Gemischte Aufgaben zu Bruchgleichungen

Mit diesen gemischten Aufgaben lernst du, die Definitionsmenge von Bruchgleichungen zu bestimmen und deren Lösung zu berechnen.

1
Handelt es sich um eine Bruchgleichung?
1. $\displaystyle\frac2{x+3}+3=15$
  Ja, es ist eine Bruchgleichung.
  Nein, es ist keine Bruchgleichung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
  Eigenschaft $1$
  Durch bloßes Betrachten kannst du erkennen, dass in der Angabe eine Gleichung steht. Das Merkmal dafür ist das " $=$ ".
  Eigenschaft $2$ und $3$
  Zudem ist ein Bruch enthalten, nämlich $\displaystyle\frac2{x+3}$ und dieser hat eine Variable im Nenner.
  Somit sind alle Bedingungen für eine Bruchgleichung vorhanden.
  Die Antwort lautet: Ja, es ist eine Bruchgleichung.
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2. $\displaystyle\frac{25x}{x^2-4}+35$
  Nein, es ist keine Bruchgleichung.
  Ja, es ist eine Bruchgleichung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
  Eigenschaft $1$
  Hier kannst du erkennen, dass keine Gleichung vorliegt, da kein " $=$ " vorhanden ist.
  Folglich musst du die anderen Merkmale garnicht mehr prüfen.
  Die Antwort lautet: Nein, es ist keine Bruchgleichung.
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3. $\displaystyle\frac x{4x-5}=\frac{x^2}{7x-4}+3$
  Ja, es ist eine Bruchgleichung.
  Nein, es ist keine Bruchgleichung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
  Eigenschaft $1$
  Durch bloßes Betrachten kannst du erkennen, dass in der Angabe eine Gleichung steht. Das Merkmal dafür ist das " $=$ ".
  Eigenschaft $2$ und $3$
  Zudem sind die Brüche $\displaystyle\frac{x}{4x-5}$ und $\displaystyle\frac{x^2}{7x-4}$ enthalten, welche eine Variable $x$ im Nenner haben.
  Somit sind alle Bedingungen für eine Bruchgleichung vorhanden.
  Die Antwort lautet: Ja, es ist eine Bruchgleichung.
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4. $\displaystyle\frac{2x^2-x}4=\frac{5x-3}{34}$
  Nein, es ist keine Bruchgleichung.
  Ja, es ist eine Bruchgleichung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
  Eigenschaft $1$
  Durch bloßes Hinsehen kannst du erkennen, dass eine Gleichung vorliegt.
  Eigenschaft $2$
  Zudem sind die Brüche $\displaystyle\frac{2x^2-x}{4}$ und $\displaystyle\frac{5x-3}{34}$ vorhanden.
  Eigenschaft $3$
  Vorsicht! Keiner der Brüche hat eine Variable im Nenner.
  Eine der Eigenschaften ist nicht erfüllt und somit handelt es sich nicht um eine Bruchgleichung.
  Die Antwort lautet: Nein, es ist keine Bruchgleichung.
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5. $\displaystyle31+\frac{2x-1}{x^3+2}=\frac2x$
  Ja, es ist eine Bruchgleichung.
  Nein, es ist keine Bruchgleichung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
  Eigenschaft $1$
  Durch bloßes Betrachten kannst du erkennen, dass in der Angabe eine Gleichung steht. Das Merkmal dafür ist das " $=$ ".
  Eigenschaft $2$ und $3$
  Zudem sind Brüche, nämlich $\displaystyle\frac2x$ und $\displaystyle\frac{2x-1}{x^3+2}$ , vorhanden. Diese haben ebenfalls eine Variable im Nenner.
  Somit sind alle Bedingungen für eine Bruchgleichung vorhanden.
  Die Antwort lautet: Ja, es ist eine Bruchgleichung.
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2
Bestimme die Lösungsmenge der Bruchgleichung mit Hilfe der Grafik!
1. $\dfrac5{x+1}=-\dfrac{15}{x-3}$
  $\mathbb L=\{0\}$
  $\mathbb L=\{5\}$
  $\mathbb L=\{0;5\}$
  $\mathbb L=\emptyset$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte von Funktionen ablesen
  Die Lösung der Gleichung ist die $x$ -Koordinate des Schnittpunkts!Die zwei Graphen haben genau einen gemeinsamen Schnittpunkt also gibt es genau eine Lösung! Dieser Schnittpunkt liegt bei $(0\ |\ 5)$ . Also ist die Lösungsmenge $\mathbb L=\{0\}$ .
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  Die Lösungsmenge besteht aus den $x$ -Koordinaten aller Schnittpunkte
2. $\dfrac{4x}{x^2-1}=1+\dfrac{1}{x^2-1}$
  $\mathbb L=\{0;4\}$
  $\mathbb L=\{1; 4\}$
  $\mathbb L=\{0\}$
  $\mathbb L=\{4\}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte von Funktionen ablesen
  Die Lösungsmenge besteht aus den $x$ -Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen. Hier gibt es genau zwei Schnittpunkte, nämlich $(0\ | \ 0)$ und $\left(4\ |\ \dfrac {16}{15}\right)$ . Also besteht die Lösungsmenge $\mathbb L=\{0{,}4\}$ .
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  Die Lösungsmenge besteht aus den $x$ -Koordinaten der Schnittpunkte!

Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge von der folgenden Bruchgleichung:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

$\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2x-4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge

Defintionsmenge bestimmen

Als erstes musst du die Definitionsmenge bestimmen. Hierfür dürfen die Nenner der Bruchterme nicht 0 werden.

$\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2x-4}$

$2-x=0 \Leftrightarrow x=2$

$2x-4=0\Leftrightarrow x=2$

Damit ist die Definitionsmenge: $D=\mathbb{Q}\backslash\{2\}$

Bruchgleichung lösen

Hier bietet sich das Verfahren "Über Kreuz multiplizieren" an.

$\displaystyle \frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}$	$=$	$\displaystyle \frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2x-4}$	$\displaystyle \cdot (2-x) \|\cdot (2x-4)$
$\displaystyle 5\cdot (2x-4)$	$=$	$\displaystyle x\cdot (2-x)$
	↓	Ausmultiplizieren
$\displaystyle 10x-20$	$=$	$\displaystyle 2x-x^2$
	↓	Alles auf eine Seite bringen und somit 0 setzen.
$\displaystyle x^2+8x-20$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mit der Mitternachtsformel lösen
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-8\pm 12}{2}$
	↓	Beide Werte für $x$ ausrechnen
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -10$

Da $2$ nicht in der Definitionsmenge enthalten ist, ist sie auch nicht Bestandteil der Lösungsmenge: $\mathbb L=\{-10\}$ .

Alternative Lösung

Suche den Hauptnenner und multipliziere beide Seiten der Gleichung damit.

$\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2x-4}$

$\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle -2(2-x)}$

Der Hauptnenner ist damit $-2\cdot(2-x)$ . Mit diesem werden beide Seiten multipliziert und die Brüche gekürzt.

$\displaystyle 5\cdot (-2)$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	Ausrechnen
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -10$

Da $-10$ in der Definitionsmenge enthalten ist, lautet die Lösungsmenge:

$L=\{-10\}$

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4
Gib die Definitionsmenge an und bestimme eine äquivalente bruchtermfreie Gleichung von der folgenden Bruchgleichung:
$\displaystyle 3+\frac1x=\frac2{x+1}$
(Du brauchst die bruchtermfreie Gleichung nicht zu lösen!)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über Kreuz multiplizieren
Tipp: Es könnte helfen die linke Seite auf einen Nenner zu schreiben.
Um die Definitionsmenge zu bestimmen musst du alle Nenner gleich $0$ setzen.
Über Kreuz Multiplikation ist eine Äquivalenzumformung, wenn man die richtige Definitionsmenge betrachtet.
Bruchgleichungen
Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen: Du sollst
die Definitionsmenge bestimmen, und
die Gleichung bruchtermfrei machen.
Definitionsmenge
Bestimme zunächst die Definitionsmenge der Bruchgleichung. Dazu schaust du dir die Nenner explizit an und schaust für welche Zahlen sie $0$ werden:
$x=0$
$x+1=0$
Für $x=0$ und $x=-1$ ist die Gleichung nicht definiert. Also musst du sie aus der Definitionsmenge rausnehmen.
Die Definitionsmenge $D$ ist also: $D=\mathbb Q\backslash\{-1;0\}$ , falls die Grundmenge $\mathbb Q$ ist, und $D=\mathbb R\backslash\{-1;0\}$ , falls die Grundmenge $\mathbb R$ ist.
Umformen in bruchtermfreie Gleichung
Jetzt sollst du die Gleichung bruchtermfrei machen.
$\displaystyle 3+\frac1x=\frac2{x+1}$
Du musst hier also zunächst die linke Seite zu einem Bruch umformen. Bringe $\displaystyle 3+\frac{1}x$ auf einen Nenner.
Um eine Bruchgleichung bruchtermfrei zu machen kannst du zum Beispiel die Nenner über Kreuz multiplizieren.
$\displaystyle 3+\frac1x=\frac2{x+1}$
Du kannst hier zunächst die linke Seite zu einem Bruch umformen. Bringe $\displaystyle 3+\frac{1}x$ auf einen Nenner.
$\displaystyle\frac{3x}x+\frac1x=\frac2{x+1}$
Addiere
$\displaystyle\frac{3x+1}x=\frac2{x+1}$
Nun kannst du das Verfahren zum über Kreuz multiplizieren anwenden.
$(3x+1)\;\cdot\;(x+1)\;=2\cdot x$
Diese Gleichung enthält keine Brüche. Da wir $0$ und $-1$ aus der Definitionsmenge rausgenommen haben, haben wir insbesondere nicht mit der $0$ multipliziert.
Somit ist $(3x+1)\;\cdot\;(x+1)\;=2\cdot x$ äquivalent zu $\displaystyle 3+\frac1x=\frac2{x+1}$ .
Lösung der bruchtermfreien Gleichung
(in der Aufgabenstellung nicht gefordert)
$(3x+1)\;\cdot\;(x+1)\;=2\cdot x$
$3x^2+3x\;+x\;+1=2x$
Klammer ausmultiplizieren
$3x^2+4x\;+1=2x$
linke Seite zusammenfassen
$3x^2+2x\;+1=0$
Alles auf eine Seite und somit 0 setzen.
$D=\left(2\right)^2-4\cdot3\cdot1$
$=4-12$
$=-8$ $\;\;\Rightarrow\;\;-8<0\;$
Diskriminante berechnen.
$\mathbb{L}= \left\{ \right\}$
Wegen D < 0 hat die quadratische Gleichung keine Lösungen und damit hat auch die Bruchgleichung keine Lösungen!

Zeichne die Graphen zu den Termen $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x-2}$ und $\mathrm g\left(\mathrm x\right)\;=\;\frac13\mathrm x$ in ein Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8480_IDafL00uol.xml

Bestimmung der Nullstelle

$f(x)=\dfrac{x}{x-2}$

Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null ist. $\rightarrow$ Setze den Zähler gleich $0$ , also $\mathrm{x}=0$ .

$\Rightarrow {\mathrm x}_\mathrm N=0$

Der Graph hat bei $x_N=0$ eine Nullstelle.

x-Wert mit $f(x)=-3$

Setze $f(x)=-3$

$\displaystyle \frac{x}{x-2}$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle \cdot\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere über Kreuz.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3x+6$	$\displaystyle +3x$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{6}{4}=1{,}5$

Für $x=1{,}5$ nimmt $f(x)$ den Wert $-3$ an.

Bestimmung der Schnittpunkte

$f(x)= \dfrac{x}{x-2}$ , $g(x)=\dfrac x3$

Setze $\mathrm f\left(\mathrm x\right)$ und $\mathrm g\left(\mathrm x\right)$ gleich.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle g\left(x\right)$
$\displaystyle \frac{x}{x-2}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{3}$	$\displaystyle \cdot3\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere über Kreuz.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle x\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle x^2-2x$	$\displaystyle -3x$
$\displaystyle x^2-5x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer x aus.
$\displaystyle x\left(x-5\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

$\Rightarrow$ ${\mathrm x}_{\mathrm S1}=0\;\;\;\;\;{\mathrm x}_{\mathrm S2}=5$

Setze ${\mathrm x}_{\mathrm S2}$ in eine der beiden Funktionen ein.

${\mathrm y}_{\mathrm S2}=\frac53$

$\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm S}_1\left(0|0\right);\;\;{\mathrm S}_2\left(5|\frac53\right)$

In der Definitionsmenge von $f(x)$ muss nur $2$ ausgenommen werden, bei $g(x)$ sind alle rationalen Zahlen erlaubt.

Daher ist die Lösungsmenge: $L=\{0;5\}$

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Gegeben ist der Graph einer linearen und einer gebrochenrationalen Funktion

Die Zeichnung zeigt die Graphen der Funktionen mit den Funktionsgleichungen $y=\frac{x-2}{1+x}$ und $y=-\frac12x+1$ .
Bestimme anhand der Zeichnung die Lösungsmenge der Gleichung $\frac{x-2}{1+x}=-\frac12x+1$ .
Tipp: Gib deine Lösungen in aufsteigender Reihenfolge und durch ein Leerzeichen getrennt ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Tipp: Gib deine Lösungen in aufsteigender Reihenfolge und durch ein Leerzeichen getrennt ein.
Schnittpunkte von Funktionen
$\frac{x-2}{1+x}=-\frac12x+1$
Die Lösungsmenge der Gleichung repräsentiert die x-Werte, bei denen sich die Funktionen schneiden.
$L=\left\{-3;\;2\right\}$
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Bestimme mit Hilfe des gegebenen Funktionsgraphen die Lösungsmenge der Gleichung $\frac{x-2}{1+x}=-1$ .

Zeichne die Graphen der Funktionen $f:\;x\mapsto\dfrac3{x+2}$ und $f_1:\;x\mapsto\dfrac1{2-x}$

Lies die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen aus der Zeichnung ab und überprüfe dein Ergebnis rechnerisch. Trage dein Ergebnis gerne in das Eingabefeld unten in der Form ( | ), also z.B. (5|2), ein, bevor du dann in die Lösung schaust ;)

8
Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge von:
$x+1+\frac{\displaystyle 4x+4}{\displaystyle (x+1)^2}-\frac{\displaystyle x^3+x^2}{\displaystyle x(x+1)}=\frac{\displaystyle x^2+4x}{\displaystyle (x+4)(x+1)}+\frac{\displaystyle 5x+15}{\displaystyle (x+1)(x+3)}$
Tipp: Schaue dir jeden Bruch explizit an. Klammere aus und kürze, falls es möglich ist.
Achtung! Die Definitionsmenge bleibt gleich auch wenn die Nenner verschwinden.
$D=\mathbb Q\backslash\{-4,-3,-1{,}0\}$
Hier empfiehlt es sich zunächst mal die Brüche näher zu analysieren, Faktoren auszuklammern und eventuelle Kürzungen vorzuziehen:
$\frac{\displaystyle 4x+4}{\displaystyle (x+1)^2}=\frac{\displaystyle 4\cdot (x+1)}{\displaystyle (x+1)^2}=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x+1}$
$\frac{\displaystyle x^2+4x}{\displaystyle (x+4)(x+1)}=\frac{\displaystyle x\cdot(x+4)}{\displaystyle (x+4)(x+1)}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x+1}$
$\frac{\displaystyle 5x+15}{\displaystyle (x+1)(x+3)}=\frac{\displaystyle 5(x+3)}{\displaystyle (x+1)(x+3)}=\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle (x+1)}$
$\frac{\displaystyle x^3+x^2}{\displaystyle x(x+1)}=\frac{\displaystyle x^2(x+1)}{\displaystyle x(x+1)}=x$
Dies ergibt dann:
$x+1+\frac{\displaystyle 4x+4}{\displaystyle (x+1)^2}-\frac{\displaystyle x^3+x^2}{\displaystyle x(x+1)}=\frac{\displaystyle x^2+4x}{\displaystyle (x+4)(x+1)}+\frac{\displaystyle 5x+15}{\displaystyle (x+1)(x+3)}$
$\Rightarrow x+1+\frac{\displaystyle4}{\displaystyle x+1}-x=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x+1}+\frac{\displaystyle5}{\displaystyle x+1}$
$\Rightarrow x+1+\frac{\displaystyle4}{\displaystyle x+1}-x=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x+1}+\frac{\displaystyle5}{\displaystyle x+1}$
$|-\frac{\displaystyle4}{\displaystyle x+1}$
$\Rightarrow x+1-x=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x+1}+\frac{\displaystyle5}{\displaystyle x+1}-\frac{\displaystyle4}{\displaystyle x+1}$
Gleicher Nenner
$\Rightarrow x+1-x=\frac{\displaystyle x+5-4}{\displaystyle x+1}$
Auf beiden Seiten Kürzen
$\Rightarrow 1=1$
Wir bekommen also unendlich viele Lösungen. Um genau zu sein, ist hier die Lösungsmenge $\mathbb L$ , die Definitionsmenge, also $\mathbb L=D=\mathbb Q\backslash \{-4,-3,-1{,}0\}$ . Denn jedes $x\in D$ ist für die Gleichung wohldefiniert und löst die gekürzte Gleichung, die unabhängig von $x$ ist.
Vorsicht
Für die Zahlen $-4,-3,-1{,}0$ , die wir aus der Definitionsmenge entfernt haben, ist die Gleichung weiterhin nicht definiert, obwohl sich der Nenner kürzen lässt.
9
Gegeben ist folgende Bruchgleichung:
$\displaystyle\frac5{x+3}-\frac{-6}{x^2-9}=\frac3{x-3}$
Bestimme die Lösungsmenge!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Tipp: 3.Binomische Formel $(a+b)(a-b)=a²-b²$
Bruchgleichungen lösen
Um diese Aufgabe zu lösen, könnten dir die Artikel Binomische Formeln und Bruchgleichungen lösen helfen.
Du möchtest diese Bruchgleichung lösen:
$\displaystyle\frac5{x+3}-\frac{-6}{x^2-9}=\frac3{x-3}$
Definitionsmenge bestimmen:
Um die Definitionsmenge bestimmen zu können, musst du sogenannte Definitionslücken der Bruchgleichung finden. Eine Lücke entsteht, sobald der Nenner eines Bruchs 0 wird. Man darf nämlich nicht durch 0 teilen.
Die Definitionsmenge ist also: $\mathbb D = \left\{-3{,}3\right\}$
Der erste Nenner ist für x = -3, der zweite Nenner ist für x = -3 und x = 3 und der dritte Nenner ist für x = 3 nicht definiert. Daraus ergibt sich die Definitionsmenge.
Gleichung auflösen
$\displaystyle\frac5{x+3}-\frac{-6}{x^2-9}=\frac3{x-3}$
$\left|\cdot(x+3)(x-3)\right.$
$\frac{5(x+3)(x-3)}{x+3}-\frac{-6(x+3)(x-3)}{x^2-9}=\frac{3(x+3)(x-3)}{x-3}$
Kürze die Brüche.
$\displaystyle5\cdot(x-3)-\frac{-6(x^2-9)}{x^2-9}=3\cdot(x+3)$
Löse den Bruch auf.
$\displaystyle5x-15-(-6)=3x+9$
Löse die Klammer auf
$\displaystyle5x-15+6=3x+9$
und forme die Gleichung geeignet um!
$\displaystyle5x-3x=9+15-6$
$\displaystyle2x=18$
$\left|:2\right.$
$\displaystyle\ x=9$
Die Lösungsmenge ist somit $\mathbb L = \left\{9\right\}$

Bei einer Sammellinse gilt folgender Zusammenhang zwischen Brennweite $f$ , Bildweite $b$ und Gegenstandsweite $g$ :

$\frac1f=\frac1b+\frac1g$

Zeige, dass dann für die Bildweite $b$ gilt:

$b=\frac{fg}{g-f}$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \dfrac{3}{2+x}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2-x}$
	↓	Über Kreuz multiplizieren.
$\displaystyle 3\cdot(2-x)$	$=$	$\displaystyle 1\cdot(2+x)$
	↓	Die Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle 6-3x$	$=$	$\displaystyle 2+x$	$\displaystyle -2+3x$
	↓	Nach $x$ auflösen.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 4x$	$\displaystyle : 4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle \dfrac{1}{f}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{g}$	$\displaystyle -\frac{1}{g}$
$\displaystyle \dfrac{1}{b}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{g}$
	↓	Nun multipliziert man mit $b$ damit die gesuchte Größe aus dem Nenner verschwindet.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle b\cdot\left(\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{g}\right)$
	↓	Teile nun durch den Ausdruck in Klammern, damit b alleine steht.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{g}}$
	↓	Bringe nun die Brüche des Nenners auf einen gemeinsamen Hauptnenner.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{\dfrac{1\cdot g}{f\cdot g}-\dfrac{1\cdot f}{g\cdot f}}$
	↓	Fasse nun die beiden Brüche im Nenner zusammen.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{\dfrac{g-f}{f\cdot g}}$
	↓	Löse den Doppelbruch auf.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \dfrac{f\cdot g}{g-f}$
	↓	Und damit hast du es gezeigt.

Gemischte Aufgaben zu Bruchgleichungen

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