Dein Freund kauft bei einer großen Fastfood-Kette eine wilde Mischung aus Hamburger und Cheeseburger. Die Anzahl aller Burger beträgt %%12%% und kosten zusammen %%12,68%% Euro.

Es gilt: Ein Hamburger kostet %%0,99%% Euro und ein Cheeseburger %%1,19%% Euro.

Stelle mit den Informationen aus dem Text ein lineares Gleichungssystem auf.

Zunächst bezeichne die Größen mit geeigneten Variablen:

Anzahl der Hamburger %%\widehat{=}%% %%x%%

Anzahl der Cheeseburger %%\widehat{=}%% %%y%%

Als nächstes musst du alle Informationen ordnen. Einerseits hast du Mengenangaben und andererseits hast du Geldangaben.

Wichtig: %%x%% und %%y%% sind in beiden Angaben enthalten.

Also:

Mengenangaben: %%x%% Hamburger, %%y%% Cheeseburger, Gesamtanzahl: %%12%% Burger

Geldangaben: %%0,99\cdot x%% Euro, %%1,19\cdot y%% Euro, %%12,68%% Euro

Im letzten Schritt stellst du aus den jeweiligen Angaben eine Gleichung auf.

Die erste Gleichung erhältst du durch die Information, dass %%x%% Hamburger und %%y%% Cheeseburger sich zu %%12%% Burger addieren.

$$\mathrm{I}\qquad x + y = 12$$

Die zweite Gleichung erhältst du durch die Information, dass %%0,99\cdot x%% Euro und %%1,19\cdot y%% Euro sich zu %%12,68%% Euro addieren.

$$\mathrm{II}\qquad 0,99\cdot x + 1,19\cdot y = 12,68$$

Zeige, dass %%x = 8%% Hamburger und %%y = 4%% Cheeseburger eine Lösung des Gleichungssystems ist.

Wenn du zeigen möchtest, dass %%x%% und %%y%% eine Lösung eines beliebigen linearen Gleichungssystems ist, musst du die Unbekannten in die Gleichungen des Systems einsetzen. Am Ende muss jede Gleichung eine wahre Aussage ergeben.

Setze also %%x = 8%% und %%y = 4%% in die Gleichungen ein:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &x + y &= &12 \\ \mathrm{II} &0,99\cdot x + 1,19\cdot y &= &12,68 \end{array}%%

Setze die Werte ein.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &\color{#CC0000}{8} + \color{#009999}{4} &= &12 \\ \mathrm{II} &0,99\cdot \color{#CC0000}{8} + 1,19\cdot \color{#009999}{4} &= &12,68 \end{array}%%

Rechne aus. Falls links und rechts die gleiche Zahl steht, ist die Aussage wahr.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &\color{#FF6600}{12} &= &12 \\ \mathrm{II} &\color{#FF6600}{12,68} &= &12,68 \end{array}%%

Du siehst sofort, dass %%x = 8%% Hamburger und %%y = 4%% Cheeseburger eine wahre Aussage liefern.

Warum gibt es nur genau eine Lösung?

Ein lineares Gleichungssystem kann entweder keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen haben.

Die Gleichungen sind linear und nicht identisch. Zudem gibt es nur %%2%% Gleichungen. Damit gibt es maximal nur einen Schnittpunkt. Maximal ein Schnittpunkt bedeutet, dass es entweder keinen oder einen Schnittpunkt gibt. Aus Aufgabenteil b) weißt du aber schon, dass ersteres nicht stimmt, da %%x = 8%% und %%y = 4%% eine Lösung ist. Deswegen hat das Gleichungssystem genau eine Lösung.