z = -4 nicht II′′ 176x - 132z = - 44 sondern 176x - 132y = - 44. Bitte korrigieren
peterjaumann 2018-01-15 09:16:08+0100
Hallo Ystaes,
das stimmt natürlich. Danke für den Hinweis!
Ich werde mich gleich daran machen, das auszubessern.
Viele Grüße
Peter
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