Aufgabenstellung

$1$Eine erste Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet die Funktion $p:x\mapsto -\mathrm{0,2}{x}^2+5$ mit Definitionsbereich $D_p=[-5;5]$

$a)$ Zeigen Sie, dass die Bedingungen I und II in diesem Modell erfüllt sind. Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, unter dem bei dieser Modellierung die linke Tunnelwand auf den Tunnelboden trifft. (6 BE)

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen nun den Abstand $d(x)$ der Graphenpunkte $P_x(x|p(x))$ vom Ursprung des Koordinatensystems.

$b)$Zeigen Sie, dass $d(x)=\sqrt{\mathrm{0,04}{x}^4-x^2+25}$ gilt. (3 BE)

Es gibt Punkte des Querschnitts der Tunnelwand, deren Abstand zu M minimal ist. Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte $P_x$, für die $d(x)$ minimal ist, und geben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an. (5 BE)

Lösung

Es handelt sich um ein Extremwertproblem. Berechne daher die erste Ableitung.

$d^{\prime }(x)=\mathrm{0,5}\cdot (\mathrm{0,04}{x}^4-x^2+25{)}^{-\mathrm{0,5}}\cdot (\mathrm{0,16}{x}^3-2x)=\frac{2\cdot (\mathrm{0,16}{x}^3-2x)}{\sqrt{\mathrm{0,04}{x}^4-x^2+25}}$

Finde die Extremstellen, indem du die Ableitung gleich $0$ setzt.

$\begin{array}{rll}{d}^{\prime }(x)& =& 0\\ \frac{2\cdot (\mathrm{0,16}{x}^3-2x)}{\sqrt{\mathrm{0,04}{x}^4-x^2+25}}& =& 0\\ 2\cdot (\mathrm{0,16}{x}^3-2x)& =& 0\\ \mathrm{0,32}{x}^3-4x& =& 0\\ x\cdot (\mathrm{0,32}{x}^2-4)& =& 0\end{array}$

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass man die einzelnen Faktoren $0$ setzen darf, um nach $x$ aufzulösen.

$\begin{array}{rrl}{x}_1& =& 0\\ \mathrm{0,32}{x}^2-4& =& 0& |+4\\ \mathrm{0,32}{x}^2& =& 4& |:\mathrm{0,32}\\ x^2& =& 4:\mathrm{0,32}& =\mathrm{12,5}\\ x_2& =& -\sqrt{\mathrm{12,5}}& =-\mathrm{3,53}\dots \\ x_3& =& \sqrt{\mathrm{12,5}}=& \mathrm{3,53}\dots \end{array}$

Nun setzt man die erhaltenen $x$-Werte der Extremstellen in die Funktion $d(x)$ ein, um die zugehörigen Abstände zu erhalten und damit außerdem festzustellen, wo es sich um Minima handelt.

$\begin{array}{l}d(0)=\sqrt{\mathrm{0,04}\cdot 0^4-0^2+25}=5\\ d(-\sqrt{\mathrm{12,5}})=\sqrt{\mathrm{0,04}\cdot (-\sqrt{\mathrm{12,5}}{)}^4-(-\sqrt{\mathrm{12,5}}{)}^2+25}=\mathrm{4,33}\dots \\ d(\sqrt{\mathrm{12,5}})=\sqrt{\mathrm{0,04}\cdot (\sqrt{\mathrm{12,5}}{)}^4-(\sqrt{\mathrm{12,5}}{)}^2+25}=\mathrm{4,33}\dots \\ \end{array}$

Damit sieht man, dass die Werte für $-\sqrt{\mathrm{12,5}}$ und $\sqrt{\mathrm{12,5}}$ kleiner sind als der von $x=0$. Damit sind die minimalen Abstände an den Stellen $x=-\sqrt{\mathrm{12,5}}$ und $x=\sqrt{\mathrm{12,5}}$ und betragen ca. $\mathrm{4,3}m$.

$2$Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ $k:x\mapsto 5\cdot cos(c\cdot x)$ mit $c\in ℝ$ und Definitionsbereich $D_k=[-5;5]$, bei der offensichtlich Bedingung II erfüllt ist.

$a)$ Bestimmen Sie c so, dass auch Bedingung I erfüllt ist, und berechnen Sie damit den Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels. (5 BE)

(zur Kontrolle: $c=\frac{\pi }{10}$, Inhalt der Querschnittsfläche: $\frac{100}{\pi }{m}^2$)

$b)$Zeigen Sie, dass Bedingung III weder bei einer Modellierung mit p aus Aufgabe 1 noch bei einer Modellierung mit k erfüllt ist. (2 BE)

Aufgabenstellung

$2$Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ $k:x\mapsto 5\cdot cos(c\cdot x)$ mit $c\in ℝ$ und Definitionsbereich $D_k=[-5;5]$, bei der offensichtlich Bedingung II erfüllt ist.

Bestimmen Sie c so, dass auch Bedingung I erfüllt ist, und berechnen Sie damit den Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels. (5 BE)

(zur Kontrolle: $c=\frac{\pi }{10}$, Inhalt der Querschnittsfläche: $\frac{100}{\pi }{m}^2$)

Aufgabenstellung

Bestimmung der Variable c

Die Bedingung I besagt, dass die Breite des Tunnels $10m$ betragen soll. Das heißt, der Abstand zwischen der Nullstelle links und rechts vom Ursprung muss auch $10m$ betragen und der Abstand einer der Nullstellen zum Ursprung genau $5m$.

$\begin{array}{rll}k(5)& =& 0\\ 5\cdot cos(c\cdot 5)& =& 0|:5\\ cos(5c)& =& 0\end{array}$

Der Kosinus besitzt seine erste Nullstelle bei $\frac{\pi }{2}$. Also setzt man das "Innere" des Kosinus gleich $\frac{\pi }{2}$.

$\begin{array}{rll}5c& =& \frac{\pi }{2}|:5\\ c& =& \frac{\pi }{10}\end{array}$

Man erhält also das Kontrollergebnis für $c$.

Flächeninhalt der Querschnittsfläche

Wegen Bedingung I weiß man, dass die Nullstellen bei $x=-5$ und $x=5$ sind. Für die Fläche muss man die Funktion von der ersten bis zur zweiten Nullstelle integrieren.

$\begin{array}{l}{\int }_{-5}^{5}5\cdot cos(\frac{\pi }{10}\cdot x)dx=5{\int }_{-5}^{5}cos(\frac{\pi }{10}\cdot x)dx=5\cdot [sin(\frac{\pi }{10}\cdot x)\cdot \frac{10}{\pi }{]}_{-5}^5=\\ 5\cdot (sin(\frac{\pi }{10}\cdot 5)\cdot \frac{10}{\pi }-sin(\frac{\pi }{10}\cdot (-5))\cdot \frac{10}{\pi })=\frac{50}{\pi }\cdot (sin(\frac{\pi }{2})-sin(-\frac{\pi }{2}))=\frac{50}{\pi }\cdot (1-(-1))=\frac{50}{\pi }\cdot 2=\frac{100}{\pi }\end{array}$

Damit hat man das Kontrollergebnis erhalten.

Aufgabenstellung

$2$Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ $k:x\mapsto 5\cdot cos(c\cdot x)$ mit $c\in ℝ$ und Definitionsbereich $D_k=[-5;5]$, bei der offensichtlich Bedingung II erfüllt ist.

$a)$ Bestimmen Sie c so, dass auch Bedingung I erfüllt ist, und berechnen Sie damit den Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels. (5 BE)

(zur Kontrolle: $c=\frac{\pi }{10}$, Inhalt der Querschnittsfläche: $\frac{100}{\pi }{m}^2$)

Zeigen Sie, dass Bedingung III weder bei einer Modellierung mit p aus Aufgabe 1 noch bei einer Modellierung mit k erfüllt ist. (2 BE)

Lösung

Bedingung III ist bei p nicht erfüllt

$p:x\mapsto -\mathrm{0,2}{x}^2+5$ und Bedingung III: Der Tunnel ist auf einer Breite von mindestens 6 m mindestens 4 m hoch.

Das heißt, die Funktion müsste an der Stelle $x=6:2=3$ noch mindestens $4m$ hoch sein. Das testet man, indem man $x=3$ in die Funktion einsetzt.

$p(3)=-\mathrm{0,2}\cdot 3^2+5=-\mathrm{1,8}+5=\mathrm{3,2}<4$

Man sieht, dass die Bedingung nicht erfüllt ist.

Bedingung III ist bei k nicht erfüllt

Man geht genauso vor wie für p.

$k(3)=5\cdot cos(\frac{\pi }{10}\cdot 3)=\mathrm{2,9389}\dots <4$

Man sieht, dass auch hier die Bedinung nicht erfüllt wird.

$3$Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion $f:x\mapsto \sqrt{25-x^2}$ mit Definitionsbereich $D_f=[-5;5]$.

$a)$ Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand $5m$ hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: $5\le x\le 9$, $1\le y\le 13$) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist. (5 BE)

Betrachtet wird nun die Integralfunktion $F:x\mapsto {\int }_0^{x}f(t)dt$ mit Definitionsbereich $D_F=[-5;5]$.

$b)$Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass $F(5)=\frac{25}{4}\pi$ gilt. Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von F. Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen. (5 BE)

$c)$ Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit $f$ von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht. (2 BE)

Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade g mit der Gleichung $y=-\frac{4}{3}x+12$ modelliert.

$d)$Zeigen Sie, dass die Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $R(4|f(4))$ parallel zu $g$ verläuft. Zeichnen Sie $g$ und $t$ in das Koordinatensystem aus Aufgabe 3a ein. (4 BE)

$e)$ Der Punkt $R$ aus Aufgabe 3d entspricht demjenigen Punkt der Tunnelwand, der im betrachteten Querschnitt vom Hangprofil den kleinsten Abstand $e$ in Metern hat. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines Verfahrens zur rechnerischen Ermittlung von $e$. (3 BE)

Aufgabenstellung

$3$Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion $f:x\mapsto \sqrt{25-x^2}$ mit Definitionsbereich $D_f=[-5;5]$.

Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand $5m$ hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: $5\le x\le 9$, $1\le y\le 13$) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist. (5 BE)

Lösung

Jeder Punkt hat den Abstand $5m$ zur Bodenmitte

Den Abstand kann man ähnlich wie bei 1b über den Satz des Pythagoras berechnen.

$\begin{array}{rll}q(x{)}^2& =& x^2+f(x{)}^2\\ q(x)& =& \sqrt{x^2+(\sqrt{25-x^2}{)}^2}\\ & =& \sqrt{x^2+25-x^2}\\ & =& \sqrt{25}=5\end{array}$

Damit hat man ausgerechnet, dass der Abstand von Punkt zur Bodenmitte immer $5m$ beträgt.

Graph in Koordinatensystem zeichnen

Bedingung III ist erfüllt

Gehe dazu vor wie bei Aufgabe 2b.

$f(3)=\sqrt{25-3^2}=\sqrt{16}=4$

Die Funktion ist, wie man an dem Graphen sieht, punktsymmetrisch. An der Stelle $x=3$ ist noch mind. $4m$ hoch, damit auch an der Stelle $x=-3$ und erfüllt damit die Bedingung III.

Aufgabenstellung

$3$Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion $f:x\mapsto \sqrt{25-x^2}$ mit Definitionsbereich $D_f=[-5;5]$.

$a)$ Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand $5m$ hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: $5\le x\le 9$, $1\le y\le 13$) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist. (5 BE)

Betrachtet wird nun die Integralfunktion $F:x\mapsto {\int }_0^{x}f(t)dt$ mit Definitionsbereich $D_F=[-5;5]$.

Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass $F(5)=\frac{25}{4}\pi$ gilt. Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von F. Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen. (5 BE)

Lösung

$F(5)=\frac{25}{4}\pi$

Überlege dir zuerst, wofür $F(5)$ steht

$F(5)=F:x\mapsto {\int }_0^{5}f(t)dt$

$F(5)$ steht also für die Fläche unter dem Graphen von $x=0$ bis $x=5$. Wie man an dem Graphen von 3a sehen kann, handelt es sich dabei um einen Viertelkreis mit Radius $5m$. Berechne den Flächeninhalt.

$F(5)=\frac{1}{4}\cdot 5^2\pi =\frac{25}{4}\pi$

Damit ist das Kontrollergebnis bestätigt.

Auswahl des richtigen Graphen

Man könnte sich zuerst überlegen, ob die Funktion $F(x)$ links des Ursprungs positiv oder negativ sein muss.

Sie muss negativ sein, weil die Fläche zwar oberhalb der $x$-Achse ist, aber man in negative Richtung integriert. Damit scheidet der Graph B aus, weil hier die Funktion links des Ursprungs positiv ist.

Also kommen nur noch die Graphen A und C in Frage. Bei Graph A ist der Flächenzuwachs erst groß und wird dann abgeschwächt, bei Graph C ist es umgekehrt. Überlege, was zutrifft.

Bei einem Kreis ist die Fläche um den Ursprung mehr als am Rand (siehe Graph 3a), das heißt, dass der Flächenzuwachs am Anfang groß ist und dann abnimmt.

Damit ist Graph A richtig und Graph C falsch.

Aufgabenstellung

$3$Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion $f:x\mapsto \sqrt{25-x^2}$ mit Definitionsbereich $D_f=[-5;5]$.

$a)$ Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand $5m$ hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: $5\le x\le 9$, $1\le y\le 13$) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist. (5 BE)

Betrachtet wird nun die Integralfunktion $F:x\mapsto {\int }_0^{x}f(t)dt$ mit Definitionsbereich $D_F=[-5;5]$.

$b)$Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass $F(5)=\frac{25}{4}\pi$ gilt. Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von F. Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen. (5 BE)

Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit $f$ von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht. (2 BE)

Lösung

Fläche aus 2a: $\frac{100}{\pi }$ Fläche bei Modellierung mit $f$: $\frac{25}{4}\pi$

Die Abweichung in Prozent berechnet man, indem man die Differenz der Werte durch den "ursprünglichen" Wert (also den der Aufgabe 2a) teilt.

$\frac{\frac{100}{\pi }-\frac{25}{4}\pi }{\frac{100}{\pi }}=\mathrm{0,3831}\dots$

Die Abweichung beträgt also ca. $38\%$

Aufgabenstellung

$3$Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion $f:x\mapsto \sqrt{25-x^2}$ mit Definitionsbereich $D_f=[-5;5]$.

$a)$ Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand $5m$ hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: $5\le x\le 9$, $1\le y\le 13$) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist. (5 BE)

Betrachtet wird nun die Integralfunktion $F:x\mapsto {\int }_0^{x}f(t)dt$ mit Definitionsbereich $D_F=[-5;5]$.

$b)$Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass $F(5)=\frac{25}{4}\pi$ gilt. Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von F. Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen. (5 BE)

$c)$ Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit $f$ von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht. (2 BE)

Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade g mit der Gleichung $y=-\frac{4}{3}x+12$ modelliert.

Zeigen Sie, dass die Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $R(4|f(4))$ parallel zu $g$ verläuft. Zeichnen Sie $g$ und $t$ in das Koordinatensystem aus Aufgabe 3a ein. (4 BE)

Lösung

Tangente $t$ verläuft parallel zu $g$

Um Parallelität zu prüfen, muss man die Steigung der Tangente $t$ berechnen. Dazu bildet man die erste Ableitung und setzt ein.

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\cdot (25-x^2{)}^{-\frac{1}{2}}(-2x)\\ =-x\cdot (25-x^2{)}^{-\frac{1}{2}}\\ f^{\prime }(4)=-4\cdot (25-4^2{)}^{-\frac{1}{2}}=-\frac{4}{\sqrt{9}}=-\frac{4}{3}\end{array}$

Die Steigungen von $t$ und $g$ stimmen also überein, also sind sie parallel.

Einzeichnen von $g$ und $t$

Dazu benötigt man die Geradengleichung von $t$. Berechne dazu erst den Punkt $R$.

$f(4)=\sqrt{25-4^2}=\sqrt{9}=3$

Der Punkt $R$ hat also die Koordinaten $(4|3)$. Setze diese in die Geradengleichung ein und berechne den $y$-Achsenabschnitt von $t$.

$\begin{array}{rll}y& =& -\frac{4}{3}x+b\\ 3& =& -\frac{4}{3}\cdot 4+b\\ 3+\frac{16}{3}& =& b\\ b& =& \frac{25}{3}\end{array}$

Die Geradengleichung von $t$ ist also $y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}$. Mit diesen Infos kannst du die Geraden einzeichnen.

Aufgabenstellung

$3$Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion $f:x\mapsto \sqrt{25-x^2}$ mit Definitionsbereich $D_f=[-5;5]$.

$a)$ Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand $5m$ hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: $5\le x\le 9$, $1\le y\le 13$) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist. (5 BE)

Betrachtet wird nun die Integralfunktion $F:x\mapsto {\int }_0^{x}f(t)dt$ mit Definitionsbereich $D_F=[-5;5]$.

$b)$Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass $F(5)=\frac{25}{4}\pi$ gilt. Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von F. Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen. (5 BE)

$c)$ Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit $f$ von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht. (2 BE)

Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade g mit der Gleichung $y=-\frac{4}{3}x+12$ modelliert.

$d)$Zeigen Sie, dass die Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $R(4|f(4))$ parallel zu $g$ verläuft. Zeichnen Sie $g$ und $t$ in das Koordinatensystem aus Aufgabe 3a ein. (4 BE)

Der Punkt $R$ aus Aufgabe 3d entspricht demjenigen Punkt der Tunnelwand, der im betrachteten Querschnitt vom Hangprofil den kleinsten Abstand $e$ in Metern hat. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines Verfahrens zur rechnerischen Ermittlung von $e$. (3 BE)

Lösung

Für den kleinsten Abstand braucht man die Lotgerade von R auf g. Die Steigung ist die Normalensteigung und wird mit Hilfe der Formel $m_N=-\frac{1}{m_g}$ berechnet. Dann setzt man den Punkt $R$ ein und berechnet den $y$-Achsenabschnitt. Damit hat man die Lotgerade. Nun muss man den Schnittpunkt der Lotgerade mit $g$ berechnen. Als Letztes berchnet man den Abstand von dem Schnittpunkt zu $R$.