Tipp: Es könnte helfen die linke Seite auf einen Nenner zu schreiben.

Um die Definitionsmenge zu bestimmen musst du alle Nenner gleich $0$ setzen.

Über Kreuz Multiplikation ist eine Äquivalenzumformung, wenn man die richtige Definitionsmenge betrachtet.

Bruchgleichungen

Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen: Du sollst

• die Definitionsmenge bestimmen, und

• die Gleichung bruchtermfrei machen.

Definitionsmenge

Bestimme zunächst die Definitionsmenge der Bruchgleichung. Dazu schaust du dir die Nenner explizit an und schaust für welche Zahlen sie $0$ werden:

• $x=0$

• $x+1=0$

Für $x=0$ und $x=-1$ ist die Gleichung nicht definiert. Also musst du sie aus der Definitionsmenge rausnehmen.

Die Definitionsmenge $D$ ist also: $D=\mathbb Q\backslash\{-1;0\}$, falls die Grundmenge $\mathbb Q$ ist, und $D=\mathbb R\backslash\{-1;0\}$, falls die Grundmenge $\mathbb R$ ist.

Umformen in bruchtermfreie Gleichung

Jetzt sollst du die Gleichung bruchtermfrei machen.

$\displaystyle 3+\frac1x=\frac2{x+1}$

Du musst hier also zunächst die linke Seite zu einem Bruch umformen. Bringe $\displaystyle 3+\frac{1}x$ auf einen Nenner.

Um eine Bruchgleichung bruchtermfrei zu machen kannst du zum Beispiel die Nenner über Kreuz multiplizieren.

$\displaystyle 3+\frac1x=\frac2{x+1}$

Du kannst hier zunächst die linke Seite zu einem Bruch umformen. Bringe $\displaystyle 3+\frac{1}x$ auf einen Nenner.

$\displaystyle\frac{3x}x+\frac1x=\frac2{x+1}$

Addiere

$\displaystyle\frac{3x+1}x=\frac2{x+1}$

Nun kannst du das Verfahren zum über Kreuz multiplizieren anwenden.

$(3x+1)\;\cdot\;(x+1)\;=2\cdot x$

Diese Gleichung enthält keine Brüche. Da wir $0$ und $-1$ aus der Definitionsmenge rausgenommen haben, haben wir insbesondere nicht mit der $0$ multipliziert.

Somit ist $(3x+1)\;\cdot\;(x+1)\;=2\cdot x$ äquivalent zu $\displaystyle 3+\frac1x=\frac2{x+1}$.

Lösung der bruchtermfreien Gleichung

(in der Aufgabenstellung nicht gefordert)

$(3x+1)\;\cdot\;(x+1)\;=2\cdot x$

$3x^2+3x\;+x\;+1=2x$

Klammer ausmultiplizieren

$3x^2+4x\;+1=2x$

linke Seite zusammenfassen

$3x^2+2x\;+1=0$

Alles auf eine Seite und somit 0 setzen.

$D=\left(2\right)^2-4\cdot3\cdot1$

$=4-12$

$=-8$$\;\;\Rightarrow\;\;-8<0\;$

Diskriminante berechnen.

$\mathbb{L}= \left\{ \right\}$

Wegen D < 0 hat die quadratische Gleichung keine Lösungen und damit hat auch die Bruchgleichung keine Lösungen!