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Kurs

Analysis - Prüfungsteil B Aufgabengruppe 2

1 Lösung 1c

Aufgabenstellung

11Eine erste Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet die Funktion p:x  0,2x2+5p: x \mapsto \; -0{,}2x^2+5 mit Definitionsbereich Dp=[5;5]D_p=[-5;5]

 

a)a) Zeigen Sie, dass die Bedingungen I und II in diesem Modell erfüllt sind. Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, unter dem bei dieser Modellierung die linke Tunnelwand auf den Tunnelboden trifft. (6 BE)

 

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen nun den Abstand d(x)d(x) der Graphenpunkte Px(xp(x))P_x(x|p(x)) vom Ursprung des Koordinatensystems.

 

b)b)Zeigen Sie, dass d(x)=0,04x4x2+25d(x)=\sqrt{0{,}04x^4-x^2+25} gilt. (3 BE)

c)c)

Es gibt Punkte des Querschnitts der Tunnelwand, deren Abstand zu M minimal ist. Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte PxP_x, für die d(x)d(x) minimal ist, und geben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an. (5 BE)

Lösung

Es handelt sich um ein Extremwertproblem. Berechne daher die erste Ableitung.

d(x)=0,5(0,04x4x2+25)0,5(0,16x32x)=2(0,16x32x)0,04x4x2+25d'(x)=0{,}5\cdot(0{,}04x^4-x^2+25)^{-0{,}5}\cdot(0{,}16x^3-2x)=\frac{2\cdot(0{,}16x^3-2x)}{\sqrt{0{,}04x^4-x^2+25}}

Finde die Extremstellen, indem du die Ableitung gleich 00 setzt.

d(x)=02(0,16x32x)0,04x4x2+25=02(0,16x32x)=00,32x34x=0x(0,32x24)=0\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}d'(x)&=& 0 \\\frac{2\cdot(0{,}16x^3-2x)}{\sqrt{0{,}04x^4-x^2+25}}&= &0 \\2\cdot(0{,}16x^3-2x)&= &0\\0{,}32x^3-4x&=& 0 \\x\cdot(0{,}32x^2-4)&= &0\end{array}

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass man die einzelnen Faktoren 00 setzen darf, um nach xx aufzulösen.

x1=00,32x24=0+40,32x2=4:0,32x2=4:0,32=12,5x2=12,5=3,53x3=12,5=3,53\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}x_1&=&0\\0{,}32x^2-4&=&0&|+4\\0{,}32x^2&=& 4 &|:0{,}32\\x^2&=&4:0{,}32&=12{,}5\\x_2&=&-\sqrt{12{,}5}&=-3{,}53…\\x_3&=&\sqrt{12{,}5}=&3{,}53…\end{array}

Nun setzt man die erhaltenen xx-Werte der Extremstellen in die Funktion d(x)d(x) ein, um die zugehörigen Abstände zu erhalten und damit außerdem festzustellen, wo es sich um Minima handelt.

d(0)=0,040402+25=5d(12,5)=0,04(12,5)4(12,5)2+25=4,33d(12,5)=0,04(12,5)4(12,5)2+25=4,33d(0)=\sqrt{0{,}04\cdot0^4-0^2+25}=5\\d(-\sqrt{12{,}5})=\sqrt{0{,}04\cdot(-\sqrt{12{,}5})^4-(-\sqrt{12{,}5})^2+25}=4{,}33…\\d(\sqrt{12{,}5})=\sqrt{0{,}04\cdot(\sqrt{12{,}5})^4-(\sqrt{12{,}5})^2+25}=4{,}33…\\

Damit sieht man, dass die Werte für 12,5-\sqrt{12{,}5} und 12,5\sqrt{12{,}5} kleiner sind als der von x=0x=0. Damit sind die minimalen Abstände an den Stellen x=12,5x=-\sqrt{12{,}5} und x=12,5x=\sqrt{12{,}5} und betragen ca. 4,3m4{,}3m.

2 Aufgabe 2 - Aufgabenstellung

22Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ k:x5cos(cx)k: x \mapsto 5\cdot cos(c\cdot x) mit cRc\in\mathbb{R} und Definitionsbereich Dk=[5;5]D_k=[-5;5], bei der offensichtlich Bedingung II erfüllt ist.

 

a)a) Bestimmen Sie c so, dass auch Bedingung I erfüllt ist, und berechnen Sie damit den Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels. (5 BE)

 

(zur Kontrolle: c=π10c=\frac{\pi}{10}, Inhalt der Querschnittsfläche: 100πm2\frac{100}{\pi}m^2)

 

b)b)Zeigen Sie, dass Bedingung III weder bei einer Modellierung mit p aus Aufgabe 1 noch bei einer Modellierung mit k erfüllt ist. (2 BE)

3 Lösung 2a

Aufgabenstellung

22Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ k:x5cos(cx)k: x \mapsto 5\cdot cos(c\cdot x) mit cRc\in\mathbb{R} und Definitionsbereich Dk=[5;5]D_k=[-5;5], bei der offensichtlich Bedingung II erfüllt ist.

a)a)

Bestimmen Sie c so, dass auch Bedingung I erfüllt ist, und berechnen Sie damit den Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels. (5 BE)

 

(zur Kontrolle: c=π10c=\frac{\pi}{10}, Inhalt der Querschnittsfläche: 100πm2\frac{100}{\pi}m^2)

Aufgabenstellung

Bestimmung der Variable c

Die Bedingung I besagt, dass die Breite des Tunnels 10m10m betragen soll. Das heißt, der Abstand zwischen der Nullstelle links und rechts vom Ursprung muss auch 10m10m betragen und der Abstand einer der Nullstellen zum Ursprung genau 5m5m.

k(5)=05cos(c5)=0:5cos(5c)=0\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}k(5)&=&0\\5\cdot cos(c\cdot 5)&=& 0 \quad|:5\\cos(5c)&=&0\end{array}

Der Kosinus besitzt seine erste Nullstelle bei π2\frac{\pi}{2}. Also setzt man das "Innere" des Kosinus gleich π2\frac{\pi}{2}.

5c=π2:5c=π10\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl} 5c &=& \frac{\pi}{2} \quad |:5\\c&=&\frac{\pi}{10}\end{array}

Man erhält also das Kontrollergebnis für cc.

Flächeninhalt der Querschnittsfläche

Wegen Bedingung I weiß man, dass die Nullstellen bei x=5x=-5 und x=5x=5 sind. Für die Fläche muss man die Funktion von der ersten bis zur zweiten Nullstelle integrieren.

555cos(π10x)dx=555cos(π10x)dx=5[sin(π10x)10π]55=5(sin(π105)10πsin(π10(5))10π)=50π(sin(π2)sin(π2))=50π(1(1))=50π2=100π\int_{-5}^{5} 5\cdot cos(\frac{\pi}{10}\cdot x) dx = 5\int_{-5}^{5} cos(\frac{\pi}{10}\cdot x) dx = 5 \cdot [sin(\frac{\pi}{10}\cdot x)\cdot\frac{10}{\pi}]_{-5}^{5}= \\ 5\cdot (sin(\frac{\pi}{10}\cdot 5)\cdot\frac{10}{\pi}-sin(\frac{\pi}{10}\cdot (-5))\cdot\frac{10}{\pi})=\frac{50}{\pi} \cdot (sin(\frac{\pi}{2})-sin(-\frac{\pi}{2}))= \frac{50}{\pi} \cdot (1-(-1))=\frac{50}{\pi} \cdot2 = \frac{100}{\pi}

 

Damit hat man das Kontrollergebnis erhalten.

4 Lösung 2b

Aufgabenstellung

22Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ k:x5cos(cx)k: x \mapsto 5\cdot cos(c\cdot x) mit cRc\in\mathbb{R} und Definitionsbereich Dk=[5;5]D_k=[-5;5], bei der offensichtlich Bedingung II erfüllt ist.

 

a)a) Bestimmen Sie c so, dass auch Bedingung I erfüllt ist, und berechnen Sie damit den Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels. (5 BE)

 

(zur Kontrolle: c=π10c=\frac{\pi}{10}, Inhalt der Querschnittsfläche: 100πm2\frac{100}{\pi}m^2)

b)b)

Zeigen Sie, dass Bedingung III weder bei einer Modellierung mit p aus Aufgabe 1 noch bei einer Modellierung mit k erfüllt ist. (2 BE)

Lösung

Bedingung III ist bei p nicht erfüllt

p:x  0,2x2+5p: x \mapsto \; -0{,}2x^2+5 und Bedingung III: Der Tunnel ist auf einer Breite von mindestens 6 m mindestens 4 m hoch.

Das heißt, die Funktion müsste an der Stelle x=6:2=3x=6:2=3 noch mindestens 4m4m hoch sein. Das testet man, indem man x=3x=3 in die Funktion einsetzt.

p(3)=0,232+5=1,8+5=3,2<4p(3)=-0{,}2\cdot 3^2+5=-1{,}8+5=3{,}2<4

Man sieht, dass die Bedingung nicht erfüllt ist.

Bedingung III ist bei k nicht erfüllt

Man geht genauso vor wie für p.

k(3)=5cos(π103)=2,9389<4k(3)=5\cdot cos(\frac{\pi}{10}\cdot 3)=2{,}9389…<4

Man sieht, dass auch hier die Bedinung nicht erfüllt wird.

5 Aufgabe 3 - Aufgabenstellung

33Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion f:x25x2f: x\mapsto \sqrt{25-x^2} mit Definitionsbereich Df=[5;5]D_f=[-5;5].

 

a)a) Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand 5m5 m hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: 5x95\le x\le 9, 1y131\le y\le 13) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist. (5 BE)

 

Betrachtet wird nun die Integralfunktion F:x0xf(t)dtF: x\mapsto \int_{0}^{x} f(t) dt mit Definitionsbereich DF=[5;5]D_F=[-5;5].

 

b)b)Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass F(5)=254πF(5)=\frac{25}{4}\pi gilt. Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von F. Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen. (5 BE)

Bild

c)c) Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit ff von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht. (2 BE)

 

Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade g mit der Gleichung y=43x+12y=-\frac{4}{3}x+12 modelliert.

 

d)d)Zeigen Sie, dass die Tangente tt an den Graphen von ff im Punkt R(4f(4))R(4|f(4)) parallel zu gg verläuft. Zeichnen Sie gg und tt in das Koordinatensystem aus Aufgabe 3a ein. (4 BE)

 

e)e) Der Punkt RR aus Aufgabe 3d entspricht demjenigen Punkt der Tunnelwand, der im betrachteten Querschnitt vom Hangprofil den kleinsten Abstand ee in Metern hat. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines Verfahrens zur rechnerischen Ermittlung von ee. (3 BE)

6 Lösung 3a

Aufgabenstellung

33Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion f:x25x2f: x\mapsto \sqrt{25-x^2} mit Definitionsbereich Df=[5;5]D_f=[-5;5].

a)a)

Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand 5m5 m hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: 5x95\le x\le 9, 1y131\le y\le 13) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist. (5 BE)

Lösung

Jeder Punkt hat den Abstand 5m5m zur Bodenmitte

Den Abstand kann man ähnlich wie bei 1b über den Satz des Pythagoras berechnen.

q(x)2=x2+f(x)2q(x)=x2+(25x2)2=x2+25x2=25=5\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl} q(x)^2&=&x^2+f(x)^2\\q(x)&=&\sqrt{x^2+(\sqrt{25-x^2})^2}\\&=&\sqrt{x^2+25-x^2}\\&=&\sqrt{25}=5\end{array}

Damit hat man ausgerechnet, dass der Abstand von Punkt zur Bodenmitte immer 5m5m beträgt.

Graph in Koordinatensystem zeichnen
Bild
Bedingung III ist erfüllt

Gehe dazu vor wie bei Aufgabe 2b.

f(3)=2532=16=4f(3)=\sqrt{25-3^2}=\sqrt{16}=4

Die Funktion ist, wie man an dem Graphen sieht, punktsymmetrisch. An der Stelle x=3x=3 ist noch mind. 4m4m hoch, damit auch an der Stelle x=3x=-3 und erfüllt damit die Bedingung III.

7 Lösung 3b

Aufgabenstellung

33Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion f:x25x2f: x\mapsto \sqrt{25-x^2} mit Definitionsbereich Df=[5;5]D_f=[-5;5].

 

a)a) Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand 5m5 m hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: 5x95\le x\le 9, 1y131\le y\le 13) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist. (5 BE)

 

Betrachtet wird nun die Integralfunktion F:x0xf(t)dtF: x\mapsto \int_{0}^{x} f(t) dt mit Definitionsbereich DF=[5;5]D_F=[-5;5].

b)b)

Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass F(5)=254πF(5)=\frac{25}{4}\pi gilt. Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von F. Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen. (5 BE)

Bild

Lösung

F(5)=254πF(5)=\frac{25}{4}\pi
Bild

Überlege dir zuerst, wofür F(5)F(5) steht

F(5)=F:x05f(t)dtF(5)=F: x\mapsto \int_{0}^{5} f(t) dt

F(5)F(5) steht also für die Fläche unter dem Graphen von x=0x=0 bis x=5x=5. Wie man an dem Graphen von 3a sehen kann, handelt es sich dabei um einen Viertelkreis mit Radius 5m5m. Berechne den Flächeninhalt.

F(5)=1452π=254πF(5)=\frac{1}{4}\cdot 5^2\pi=\frac{25}{4}\pi

Damit ist das Kontrollergebnis bestätigt.

Auswahl des richtigen Graphen

Man könnte sich zuerst überlegen, ob die Funktion F(x)F(x) links des Ursprungs positiv oder negativ sein muss.

Sie muss negativ sein, weil die Fläche zwar oberhalb der xx-Achse ist, aber man in negative Richtung integriert. Damit scheidet der Graph B aus, weil hier die Funktion links des Ursprungs positiv ist.

Also kommen nur noch die Graphen A und C in Frage. Bei Graph A ist der Flächenzuwachs erst groß und wird dann abgeschwächt, bei Graph C ist es umgekehrt. Überlege, was zutrifft.

Bei einem Kreis ist die Fläche um den Ursprung mehr als am Rand (siehe Graph 3a), das heißt, dass der Flächenzuwachs am Anfang groß ist und dann abnimmt.

Damit ist Graph A richtig und Graph C falsch.

8 Lösung 3c

Aufgabenstellung

33Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion f:x25x2f: x\mapsto \sqrt{25-x^2} mit Definitionsbereich Df=[5;5]D_f=[-5;5].

 

a)a) Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand 5m5 m hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: 5x95\le x\le 9, 1y131\le y\le 13) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist. (5 BE)

 

Betrachtet wird nun die Integralfunktion F:x0xf(t)dtF: x\mapsto \int_{0}^{x} f(t) dt mit Definitionsbereich DF=[5;5]D_F=[-5;5].

 

b)b)Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass F(5)=254πF(5)=\frac{25}{4}\pi gilt. Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von F. Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen. (5 BE)

c)c)

Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit ff von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht. (2 BE)

Lösung

Fläche aus 2a: 100π\frac{100}{\pi} Fläche bei Modellierung mit ff: 254π\frac{25}{4}\pi

Die Abweichung in Prozent berechnet man, indem man die Differenz der Werte durch den "ursprünglichen" Wert (also den der Aufgabe 2a) teilt.

100π254π100π=0,3831\frac{\frac{100}{\pi}-\frac{25}{4}\pi}{\frac{100}{\pi}}=0{,}3831…

Die Abweichung beträgt also ca. 38%38\%

9 Lösung 3d

Aufgabenstellung

33Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion f:x25x2f: x\mapsto \sqrt{25-x^2} mit Definitionsbereich Df=[5;5]D_f=[-5;5].

 

a)a) Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand 5m5 m hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: 5x95\le x\le 9, 1y131\le y\le 13) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist. (5 BE)

 

Betrachtet wird nun die Integralfunktion F:x0xf(t)dtF: x\mapsto \int_{0}^{x} f(t) dt mit Definitionsbereich DF=[5;5]D_F=[-5;5].

 

b)b)Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass F(5)=254πF(5)=\frac{25}{4}\pi gilt. Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von F. Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen. (5 BE)

 

c)c) Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit ff von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht. (2 BE)

 

Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade g mit der Gleichung y=43x+12y=-\frac{4}{3}x+12 modelliert.

d)d)

Zeigen Sie, dass die Tangente tt an den Graphen von ff im Punkt R(4f(4))R(4|f(4)) parallel zu gg verläuft. Zeichnen Sie gg und tt in das Koordinatensystem aus Aufgabe 3a ein. (4 BE)

Lösung

Tangente tt verläuft parallel zu gg

Um Parallelität zu prüfen, muss man die Steigung der Tangente tt berechnen. Dazu bildet man die erste Ableitung und setzt ein.

f(x)=12(25x2)12(2x)=x(25x2)12f(4)=4(2542)12=49=43f'(x)=\frac{1}{2}\cdot(25-x^2)^{-\frac{1}{2}}(-2x)\\=-x\cdot(25-x^2)^{-\frac{1}{2}}\\f'(4)=-4\cdot(25-4^2)^{-\frac{1}{2}}=-\frac{4}{\sqrt{9}}=-\frac{4}{3}

Die Steigungen von tt und gg stimmen also überein, also sind sie parallel.

Einzeichnen von gg und tt

Dazu benötigt man die Geradengleichung von tt. Berechne dazu erst den Punkt RR.

f(4)=2542=9=3f(4)=\sqrt{25-4^2}=\sqrt{9}=3

Der Punkt RR hat also die Koordinaten (43)(4|3). Setze diese in die Geradengleichung ein und berechne den yy-Achsenabschnitt von tt.

y=43x+b3=434+b3+163=bb=253\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl} y&=&-\frac{4}{3}x+b\\3&=&-\frac{4}{3}\cdot 4+b\\3 +\frac{16}{3}&=&b\\b&=&\frac{25}{3}\end{array}

Die Geradengleichung von tt ist also y=43x+253y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}. Mit diesen Infos kannst du die Geraden einzeichnen.

Bild

10 Lösung 3e

Aufgabenstellung

33Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion f:x25x2f: x\mapsto \sqrt{25-x^2} mit Definitionsbereich Df=[5;5]D_f=[-5;5].

 

a)a) Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand 5m5 m hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: 5x95\le x\le 9, 1y131\le y\le 13) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist. (5 BE)

 

Betrachtet wird nun die Integralfunktion F:x0xf(t)dtF: x\mapsto \int_{0}^{x} f(t) dt mit Definitionsbereich DF=[5;5]D_F=[-5;5].

 

b)b)Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass F(5)=254πF(5)=\frac{25}{4}\pi gilt. Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von F. Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen. (5 BE)

 

c)c) Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit ff von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht. (2 BE)

 

Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade g mit der Gleichung y=43x+12y=-\frac{4}{3}x+12 modelliert.

 

d)d)Zeigen Sie, dass die Tangente tt an den Graphen von ff im Punkt R(4f(4))R(4|f(4)) parallel zu gg verläuft. Zeichnen Sie gg und tt in das Koordinatensystem aus Aufgabe 3a ein. (4 BE)

e)e)

Der Punkt RR aus Aufgabe 3d entspricht demjenigen Punkt der Tunnelwand, der im betrachteten Querschnitt vom Hangprofil den kleinsten Abstand ee in Metern hat. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines Verfahrens zur rechnerischen Ermittlung von ee. (3 BE)

Lösung

Für den kleinsten Abstand braucht man die Lotgerade von R auf g. Die Steigung ist die Normalensteigung und wird mit Hilfe der Formel mN=1mgm_N=-\frac{1}{m_g} berechnet. Dann setzt man den Punkt RR ein und berechnet den yy-Achsenabschnitt. Damit hat man die Lotgerade. Nun muss man den Schnittpunkt der Lotgerade mit gg berechnen. Als Letztes berchnet man den Abstand von dem Schnittpunkt zu RR.


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