Aufgaben
In einem Experiment werden Elektronen in einem Teilchenbeschleuniger werden Elektronen auf die Geschwindigkeit vv beschleunigt. Leider ist der Kollege, der den Teilchenbeschleuniger eingestellt hat, schon im Feierabend. Für deine Arbeit ist es aber wichtig zu wissen, welche Geschwindigkeit die Elektronen haben!
In simples Interferenz-Experiment zeigt dir, dass die Elektronen eine Wellenlänge von 0.0121nm0.0121\mathrm{nm} haben. Außerdem kennst du die Elektronenmasse me9,1091031kgm_e\approx 9,109\cdot 10^{-31}\mathrm{kg}. Welche Geschwindigkeit haben die Elektronen also?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wellencharakter des Elektrons

Tipp: Es wird eine Formel benötigt, die Geschwindikeit, Masse und Wellenlänge miteinander verknüpft. Das könnte z.B. die Gleichung für die Wellenlänge nach de Broglie sein,
Zunächst muss eine Formel für die Masse des Elektrons gefunden werde. Ausgangspunkt ist die de-Broglie-Beziehung,
λ=hp.\displaystyle \lambda = \frac{h}{p}.
Der Impuls eines Elektrons mit Geschwindiglkeit vv ist p=mevp=m_e v. Einetzung und umstellen liefert
λ=hmev\displaystyle \lambda = \frac{h}{m_e v}
v=hmeλ\displaystyle \Rightarrow v = \frac{h}{m_e \lambda}
Jetzt müssen noch die Zahlenwerte eingesetzt werden, um die Formel auszuwerten. Dazu ist es wichtig, die Wellenlänge in die Grundheit m\mathrm{m} umzuwandeln:
Mit dem Literaturwert für das Plancksche Wirkungsquantum hh ergibt sich dann eine Geschwindigkeit
Die Elektronen bewegen isch also mit ungefähr 20% der Lichtgeschwindigkeit.
Ein Versuchsaufbau beschleunigt entweder Elektronen oder Protonen auf 1% der Lichtgeschwindigkeit c=2,998108m/sc=2,998\cdot 10^8\mathrm{m/s}. Wenn die Teilchen eine Wellenlänge λ\lambda in der Größenordnung von 1010m10^{-10}\mathrm{m} haben, handelt es sich dann um Elektronen mit der Masse me9,109kgm_e \approx 9,109\mathrm{kg} oder um Protonen, die etwa 1836-mal so schwer sind?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Materiewellen

Der einfachste Weg, die Teilchenart zu bestimmen, ist die Wellenlänge für ein Elektron und Proton zu berechnen und zu vergleichen. Für das Elektron erhält man
λe=hme0,01c2,431010m\displaystyle \lambda_e = \frac{h}{m_e \cdot 0,01c} \approx 2,43 \cdot 10^{-10} \mathrm{m}
Die Wellenlänge des Protons beträgt dagegen
λp=h1836me0,01c=λe18361,321013m.\displaystyle \lambda_p = \frac{h}{1836\cdot m_e \cdot 0,01c} = \frac{\lambda_e}{1836} \approx 1,32 \cdot 10^{-13}\mathrm{m}.
Ist die Wellenlänge in der Größenordnung von 1010m10^{-10}\mathrm{m}, handelt es sich also um ein Elektron. Protonen haben eine viel kleinere Wellenlänge, denn wegen ihrer größeren Masse ist bei gleicher Geschwindigkeit der Impuls viel größer.
Alternativ kann auch die Formel für de de-Broglie-Wellenlänge nach der Masse aufgelöst werden:
Einsetzen der Größenordnung der Wellenlänge λ\lambda liefert dann einen Richtwert für die Masse des Teilchens:
Das ist viel näher an der Elektronenmasse mem_e als an der Masse des Protons, also handelt es sich vermutlich um Elektronen.
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