2019-06-10 Wieso ist kinetische Energie ein Fixpunkt der Legendre-Transformation?

Erklärung

Der Impuls $\frac{\partial T}{\partial \dot{q}}$ gibt an, wie stark sich die Bewegungsenergie durch eine Geschwindigkeitsänderung $\mathrm{d}\dot{q}$ ändert (wenn die Gesamtenergie des Systems erhalten bleibt). Dieser Impuls ist streng monoton in $\dot{q}$:

Betrachten wir eine Änderung $\mathrm{d}\dot{q}$ der Geschwindigkeit:

Die Rechtecksfläche $p\cdot \mathrm{d}\dot{q}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}}\cdot \mathrm{d}\dot{q}$ gibt die Änderung der kinetischen Energie durch die Geschwindigkeitsänderung an.

Betrachten wir nun die durch $\dot{q}\cdot \mathrm{d}p$ gegebene Fläche. Hier ist

Wenn wir annehmen, dass wir in kartesischen Koordinaten sind, so ist $\dot{p}=F$ und damit

Nun ist der Term $F\cdot \mathrm{d}q$ gleich der Arbeit, die am Teilchen verrichtetet wird. Damit haben wir:

Auf der einen Seite ist $T(\dot{q})={\int }_0^{\dot{q}}p(\dot{w})\mathrm{d}\dot{w}$ gleich der kinetischen Energie des Teilchens. Wenn wir die Legendre-Transformation $p\cdot \dot{q}-T(\dot{q})$ betrachten, so erhalen wir das Integral ${\int }_0^p\dot{q}(\tilde{p})\mathrm{d}\tilde{p}$ nach der obigen Herleitung ist dieses Integral gleich ${\int }_0^q\dot{p}(\tilde{q})\mathrm{d}\tilde{q}$, also gleich der Arbeit, die am Teilchen verrichtet wird.

Der Term $p\cdot \dot{q}-T(\dot{q})$ gibt also nicht die Bewegungsenergie, sondern die am Teilchen verrichtete Arbeit wieder. Aus Energieerhaltung sind beide Terme gleich.

Offene Fragen

• Wie kann die Legendre-Transformation bei der Lagrange-Funktion interpretiert werden? Kann $L=p\dot{q}-H$ oder $H=p\dot{q}-L$ analog zu diesem Artikel interpretiert werden?