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Gemischte Aufgaben zu Bruchgleichungen

Mit diesen gemischten Aufgaben lernst du, die Definitionsmenge von Bruchgleichungen zu bestimmen und deren Lösung zu berechnen.

  1. 1

    Handelt es sich um eine Bruchgleichung?

    1. 2x+3+3=15\displaystyle\frac2{x+3}+3=15

    2. 25xx2‚ąí4+35\displaystyle\frac{25x}{x^2-4}+35

    3. x4x‚ąí5=x27x‚ąí4+3\displaystyle\frac x{4x-5}=\frac{x^2}{7x-4}+3

    4. 2x2‚ąíx4=5x‚ąí334\displaystyle\frac{2x^2-x}4=\frac{5x-3}{34}

    5. 31+2x‚ąí1x3+2=2x\displaystyle31+\frac{2x-1}{x^3+2}=\frac2x

  2. 2

    Bestimme die Lösungsmenge der Bruchgleichung mit Hilfe der Grafik!

    1. 5x+1=‚ąí15x‚ąí3\dfrac5{x+1}=-\dfrac{15}{x-3}

      Graphisch Aufgabe Schnittpunkt
    2. 4xx2‚ąí1=1+1x2‚ąí1\dfrac{4x}{x^2-1}=1+\dfrac{1}{x^2-1}

      Aufgabe Bruchgleichung Schnittpunkt
  3. 3

    Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge von der folgenden Bruchgleichung:

    (In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

    52‚ąíx=x2x‚ąí4\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2x-4}


  4. 4

    Gib die Definitionsmenge an und bestimme eine äquivalente bruchtermfreie Gleichung von der folgenden Bruchgleichung:

    3+1x=2x+1\displaystyle 3+\frac1x=\frac2{x+1}

    (Du brauchst die bruchtermfreie Gleichung nicht zu lösen!)

  5. 5

    Zeichne die Graphen zu den Termen¬† f(x)=xx‚ąí2\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x-2} ¬†und¬† g(x)‚ÄÖ‚Ää=‚ÄÖ‚Ää13x\mathrm g\left(\mathrm x\right)\;=\;\frac13\mathrm x ¬†in ein Koordinatensystem.

    Bestimme rechnerisch die Nullstelle von f, denjenigen x-Wert mit¬† f(x)=‚ąí3\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-3 ¬†und die Schnittpunkte von f und g.

  6. 6

    Gegeben ist der Graph einer linearen und einer gebrochenrationalen Funktion

    Graph einer linearen und einer gebrochenrationalen Funktion
    1. Die Zeichnung zeigt die Graphen der Funktionen mit den Funktionsgleichungen y=x‚ąí21+xy=\frac{x-2}{1+x} und y=‚ąí12x+1y=-\frac12x+1.

      Bestimme anhand der Zeichnung die L√∂sungsmenge der Gleichung x‚ąí21+x=‚ąí12x+1\frac{x-2}{1+x}=-\frac12x+1.

      Tipp: Gib deine Lösungen in aufsteigender Reihenfolge und durch ein Leerzeichen getrennt ein.


    2. Bestimme mit Hilfe des gegebenen Funktionsgraphen die L√∂sungsmenge der Gleichung x‚ąí21+x=‚ąí1\frac{x-2}{1+x}=-1 .


  7. 7

    Zeichne die Graphen der Funktionen f:‚ÄÖ‚Ääx‚ܶ3x+2f:\;x\mapsto\dfrac3{x+2} und f1:‚ÄÖ‚Ääx‚ܶ12‚ąíxf_1:\;x\mapsto\dfrac1{2-x}

    Lies die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen aus der Zeichnung ab und √ľberpr√ľfe dein Ergebnis rechnerisch. Trage dein Ergebnis gerne in das Eingabefeld unten in der Form ( | ), also z.B. (5|2), ein, bevor du dann in die L√∂sung schaust ;)


  8. 8

    Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge von:

    x+1+4x+4(x+1)2‚ąíx3+x2x(x+1)=x2+4x(x+4)(x+1)+5x+15(x+1)(x+3)x+1+\frac{\displaystyle 4x+4}{\displaystyle (x+1)^2}-\frac{\displaystyle x^3+x^2}{\displaystyle x(x+1)}=\frac{\displaystyle x^2+4x}{\displaystyle (x+4)(x+1)}+\frac{\displaystyle 5x+15}{\displaystyle (x+1)(x+3)}

  9. 9

    Gegeben ist folgende Bruchgleichung:

    5x+3‚ąí‚ąí6x2‚ąí9=3x‚ąí3\displaystyle\frac5{x+3}-\frac{-6}{x^2-9}=\frac3{x-3}

    Bestimme die Lösungsmenge!


  10. 10

    Bei einer Sammellinse gilt folgender Zusammenhang zwischen Brennweite ff, Bildweite bb und Gegenstandsweite gg:

    1f=1b+1g\frac1f=\frac1b+\frac1g

    Zeige, dass dann f√ľr die Bildweite bb gilt:

    b=fgg‚ąífb=\frac{fg}{g-f}


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