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In den meisten Vorlesungen und Büchern wird das Hamilton'sche Prinzip (Prinzip der kleinsten Wirkung) als Grundaxiom angenommen und gezeigt, dass es mit den Newton'schen Gesetzen vereinbar ist. In diesem Artikel versuchen wir, eine mögliche intuitive Herleitung des Wirkungsprinzips anzugeben.

Zusammenfassung

  • Freie Teilchen bewegen sich nach dem ersten Newton'schen Axiom auf Geraden
  • Geraden minimieren den Abstand zwischen zwei Punkten und definieren so ein Variationsproblem
  • Äquvalent zur Variation des Abstands ist die Variation des Quadrats des Abstands
  • Das Variationsproblem des Quadrats des Abstands führt zum Hamilton'schen Prinzip
  • Dieses wird geeignet um einen Potentialterm erweitert, um das zweite Newton'sche Axiom zu reproduzieren
  • E?!

Motivation

Ziel der theoretischen Mechanik ist es, die Bewegung von Teilchen zu beschreiben. Über einen Vektor %%\mathbf{x}(t)%% spezifizieren wir hierzu die Positionen aller betrachteten Objekte zu einem Zeitpunk %%t%% (%%\mathbf x(t)%% kann sich dabei auf kartesische oder krummlinige Koordinaten beziehen). Die Veränderung eines solchen Systems von Teilchen wird über eine Differentialgleichung der Form %%\ddot{\mathbf{x}}=f(\dot{\mathbf x}, \mathbf x)%% charakterisiert. Diese Differentialgleichung definiert die zu jedem Zeitpunkt jeweils aktuelle Beschleunigung %%\ddot{\mathbf{x}}%%. Diese Beschleunigung definiert die Änderung der Geschwindigkeit und die jeweils aktuelle Geschwindigkeit definiert die Änderung der Position. Damit haben wir eine eindeutige Beschreibung, wie sich das betrachtete System ändert, sobald die Ausgangsposition %%\mathbf{x}_0%% und die Ausgangsgeschwindigkeiten %%\dot{\mathbf{x}}_0%% festgelegt sind.

Eine solche Beschreibung mit Hilfe von Differentialgleichungen ist lokal: Sie gibt zu jedem Zeitpunkt an, wie sich das System aktuell verändert. Im Gegensatz dazu würde eine globale Beschreibung angeben, wie sich das System ingesamt über einem längerem Zeitraum verändert. Um den Unterschied zu verdeutlichen: Ein Pendel können wir lokal dadurch beschreiben, dass die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt entgegengesetzt und direkt proportional zur Auslenkung ist. Global ist ein harmonischer Schwinger dadurch charakterisiert, dass die Auslenkung sich sinusförmig zur Zeit ändert.

Die Newtonschen Axiome geben uns eine lokale Beschreibung der Bewegung von Teilchen. Können wir auch diese Bewegung auch global charakterisieren? In diesem Artikel werden wir sehen, dass das Hamiltonsche Prinzip eine solche globale Beschreibung physikalischer Systeme ist.

Vereinfachung des Problems und erste globale Beschreibung

Wie gelangen wir von einer lokalen zu einer globalen Beschreibung von Bewegung? Vereinfachen wir zunächst diese Fragestellung, indem wir uns auf möglichst einfache Systeme beschränken. Solche einfachen Systeme sind jene, bei denen keine Kräfte wirken. Hier bewegen sich alle Teilchen gleichmäßig mit konstanter Geschwindigkeit. Ihre Bahnen sind damit geradlinig. Dies ist aber bereits eine globale Beschreibung von Systemen öhne Kräfte:

In einem System ohne Kräfte bewegen sich alle Objekte auf geradlinigen Bahnen.

In der theoretischen Physik nutzen wir mathematische Konzepte und Begriffe, um die physikalische Gesetzmäßigkeiten exakt auszudrücken. Der Begriff „geradlinig“ sollte deswegen konkretisiert und in die Sprache der Mathematik übersetzt werden. Wie können wir „geradlinig“ mathematisch definieren? Geradlinige Bahnen sind die Bahnen zwischen zwei Punkten %%A%% und %%B%% mit dem kürzesten Weg. Also:

In einem System ohne Kräfte wählen Teilchen immer den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten.

Der Weg zwischen zwei Punkten

  • Wie berechnet man den Weg einer Bahn / den zurückgelegten Weg?
  • Beispiel kurvige Bahn
  • [ Bild ]
  • Bahnkurve beschreiben durch %%\gamma(t)%%
  • reinzoomen
  • zurückgelegte kurve über Pythagoras
  • Geschwindigkeit benutzt -> ableitung neu erklären
  • ausgerechnet
  • Integral gebildet, um alles aufzusummieren

Kurven im euklidischen Raum

Eine Kurve %%\gamma%% ist eine Abbildung von %%\mathbb{R} \supseteq I%% (?) nach %%E^3%%, $$\gamma\colon \mathbb{R}\to E^3\,,$$ wobei %%E^3%% den dreidimensionalen euklidischen Raum bezeichnet und %%I%% ein Intervall aus den reellen Zahlen. Dieses Intervall dient der Parametrisierung der Kurve, d.h. jedem Wert %%t\in I%% wird ein Punkt %%\gamma(t)\in E^3%% zugeordnet. Eine solche Parametrisierung nennen wir affin (?). (Spezifizieren)

Im Unterschied zu %%\mathbb{R}^3%% gibt es in %%E^3%% vor der Wahl eines Bezugssystems keinen Ursprung und keine Koordinaten. Wir spezifizieren nun ein Koordinatensystem %%(x,y,z)%%, legen den Ursprung %%O = (0,0,0)%% fest und können daher alle Rechnungen im %%\mathbb{R}^3%%, also in unserem Koordinatensystem, durchführen.

Um die Trajektorien klassischer Teilchen darstellen zu können, müssen die Kurven weiterhin hinreichend oft differenzierbar sein. Wir beschränken uns im Folgenden daher auf glatte, also unendlich oft stetig-differenzierbare Kurven und bezeichnen die Menge dieser Kurven mit %%\mathfrak{K}(E^3)%%. In unserem Koordinatensystem können wir dann die Koordinatendarstellung dieser Kurven betrachten, welche die bekannte Form

$$\gamma(t) = (x_\gamma(t), y_\gamma(t), z_\gamma(t))\,,$$

annimmt. Nachdem wir nun geklärt haben, wie wir Kurven im euklidischen Raum formal definieren können, müssen wir nun noch das Konzept der Länge einer Kurve einführen.

Die Länge ist notwendig, da Geraden, also die Trajektorien freier Teilchen, Kurven mit minimaler Länge sind (?; umdrehen). Diese Bedingung wird uns also erlauben, die physikalischen Trajektorien von anderen Kurven zu unterscheiden.

Länge einer Kurve

Die Länge einer Kurve kann durch das Längenfunktional %%\mathcal{L}%% definiert werden (?). Funktional bedeutet, dass es sich um eine Abbildung

$$\mathcal{L} \colon \mathfrak{K}(E^3) \to \mathbb{R}\,,$$

handelt, d.h. jeder Kurve wird eine Zahl, nämlich ihre Länge zugeordnet.

Allgemein nimmt dieses Funktional die einfache Form

$$ \mathcal{L}[\gamma] = \int_\gamma \mathrm{d} s $$

an, wobei %%\mathrm{d}s%% das infinitesimale Wegelement der Kurve entlang der Kurve bezeichnet. (BILD) In unserer Karte können wir dieses Wegelement durch die infinitesimalen Längenelemente %%\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z%% mittels Pythagoras bestimmen als

$$ \mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2\,. $$

Da das Längenfunktional reparametrisierungsinvariant ist (?), können wir den Parameter beliebig wählen, beispielsweise eine der Koordinaten, etwa %%x%%, oder aber den vorher spezifizierten affinen Parameter %%t%%. Wählen wir %%t%%, so ergibt sich nach der Kettenregel das Längenfunktional als (Herleitung einbrinden)

$$ \mathcal{L} = \int_{t_a}^{t_b} \mathrm{d}t \sqrt{ \left(\frac{\mathrm{d}x_\gamma}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y_\gamma}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}z_\gamma}{\mathrm{d}t}\right)^2 } $$

Dies folgt mit %%\mathrm{d}x_i = \dot{x}_i \mathrm{d}t%% aus

$$ \mathrm{d}s^2 = \dot{x}^2\mathrm{d}t^2 + \dot{y}^2\mathrm{d}t^2 + \dot{z}^2\mathrm{d}t^2 $$

und damit

$$ \begin{align} \mathrm{d}s &= \mathrm{d}t \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2} \\ &= \mathrm{d}t \sqrt{g_{ij} \dot{x}^i \dot{x}^j} \end{align} $$

mit %%g_{ij} = \delta_{ij}%%.

Bestimmung von Trajektorien durch Variation

Variation des Längenfunktionals

Mittels Variationsrechnung können wir nun aus dem Längenfunktional %%\mathcal{L}%% Kurven minimaler Länge, also Kandidaten für Geraden, bestimmen. Dadurch erhalten wir dann natürlich auch eine Möglichkeit, die Trajektorien freier Teilchen aus einem Variationsprinzip zu bestimmen.

Variation der Länge

insert computation

Zusammenhang zur kinetischen Energie

  • Alle affin parametrisierten Autoparallelen können auch durch Variation des "quadratischen" Funktionals bestimmt werden
Beweis der Äquivalenz

Der Schlüssel des Beweises liegt in der Beobachtung, dass die Länge %%L = \sqrt{g_{ij} \dot{x}^i \dot{x}^j}%% nur eine Funktion der Koordinaten %%x^i, \dot{x}^i%% ist, und die Eigenschaft %%\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}s} = 0%% erfüllt.

Damit finden wir für die Bewegungsgleichung der quadratischen Funktion %%L^2/2%% dann $$ \frac{\partial (L^2/2)}{\partial x^i} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\frac{\partial (L^2/2)}{\partial \dot{x}^i} = L(\frac{\partial L}{\partial x^i} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i}) - \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}s}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i} = L(\frac{\partial L}{\partial x^i} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i}) $$

Falls also %%L\neq 0%%, so sind beide Bewegungsgleichungen äquivalent.

Der volle Beweis könnte systematisch wie folgt ablaufen:

Annahme: %%x(s)%% erfüllt die Euler-Lagrange Gleichung der Längenfunktion %%L = \sqrt{g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j}%%, wobei %%\dot{x}^i = \frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}s}%%, also $$ \frac{\partial L}{\partial x^i} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^i} = 0\,. $$

Schritt 1: Es gilt die Identität %%\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}s} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i} \dot{x}^i)%% für jede beliebige Funktion %%L(x,\dot{x})%%.

Beweis: Wir berechnen explizit: $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}L = \frac{\partial L}{\partial x^i} \dot{x}^i + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i} \frac{\mathrm{d}\dot{x}^i}{\mathrm{d}s}\,, $$ wobei wir nutzen, dass %%L%% nicht explizit von %%s%% abhängt.

Nun nutzen wir die Bewegungsgleichung aus der Annahme, um den Term mit %%\frac{\partial L}{\partial x^i}%% umzuschreiben. Wir erhalten $$ \frac{\partial L}{\partial x^i} \dot{x}^i + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i} \frac{\mathrm{d}\dot{x}^i}{\mathrm{d}s} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^i})\dot{x}^i + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i} \frac{\mathrm{d}\dot{x}^i}{\mathrm{d}s} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i}\dot{x}^i)\,. $$

Schritt 2: Für %%L = \sqrt{g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j}%% gilt: %%\frac{\partial(L^2/2)}{\partial\dot{x}^i}\dot{x}^i = L^2%%.

Beweis: Explizite Rechnung zeigt $$ \frac{\partial(L^2/2)}{\partial\dot{x}^i}\dot{x}^i = g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j = L^2\,. $$

Schritt 3: Wir berechnen %%\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}L = 0%%.

Beweis: Wir nutzen Identität 1 $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} (L^2/2) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(\frac{\partial (L^2/2)}{\partial \dot{x}^i}\dot{x}^i) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} L^2\,. $$ Damit finden wir %%\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}L^2 = 0%%, und daher für %%L\neq 0%% das gewünschte Resultat %%\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}L = 0%%.

Schritt 4: Berechnen der Bewegungsgleichung für %%L^2%% zeigt Äquivalenz zur Bewegungsgleichung von %%L%%.

Beweis: Wir berechnen $$ \frac{\partial (L^2/2)}{\partial x^i} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\frac{\partial (L^2/2)}{\partial \dot{x}^i} = L(\frac{\partial L}{\partial x^i} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i}) - \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}s}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i} $$ Wir nutzen %%\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}L = 0%% $$ = L(\frac{\partial L}{\partial x^i} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i}) $$ und nutzen die Bewegungsgleichung aus der Annahme, um zu zeigen, dass die Bewegungsgleichung für %%L^2%% erfüllt ist.

  • Reskalierung dieses Funktionals gibt die kinetische Energie

  • Folgerung: Variation der kinetischen Energie gibt die Trajektorien freier Teilchen

Bewegung in Potentialen

  • Newton-Gleichung mit Kraftterm, konservatives Kraftfeld, Definition des Potentials

  • Hinzufügen des Potentialterms im Variationsprinzip: Potentiale haben gleiche Dimension wie kinetische Energie, also Versuch %%L = T + \alpha U%%.

  • Variation dieses Funktionals und Vergleich mit Newton gibt %%\alpha = -1%%

Wirkungsprinzip

  • Formulierung als Axiom

Alter Inhalt

Die Formulierung der klassischen Mechanik nach Lagrange erlaubt es, die Bewegungsgleichungen eines mechanischen Systems mithilfe der Variationsrechnung aus dem Hamiltonschen Prinzip extremaler Wirkung herzuleiten, Ausgangspunkt ist die Lagrange-Funktion. Der Lagrange-Formalismus ist invariant unter Koordinatentransformationen, wodurch die Berücksichtigung von Zwangskräften einfacher ist als in der Newtonschen Mechanik.

Der quantenmechanische Pfadintegral-Formalismus nach Feynman basiert auf den selben Grundideen wie die Mechanik nach Lagrange.

Variationsprinzip

Herleitung der Lagrange-Gleichungen

Gegeben sei ein mechanisches System, das zu den Zeitpunkten %%t_1%% und %%t_2%% die Lagen %%\mathbf{q}(t_1)=\mathbf{q}_1%% und %%\mathbf{q}(t_2)=\mathbf{q}_2%% einnehme. Das Hamiltonsche Prinzip besagt, dass die Bewegung zwischen diesen beiden Punkten so verläuft, dass die Wirkung

$$S=\int_{t_1}^{t_2}\;L(\mathbf q,\dot{\mathbf q},t)\;\mathrm dt$$

extremal ist. D.h. wenn %%\mathbf{q}(t)%% gerade diese Bahnkurve ist, bei der das Wirkungsfunktional %%S%% minimal (maximal) ist, dann führt jede noch so kleine Variation %%\delta\mathbf{q}(t)%% zu der neuen Trajektorie

$$\mathbf q(t)+\delta\mathbf q(t)$$

mit einer größeren (kleineren) Wirkung. Mithilfe der Variationsrechnung soll nun eine Differentialgleichung für die Bewegung des Systems gefunden werden, deren Lösung gerade die Bahn mit extremaler Wirkung ist.

Um die durch Variation veränderten Bahnkurven untereinander zu vergleichen, müssen sie dieselben Anfangs- und Endpunkte durchlaufen, also

$$\delta\mathbf q(t_1)=\delta\mathbf q(t_2)=0.$$

Mit %%\mathbf{q}%% und %%\dot{\mathbf{q}}%% als voneinander unabhängigen Variablen, ist die Bedingung dafür, dass %%S%% extremal ist, das Verschwinden der Variation des Integrals,

$$\delta S=\delta\int_{t_1}^{t_2}\;L(\mathbf q,\dot{\mathbf q},t)\;\mathrm dt=\int_{t_1}^{t_2}\;\left(\frac{\partial L}{\partial\mathbf q}\,\delta\mathbf q+\frac{\partial L}{\partial\dot{\mathbf q}}\,\delta\dot{\mathbf q}\right)\;\mathrm dt=0,$$

wobei %%\delta\dot{\mathbf{q}}=\frac{\partial}{\partial t}\, \delta \mathbf{q}%% ist.

Eine zweckmäßigere Form des Extremalprinzips erhält man durch die partielle Integration des zweiten Terms im Integranden,

$$\delta S=\frac{\partial L}{\partial\dot{\mathbf q}}\delta\mathbf q\vert_{t_1}^{t_2}\:+\int_{t_1}^{t_2}\;\left(\frac{\partial L}{\partial\mathbf q}-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{\mathbf q}}\right)\delta\mathbf q\;\mathrm dt=0.$$

Der erste Term entfällt wegen der Bedingung, dass die Variation an Anfangs- und Endpunkte verschwinden soll. Es bleibt nur das Integral übrig, das für beliebige Werte von %%\delta\mathbf{q}%% gleich Null sein soll. Dies ist nur möglich, wenn der Integrand bereits Null ist, d.h.

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{\mathbf q}}-\frac{\partial L}{\partial\mathbf q}=0.$$

Diese Differentialgleichung, die das Extremum der Wirkung definiert, ist gerade die Euler-Lagrange-Gleichung. Sie ist die Bewegungsgleichung des mechanischen Systems. Bei mehr als einem Freiheitsgrad ergibt sich ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit den Koordinaten als Unbekannten.

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