Der Maßstab gibt ein Verhältnis an, in dem z.B eine Karte zur Wirklichkeit steht. Je nach Größe der Karte ist der Maßstab anders gewählt. In dem rechten Bild hat man zum Beispiel einen Maßstab von "1 zu 15 500 000".

Karte Deutschland

Mit einem Maßstab rechnen

Die Angabe Maßstab 1:500 in einer Karte bedeutet:

1 cm im Plan entsprechen 500 cm in der Wirklichkeit

1:500 bedeutet aber auch:

"1 m im Plan entsprechen 500 m in der Wirklichkeit."

Und natürlich auch in jeder anderen Längeneinheit!

Also kann man folgendermaßen mit Hilfe des Maßstabs rechnen:

Länge in der Wirklichkeit = Länge in der Karte mal 500

Länge in der Karte = Länge in der Wirklichkeit dividiert durch 500

Achtung

Der Maßstab ist keine Zahl, sondern ein Verhältnis (z.B.: 1:500). Man kann deshalb nicht "mit dem Maßstab multiplizieren" oder "durch den Maßstab teilen", da man nicht durch ein Verhältnis teilen kann.

Typische Aufgaben und Beispiele

Bei einer Aufgabe, in der es um Maßstab und das Rechnen mit dem Maßstab geht, gibt es drei Größen, die eine Rolle spielen:

  • die Länge der Strecke in Wirklichkeit
  • die Länge der Strecke auf der Karte
  • der Maßstab der Karte.

Wenn zwei der drei Größen angegeben sind, kann man die dritte Größe ausrechnen.
Wie das jeweils geht, wird in den folgenden Beispielen gezeigt.

1. Aufgabentyp: Die echte Länge ausrechnen

Gegeben ist

  • die Länge der Strecke in der Karte
  • der Maßstab der Karte

Gesucht ist

  • die Länge der Strecke in Wirklichkeit

Beispiel:

Entfernung auf dem Plan: 2 cm

Karte mit dem Maßstab: 1 : 20 000 000

1cm in der Karte entsprechen also 20 000 000cm in der Wirklichkeit

Damit ist die echte Entfernung: 2 cm %%\cdot%% 20 000 000 = 40 000 000 cm

Da man mit 40 000 000 cm nicht viel anfangen kann, rechnet man diese Länge in geeignetere Einheiten um.

40 000 000 cm = 400 000 m = 400 km

Rechenstrategie ist also:

  1. Multipliziere die Länge in der Karte mit der zweiten Zahl des Maßstabs
  2. Wandle in sinnvolle Einheiten um (meistens Kilometer)

Karte Deutschland mit Einheit

2. Aufgabentyp: Die Länge auf der Karte ausrechnen

Gegeben ist

  • die Länge der Strecke in Wirklichkeit
  • der Maßstab der Karte

Gesucht ist

  • die Länge der Strecke auf der Karte

Beispiel:

Entfernung in Wirklichkeit: 100km

Um besser weiterrechnen zu können, wandelt man die km in cm um:

100 km=100 000 m=10 000 000 cm

Karte mit dem Maßstab: 1 : 500 000

1cm in der Karte entsprechen also 500 000 cm in der Wirklichkeit

Damit ist die Entfernung in der Karte: 10 000 000 cm : 500 000 = 20cm

Rechenstrategie ist also:

  1. Wandle die echte Länge in Zentimeter um
  2. Teile diese Länge durch die größere Zahl des Maßstabs

3. Aufgabentyp: Den Maßstab der Karte ausrechnen

Gegeben ist

  • die Länge der Strecke in der Karte
  • die Länge der Strecke in Wirklichkeit

Gesucht ist

  • der Maßstab der Karte

Beispiel:

Entfernung in der Wirklichkeit: 200 km

Um besser weiterrechnen zu können, wandelt man die km in cm um:

200 km = 200 000 m = 20 000 000 cm

Entfernung auf der Karte: 10 cm

10 cm auf der Karte entsprechen also den 200 km = 20 000 000 cm in der Wirklichkeit

Damit ist der Maßstab 10 : 20 000 000 und das entspricht dem Maßstab 1 : 2 000 000

Rechenstrategie ist also:

  1. Wandle die Längen in eine gemeinsame Einheit um (hier Zentimeter)
  2. Setze die Länge auf der Karte in ein Verhältnis zur Länge in Wirklichkeit und teile beides durch das kleinere (hier teile beides durch 10, weil 10 kleiner ist als 20 000 000)

Maßstäbe bei Vergrößerungen

Unter anderem in der Biologie werden häufig Dinge mit Hilfe eines Mikroskops vergrößert. Wie stak die Vergrößerung ist, wird meistens in Form eines Maßstabs angegeben. Der Maßstab 20:1 bedeutet:

20 cm im Mikroskop entsprechen 1 cm in der Wirklichkeit

Aber natürlich auch in jeder anderen Längeneinheit, also zum Beispiel:

20 mm im Mikroskop entsprechen 1 mm in der Wirklichkeit

Mikroskop

Da das Mikroskop vergrößert und nicht wie eine Karte verkleinert, funktioniert die Umrechnung zwischen vergrößertem Bild und der Wirklichkeit genau anders herum wie bei einer Karte:

Länge in der Wirklichkeit = Länge im Mikroskop dividiert durch 20

Länge im Mikroskop = Länge in der Wirklichkeit mal 20

1. Beispiel: Die echte Größe einer Laus ausrechnen

Länge im Mikroskop: 10 cm

Maßstab: 20:1

20 cm im Mikroskop entsprechen also 1 cm in Wirklichkeit

Man teilt die Länge im Mikroskop durch die erste Zahl des Maßstabs: 10 cm : 20 = 0,5 cm = 5 mm

Rechenstrategie ist also:
  1. Überlege, wie viel kleiner etwas im Mikroskop ist als in Wirklichkeit (hier 20 mal)
  2. Teile die Länge im Mikroskop durch diese Verkleinerung (hier Länge geteilt durch 20)

2. Beispiel: Die Größe einer Laus unter dem Mikroskop ausrechnen

Länge in Wirklichkeit: 1 mm

Maßstab: 15:1

1 cm in Wirklichkeit entspricht also 15 cm im Mikroskop

Man rechnet die Länge in Wirklichkeit mal die erste Zahl des Maßstabs: 1mm %%\cdot%% 15 = 15 mm = 1,5 cm

Rechenstrategie ist also:
  1. Überlege, wie stark das Mikroskop etwas vergrößert (hier 15 mal)
  2. Rechne die Länge im Mikroskop mal diese Vergrößerung (hier Länge mal 15)

3. Beispiel: Den Maßstab eines Mikroskops ausrechnen

Länge einer Laus in Wirklichkeit: 5 mm

Länger derselben Laus im Mikroskop: 10 cm

Zum einfacheren Rechnen wandelt man die cm in mm um:

10 cm = 100 mm

100 mm im Mikroskop entsprechen also 5 mm im Mikroskop

Der Maßstab entspricht also dem Verhältnis 100 mm : 5 mm und man erhält als Maßstab

20 : 1

Rechenstrategie ist also:
  1. Wandle die Längen in eine gemeinsame Einheit um, um besser rechnen zu können
  2. Setze Länge in Wirklichkeit : Länge im Mikroskop als das Verhältnis des Maßstabs und teile dann beides durch das kleinere (hier: teile beides durch 5, weil 5 kleiner ist als 100)

Kommentieren Kommentare

Zu article Maßstab: Mehr Klarheit durch gemeinsame zugrunde liegende Strategie
Renate 2015-03-11 09:59:16
@Jakobmaria: Es war sicherlich nicht deine Absicht, dass der Schüler nun für jedes der Aufgabenbeispiele die jeweils angegebenen Lösungsstrategie auswendig lernen und gedankenlos anwenden soll.
Aber das dem Maßstabsbegriff zugrundeliegende Grundprinzip wird meinem Eindruck nach etwas "versteckt" durch die (hervorgehobene) Darstellung einer jeweils eigenen "Rechenstrategie".

Wäre es vielleicht eine Lösung, die Beispiele zumindest teilweise in die Serlo-Aufgabendatenbank zu verlagern und hier im Artikel lediglich einzubinden?
(Oder, wenn das zu aufwändig ist, im Artikel die Rechenstrategien, die sich nur auf das betreffende Beispiel beziehen, in Spoiler zu tun?)
Antwort abschicken