Bei den Planungen zum Lagrange-Formalismus ergab sich die Frage, wieso die kinetische Energie ein Fixpunkt der Legendre-Transformation ist. Dieser Artikel gibt eine erste Antwort. Dabei betrachten wir den einfacheren Fall, dass wir nur ein Teilchen haben, dessen Bewegung vollständig durch Angabe einer generalisierten Koordinate %%q%% beschrieben werden kann (wie beim mathematischen Pendel oder dem harmonischen Oszillator).

Erklärung

Der Impuls %%\frac{\partial T}{\partial \dot q}%% gibt an, wie stark sich die Bewegungsenergie durch eine Geschwindigkeitsänderung %%\mathrm d\dot q%% ändert (wenn die Gesamtenergie des Systems erhalten bleibt). Dieser Impuls ist streng monoton in %%\dot q%%:

Betrachten wir eine Änderung %%\mathrm d \dot q%% der Geschwindigkeit:

Die Rechtecksfläche %%p\cdot \mathrm d\dot q = \frac{\partial T}{\partial \dot q} \cdot \mathrm d \dot q%% gibt die Änderung der kinetischen Energie durch die Geschwindigkeitsänderung an.

Betrachten wir nun die durch %%\dot q \cdot \mathrm d p%% gegebene Fläche. Hier ist

$$\dot q \cdot \mathrm d p = \dot q \cdot \dot p \mathrm d t = \dot q \cdot \mathrm d t \cdot \dot p = \dot p \cdot \mathrm d q$$

Wenn wir annehmen, dass wir in kartesischen Koordinaten sind, so ist %%\dot p = F%% und damit

$$\dot p \cdot \mathrm d q = F \cdot \mathrm d q$$

Nun ist der Term %%F \cdot \mathrm d q%% gleich der Arbeit, die am Teilchen verrichtetet wird. Damit haben wir:

Auf der einen Seite ist %%T(\dot q)=\int_0^{\dot q} p(\dot w) \mathrm d\dot w%% gleich der kinetischen Energie des Teilchens. Wenn wir die Legendre-Transformation %%p \cdot \dot q - T(\dot q)%% betrachten, so erhalen wir das Integral %%\int_0^p \dot q(\tilde p) \mathrm d \tilde p%% nach der obigen Herleitung ist dieses Integral gleich %%\int_0^q \dot p(\tilde q) \mathrm d \tilde q%%, also gleich der Arbeit, die am Teilchen verrichtet wird.

Der Term %%p \cdot \dot q - T(\dot q)%% gibt also nicht die Bewegungsenergie, sondern die am Teilchen verrichtete Arbeit wieder. Aus Energieerhaltung sind beide Terme gleich.

Offene Fragen

  • Wie kann die Legendre-Transformation bei der Lagrange-Funktion interpretiert werden? Kann %%L=p\dot q-H%% oder %%H=p\dot q-L%% analog zu diesem Artikel interpretiert werden?
Kommentieren Kommentare