Aufgaben

Gegeben sei eine allgemeine quadratische Funktion %%f(x) = ax^2 + bx + c%%. Die Punkte %%\mathrm{R}(1|2)%%, %%\mathrm{Q}(-1|3)%% und %%\mathrm{S}(0|1)%% liegen auf dem Graphen der Funktion %%f%%.

Du möchtest nun mithilfe dieser Informationen auf die Parameter %%a%%, %%b%% und %%c%% schließen.

Stelle ein lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten %%a%%, %%b%% und %%c%% auf.

Lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten

Der Funktionsgraph hat die Gleichung %%y = ax^2 + bx + c%%.

Wenn ein Punkt auf einem Funktionsgraph liegt, bedeutet das, dass die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.

Aus den gegebenen drei Punkten, kannst du drei Gleichungen aufstellen, die alle erfüllt sein müssen.

Punkt %%\mathrm{R}%% einsetzen

%%y = ax^2 + bx + c%%

Setze den Punkt %%\mathrm{R}(1|2)%% in die Gleichung ein.

%%2 = a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + c%%

Du erhältst deine erste Gleichung.

%%\mathrm{I}\quad 2 = a + b + c%%

%%\;%%

Punkt %%\mathrm{Q}%% einsetzen

%%y = ax^2 + bx + c%%

Setze den Punkt %%\mathrm{Q}(-1|3)%% in die Gleichung ein.

%%3 = a\cdot (-1)^2 + b\cdot (-1) + c%%

Du erhältst deine zweite Gleichung.

%%\mathrm{II}\quad 3 = a - b + c%%

%%\;%%

Punkt %%\mathrm{S}%% einsetzen

%%y = ax^2 + bx + c%%

Setze den Punkt %%\mathrm{S}(0|1)%% in die Gleichung ein.

%%1 = a\cdot (0)^2 + b\cdot 0 + c%%

Du erhältst deine dritte Gleichung.

%%\mathrm{III}\quad 1 = c%%

%%\;%%

Das Gleichungssystem lautet also:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &2& = &a& + &b& + &c&\\ \mathrm{II} &3& = &a& - &b& + &c&\\ \mathrm{III} &1& = &&&&&c& \end{array}%%

Löse das Gleichungssystem.

Du hast folgendes Gleichungssystem gegeben:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &2& = &a& + &b& + &c&\\ \mathrm{II} &3& = &a& - &b& + &c&\\ \mathrm{III} &1& = &&&&&c& \end{array}%%

Aus der dritten Gleichung folgt direkt:

%%c = 1%%

Setze %%c = 1%% in die anderen beiden Gleichungen ein:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I'} &2& = &a& + &b& + &1&\\ \mathrm{II'} &3& = &a& - &b& + &1&\\ \end{array}%%

Beachte: Die Information der dritten Gleichung steckt nun in den Gleichungen %%\mathrm{I'}%% und %%\mathrm{II'}%%.

%%\;%%

Löse nun das neue Lineare Gleichungssystem. Da die Koeffizienten vor der Variable %%b%% mit unterschiedlichem Vorzeichen und gleichem Betrag sind, bietet sich hierfür das Additionsverfahren an.

Addiere die Gleichung %%\mathrm{I'}%% zu %%\mathrm{II'}%%. Du erhältst eine neue Gleichung %%\mathrm{I''}%%.

%%\begin{array}{rlrl} \mathrm{I'} + \mathrm{II'} \rightarrow \mathrm{I''} &| &5 &= &2a &+ &2 \\ \end{array}%%

Löse nach der Unbekannten %%a%% auf.

%%a = \frac{3}{2}%%

%%\;%%

Setze %%a = \frac{3}{2}%% in Gleichung %%\mathrm{I'}%% ein, um den Parameter %%b%% zu bestimmen.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I'} &2& = &\frac{3}{2}& + &b& + &1&\\ \end{array}%%

Löse nach %%b%% auf.

%%b = -\frac{1}{2}%%

%%\;%%

Gib die Lösungsmenge an:

$$\mathbb{L}=\{(a|b|c) \in \mathbb{R^3}|a=\frac{3}{2}\ ;\ b=-\frac{1}{2} \ ;\ c =1\}$$

Bestimme - falls möglich - die Lösungsmenge der folgenden Gleichungssysteme.

%%\begin{array}{rcccccc} \mathrm{I}&4 u&+&3 v&-& w&=&2\\ \mathrm{II}&-3 u&-&4 v&+&5 w&=&-5\\ \mathrm{III}&-2 u&+&2 v&+& w&=&6\end{array}%%

Quadratisches Gleichungssystem mit drei Unbekannten

Man kann das Gleichungssystem mit Hilfe des Additionsverfahrens lösen.

%%\begin{array}{rcccccc} \mathrm{I}&4 u&+&3 v&-& w&=&2\\ \mathrm{II}&-3 u&-&4 v&+&5 w&=&-5\\ \mathrm{III}&-2 u&+&2 v&+& w&=&6\end{array}%%

Man wählt die Variable %%w%% und berechnet das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von %%w%%:

%%\mathrm{kgV}(1;1;5)=5%%

Nun multipliziert man jede der Gleichungen so, dass jedes %%w%% den Koeffizienten 5 hat.

%%\begin{array}{rcccccc} \mathrm{5\cdot I\to I'}&20u&+&15v&-& 5w&=&10\\ \mathrm{II}&-3 u&-&4 v&+&5 w&=&-5\\ \mathrm{5\cdot III\to III'}&-10u&+&10v&+&5w&=&30\end{array}%%

Dann addiert man %%\mathrm{I}'%% und %%\mathrm{II}%% und subtrahiert %%\mathrm{I}'%% von %%\mathrm{III}'%%.

%%\begin{array}{rcccccc} \mathrm{I'}&20 u&+&15 v&-&5 w&=&10\\ \mathrm{II+I'\to II'}&17u&+&11 v&&&=&5\\ \mathrm{III'-I'\to III''}&-30u&-&5 v&& &=&20\end{array}%%

Man löst nun das "kleine" Gleichungssystem, das aus %%\mathrm{II'}%% und %%\mathrm{III''}%% besteht.

Man wählt dazu die Variable %%v%% und bestimmt das kgV ihrer Koeffizienten:

%%\mathrm{kgV}(5;11)=55%%

und multipliziert die Gleichungen entsprechend:

%%\begin{array}{rccccc} \mathrm{5\cdot II'\to II''}&85u&+&55v&=&25\\ \mathrm{11\cdot III''\to III^{(4)}}&-330u&-&55v&=&220 \end{array}%%

Man addiert %%\mathrm{II''}%% und %%\mathrm{III^{(4)}}%%, um %%v%% zu eliminieren.

%%\begin{array}{rccccc} \mathrm{II''}&85u&+&55v&=&25\\ \mathrm{III^{(4)}+II''\to III^{(5)}}&-245u&&&=&245 \end{array}%%

Nun löst man %%\mathrm{III^{(5)}}%% nach %%u%% auf und setzt seinen Wert in %%\mathrm{II}''%% ein.

%%\begin{array}{rccccc} \mathrm{II''}&85u&+&55v&=&25\\ \mathrm{III^{(5)}}&u&&&=&-1 \end{array}%%

%%\begin{array}{rccccc} u=-1\text{ in }\mathrm{II''\to II'''}&85\cdot (-1)&+&55v&=&25\\ \mathrm{III^{(5)}}&u&&&=&-1 \end{array}%%

%%\begin{array}{rccccc} \mathrm{II'''}&&&v&=&2\\ \mathrm{III^{(5)}}&u&&&=&-1 \end{array}%%

Nun setzt man die beiden Werte in %%\mathrm{I'}%% ein und löst nach %%w%% auf.

%%\begin{array}{rrcll} u=-1\text{ und }v=2\text{ in }\mathrm{I'\to I''}&20\cdot(-1)+15\cdot 2-5w&=&10\\ &10-5w&=&10&|-10\\ &-5w&=&0&|:(-5)\\ &w&=&0 \end{array}%%

Insgesamt erhält man die Lösungsmenge

%%L=\{(-1;2;0)\}%%

%%\begin{array}{rcccccc} \mathrm{I}&2 x&+&10 y&-&5 z&=&-1\\ \mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\ \mathrm{III}&-4 x&+&15 y&-&2 z&=&1\end{array}%%

Quadratisches Gleichungssystem mit drei Unbekannten

Das gegebene Gleichungssystem lässt sich mit dem Additionsverfahren lösen.

%%\begin{array}{rrcrcrcr} \mathrm{I}&2 x&+&10 y&-&5 z&=&-1\\ \mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\ \mathrm{III}&-4 x&+&15 y&-&2 z&=&1\end{array}%%

Man bestimmt das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von %%y%% (alternativ: von %%x%% oder %%z%%).

%%\mathrm{kgV}(10;15;30)=30%%

Dann multipliziert man die Gleichungen so, dass alle Koeffizienten von %%y%% 30 sind.

%%\begin{array}{rrcrcrcr} \mathrm{3\cdot I\to I'}&6 x&+&30 y&-&15 z&=&-3\\ \mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\ \mathrm{2\cdot III\to III'}&-8 x&+&30 y&-&4z&=&2\end{array}%%

Addiere %%\mathrm{I'}%% und %%\mathrm{II}%% und subtrahiere %%\mathrm{I'}%% von %%\mathrm{III'}%%, um die Terme mit %%y%% zu eliminieren.

%%\begin{array}{rrcrcrcr} \mathrm{I'}&6 x&+&30 y&-&15 z&=&-3\\ \mathrm{II+I'\to II'}&16 x&&&-&12 z&=&-4\\ \mathrm{III'-I'\to III''}&-14 x&&&+&11z&=&5\end{array}%%

Man löst nun zunächst das "kleine" Gleichungssystem, das aus %%\mathrm{II'}%% und %%\mathrm{III''}%% besteht.

Dafür bestimmt man zunächst das kgV der Koeffizienten von %%z%% und multipliziert dann die Gleichungen so, dass vor dem %%z%% das kgV steht.

%%\mathrm{kgV}(12;11)=132%%

%%\begin{array}{rccccr} \mathrm{11\cdot II'\to II''}&176x&-&132z&=&-44\\ \mathrm{12\cdot III''\to III'''}&-168x&+&132z&=&60 \end{array}%%

Dann addiert man %%\mathrm{III'''}%% und %%\mathrm{II''}%%, um den Term mit %%z%% zu eliminieren.

%%\begin{array}{rccccr} \mathrm{II''}&176x&-&132z&=&-44\\ \mathrm{III'''+II''\to III^{(4)}}&8x&&&=&16 \end{array}%%

Nun löst man %%\mathrm{III^{(4)}}%% nach %%x%% auf und setzt den Wert in %%\mathrm{II''}%% ein.

%%\mathrm{III^{(4)}}\quad x=2%%

%%\begin{array}{rrcrl} x=2\text{ in }\mathrm{II''\to II'''}&176\cdot 2-132z&=&-44\\ &352-132z&=&-44&|-352\\ &-132z&=&-396&|:(-132)\\ &z&=&3 \end{array}%%

Die Werte %%x=2%% und %%z=3%% kann man dann in %%\mathrm{I'}%% einsetzen, um %%y%% zu bestimmen:

%%\begin{array}{rrcrl} \mathrm{I'\to I''}&6\cdot2+30y-15\cdot3&=&-3\\ &-33+30y&=&-3&|+33\\ &30y&=&30&|:30\\ &y&=&1 \end{array}%%

Nun kann man die Lösungsmenge aufschreiben.

%%L=\{(2;1;3)\}%%

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Ystaes 2018-01-14 12:04:48
Der Lösungsweg zur letzten Gleichung (2.b) ist leider falsch! Im oben genannten Beispiel wird bei der Stelle 11 x II′ wird die falsche Unbekannte plötzlich genommen. So wird aus II′ 16x - 12z = -4 nicht II′′ 176x - 132z = - 44 sondern 176x - 132y = - 44. Bitte korrigieren
peterjaumann 2018-01-15 09:16:08
Hallo Ystaes,
das stimmt natürlich. Danke für den Hinweis!
Ich werde mich gleich daran machen, das auszubessern.
Viele Grüße
Peter
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