2019-06-10 Wieso ist kinetische Energie ein Fixpunkt der Legendre-Transformation?

Erklärung

Der Impuls $\frac{\partial T}{\partial \dot q}$ gibt an, wie stark sich die Bewegungsenergie durch eine Geschwindigkeitsänderung $\mathrm d\dot q$ ändert (wenn die Gesamtenergie des Systems erhalten bleibt). Dieser Impuls ist streng monoton in $\dot q$:

Betrachten wir eine Änderung $\mathrm d \dot q$ der Geschwindigkeit:

Die Rechtecksfläche $p\cdot \mathrm d\dot q = \frac{\partial T}{\partial \dot q} \cdot \mathrm d \dot q$ gibt die Änderung der kinetischen Energie durch die Geschwindigkeitsänderung an.

Betrachten wir nun die durch $\dot q \cdot \mathrm d p$ gegebene Fläche. Hier ist

Wenn wir annehmen, dass wir in kartesischen Koordinaten sind, so ist $\dot p = F$ und damit

Nun ist der Term $F \cdot \mathrm d q$ gleich der Arbeit, die am Teilchen verrichtetet wird. Damit haben wir:

Auf der einen Seite ist $T(\dot q)=\int_0^{\dot q} p(\dot w) \mathrm d\dot w$ gleich der kinetischen Energie des Teilchens. Wenn wir die Legendre-Transformation $p \cdot \dot q - T(\dot q)$ betrachten, so erhalen wir das Integral $\int_0^p \dot q(\tilde p) \mathrm d \tilde p$ nach der obigen Herleitung ist dieses Integral gleich $\int_0^q \dot p(\tilde q) \mathrm d \tilde q$, also gleich der Arbeit, die am Teilchen verrichtet wird.

Der Term $p \cdot \dot q - T(\dot q)$ gibt also nicht die Bewegungsenergie, sondern die am Teilchen verrichtete Arbeit wieder. Aus Energieerhaltung sind beide Terme gleich.

Offene Fragen

• Wie kann die Legendre-Transformation bei der Lagrange-Funktion interpretiert werden? Kann $L=p\dot q-H$ oder $H=p\dot q-L$ analog zu diesem Artikel interpretiert werden?