Wellencharakter von Elektronen

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In einem Experiment werden Elektronen in einem Teilchenbeschleuniger auf die Geschwindigkeit $v$ beschleunigt. Leider ist der Kollege, der den Teilchenbeschleuniger eingestellt hat, schon im Feierabend. Für deine Arbeit ist es aber wichtig zu wissen, welche Geschwindigkeit die Elektronen haben!
Ein simples Interferenz-Experiment zeigt dir, dass die Elektronen eine Wellenlänge von $0{,}0121\mathrm{nm}$ haben. Außerdem kennst du die Elektronenmasse $m_e\approx 9{,}109\cdot 10^{-31}\mathrm{kg}$ . Welche Geschwindigkeit haben die Elektronen also?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wellencharakter des Elektrons
Tipp: Es wird eine Formel benötigt, die Geschwindigkeit, Masse und Wellenlänge miteinander verknüpft. Das könnte z. B. die Gleichung für die Wellenlänge nach de Broglie sein,
Zunächst muss eine Formel für die Masse des Elektrons gefunden werde. Ausgangspunkt ist die de-Broglie-Beziehung,
Der Impuls eines Elektrons mit Geschwindiglkeit $v$ ist $p=m_e v$ . Einsetzung und Umstellen liefert
Jetzt müssen noch die Zahlenwerte eingesetzt werden, um die Formel auszuwerten. Dazu ist es wichtig, die Wellenlänge in die Grundeinheit $\mathrm{m}$ umzuwandeln:
Mit dem Literaturwert für das Plancksche Wirkungsquantum $h$ ergibt sich dann eine Geschwindigkeit.
Die Elektronen bewegen sich also mit ungefähr 20% der Lichtgeschwindigkeit.
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Ein Versuchsaufbau beschleunigt entweder Elektronen oder Protonen auf 1% der Lichtgeschwindigkeit $c=2{,}998\cdot 10^8\mathrm{m/s}$ . Wenn die Teilchen eine Wellenlänge $\lambda$ in der Größenordnung von $10^{-10}\mathrm{m}$ haben, handelt es sich dann um Elektronen mit der Masse $m_e \approx 9{,}109\mathrm{kg}$ oder um Protonen, die etwa 1836-mal so schwer sind?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Materiewellen
Der einfachste Weg, die Teilchenart zu bestimmen, ist die Wellenlänge für ein Elektron und Proton zu berechnen und zu vergleichen. Für das Elektron erhält man
Die Wellenlänge des Protons beträgt dagegen
Ist die Wellenlänge in der Größenordnung von $10^{-10}\mathrm{m}$ , handelt es sich also um ein Elektron. Protonen haben eine viel kleinere Wellenlänge, denn wegen ihrer größeren Masse ist bei gleicher Geschwindigkeit der Impuls viel größer.
Alternativ kann auch die Formel für de de-Broglie-Wellenlänge nach der Masse aufgelöst werden:
Einsetzen der Größenordnung der Wellenlänge $\lambda$ liefert dann einen Richtwert für die Masse des Teilchens:
Das ist viel näher an der Elektronenmasse $m_e$ als an der Masse des Protons, also handelt es sich vermutlich um Elektronen.
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Eine $650\mathrm{kg}$ schwere Kuh trottet mit $1\mathrm{m/s}$ gemütlich über die Weide. Das Gatter im Weidezaun ist ein Metallgitter mit einer Spaltbreite von ungefähr $10\mathrm{cm}$ . Warum kann der Landwirt sicher sein, dass die Kuh nicht durch Interferenzeffekte von der Weide entkommt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Materienwellen
Zunächst mal wirkt das wie eine blöde Frage. Jeder weiß doch, dass Kühe nur faul herumliegen können, aber doch nicht interferieren! Interferenz tritt nur bei Wellen auf und Kühe sind offensichtlich feste Objekte.
Die Quantenphysik sagt aber aus, dass auch feste Materie (Elektronen, Protonen, Kühe, Autos,…) Eigenschaften von Wellen zeigen kann. Dass da etwas dran ist, haben zahllose Experimente mit Elektronen, Protonen und anderen Teilchen gezeigt, manche davon lassen sich vielleicht sogar im Unterricht in der Schule nachmachen. Aber Kühe, Autos und auch sonst nichts aus dem alltäglichen Leben geistert als Welle umher. Wie also passt das zusammen?
Dieser scheinbare Widerspruch klärt sich schnell auf, wenn man den Impuls $p=mv$ der Kuh berechnet und in die Formel für die Wellenlänge eines Teilchens einsetzt:
Dieser Wert ist unvorstellbar winzig! Selbst ein Atomkern hat einen Durchmesser von ca. $10^{-15}\mathrm{m}$ . Verglichen mit einem Atomkern ist die Wellenlänge einer Kuh etwa so groß wie ein Atom vergleichen mit dem Abstand der Erde von der Sonne!
Von Experimenten mit Lichtwellen ist bekannt, dass Effekte wie z.B. Beugung am Gitter nur dannauftreten, wenn die Spalte im Gitter ungefähr so groß sind wie die Wellenlänge des Lichts. Das gilt auch für Materiewellen. Entsprechend ist es extrem schwer, ein Gitter zu produzieren, an dem etwas größeres als ein Elementarteilchen gebeugt werden kann. Objekte im alltäglichen Leben haben eine so kleine Wellenlänge, dass es praktisch unmöglich ist, ein passendes Gitter zu finden.
Die Quantenphysik gilt auch für makroskopische Objekte, aber spielt keine Rolle, weil die Effekte zu klein sind, um beobachtet zu werden.

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